工程力學(xué)第7章習(xí)題

1、第7章彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析7-1桁架結(jié)構(gòu)受力如圖示，其上所有桿的橫截面均為20mmx50mm的矩形。試求桿CE和桿DE橫截面上的正應(yīng)力。4解：圖（a）中，cosQ=-5(1)截面法受力圖(a)£MD=0,FceX4-(15+5)X3=0Fce=15kN(2)(1)代入(3),_FCE-CE=AFDE:-DE=AFdecos：i-40得Fde=50kN15103=15MPa0.020.05二50MPa(3)B仆忖15kNjSkN15kNFce(a)習(xí)題7-1圖J3m4m5kN5kNT*7-2圖示直桿在上半部兩側(cè)面受有平行于桿軸線的均勻分布載荷，其集度P=10kN/m,在自由端D

2、處作用有集中呼Fp=20kNo已知桿的橫截面面積A=2.01 .A、B、E截面上的正應(yīng)力；2 .桿內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力，并指明其作用位置。解：由已知，用截面法求得Fna=40kNFnb=20kNFne=30kN(1)試求:(2)FNAAFNBAFNEA=；：A401034=200MPa2.010衛(wèi)二100MPa=150MPa=200MPa(A截面)ptx10-4m2,l=4m。(a)7-3圖示銅芯與鋁殼組成的復(fù)合材料桿，軸向拉伸載荷習(xí)題7-2圖Fp通過兩端的剛性板加在桿上。試:1.寫出桿橫截面上的正應(yīng)力與Fp、d、D、Ec、Ea的關(guān)系式;2,若已知d=25mm,D=60mm；銅和鋁的單性模量

3、分別為Ec=105GPa和Ea=70GPa,Fp=171kN。試求銅芯與鋁殼橫截面上的正應(yīng)力。解：1.變形諧調(diào)：FncFNaEcAcEaAa(1)Fnc.FNa=Fp(2)FncEcAcFNaEAEaAaccaaEaAaEcAcEaAaFpFpFncAcEcFpEcFpEcAc-EaAa2正d冗_(dá)22EcEa(D2-d2)44FNaEc2.CTcEaFp222無d+MD-d)Ea449341051017110習(xí)題7-3圖105M109M無X0.0252+70X109父父父(0.062-0.025)2=83.5MPa0aEa=83.5-70-=55.6MPaEc1057-4圖示由鋁板鋼板組成的復(fù)

4、合材料柱，縱向截荷Fp通過剛性平板沿著柱的中心線施加在其上。試:1,導(dǎo)出復(fù)合材料柱橫截面上正應(yīng)力與Fp、5、h和Ea、Es之間的關(guān)系式；612.已知FP=385kN;Ea=70GPa,Es=200GPa；b0=30mm,b1=20mm,h=50mm。求鋁板與鋼板橫截面上的最大正應(yīng)力。解：變形諧調(diào)：FNsFNaEsAs-EaAa(1)Fns+FNa=Fp(2)EsAsEsAsEaAaEaAaEsAsEaAa-FnsEsFp1O-s=AsEsb0hEa2bihEsFpb°hEs2bihEa習(xí)題7-4圖-FNa_EaFpKb0hEs2bihEa2.9_3-20009385103990.03

5、0.052001020.020.057010=-175MPa(壓)75Ea=75-70=-61.25MPa(壓)Es2007-5從圓木中鋸成的矩形截面梁，受力及尺寸如圖所示。試求下列兩種情形下1.橫截面上的最大正應(yīng)力盡可能??；h與b的比值:2.曲率半徑盡可能大。解:Mzbh26Mz22b(db2)噤天(bdn2-3b2=°.2,2,2h=d-b二423h=42（正應(yīng)力盡可能?。゜2.Mz-EIzIzbh3.d2-h2h31212.2,2,2b=d-hJd24此習(xí)題7-5圖7-6梁的截面形狀為正方形去掉上、下角，如圖所示。梁在兩端力偶Mz作用下發(fā)生彎曲。設(shè)正方形截面時，梁內(nèi)最大正應(yīng)力為

6、0-0；去掉上、下角后，最大正應(yīng)力變?yōu)?. k值與h值之間的關(guān)系；2. Qmax為盡可能小的h值，以及這種情形下的k值。43解：Izh0=，Wz033二03MzhIzh=Izh0-2I4=h(4一3h02-2h2y2(h0-y)dymax=卜00,試求:習(xí)題7-6圖h04334443434h°(h0_h)(h0_h)=一h°h-h=h(.3333ho-h)max=；：hmaxMzMzWh1(雪0.h)3；maxk二；二0h；-324h2(h0-h)3h033h2(3h0-h)ho2h2(4h0-3h)(1)dWhdh24d(h2(-h0-h)3dh4h03_22h-3h2二

7、08h(8h0*h)田，3h=0(舍去),h=?h09代入（1）：k3h0鳳、28.x.8x2/yl8、64(12-8)(h0)(4h0-3h0)()(4-)')9993813=0.94927-7工字形截面鋼梁，已知梁橫截面上只承受Mz=20kN-m一個內(nèi)力分量，Iz=11.3X106mm4,其他尺寸如圖所示。試求橫截面中，性軸以上部分分布力系沿x方向的合力。解：Fnx=2QxdA=12Mz1IzMzydAMz=1IzMz=-Iz0.07y0.006dy-0.0800.07y0.088dy1212_267088(80-70)1022,93=_20106103370244(802-702

8、)11.3103=-143103=-143kNMz|Fnx|yc*=2巾析習(xí)題7-7圖20yc*=0.0699m=70mm2143即上半部分布力系合力大小為143kN（壓力），作用位置離中心軸y=70mm處，即位于腹板與翼緣交界處。7-8圖示矩形截面（b-h）直梁，在彎矩Mz作用的Oxy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，且不超出彈性范圍，假定在梁的縱截面上有y方向正應(yīng)力6y存在，且沿梁長均勻分布1.導(dǎo)出5Ry（y）的表達(dá)式;h2"證明：仃ymaxfc_max,4;P為中性面的曲率半徑。解:1.先求5（y）表達(dá)式:“y、Fy=002八62cy：ysin-日2r；一-y1：yd:cos：2上二xsin

9、-222二"sin2_2叫siMyy2Iz21/2(y22.1dy=0hl)-0)04-Mzh22江(y)(a)由（a）式，令day=0,得y=0,則dyo試:習(xí)題7-8圖O.yO'x2_x(a)一65:-y,max,2,hMzhMz-hMzhxmmax8Dylz4；7y乜4：yW,4D'maX訪(b)27-9圖示鋼管和鋁管牢固地粘成復(fù)合材料管，在兩端力偶Mz作用下發(fā)生平面彎曲，試:1.導(dǎo)出管橫截面上正應(yīng)力與Mz、Dp口2、D3和鋼的Es、鋁的2,已知D1=20mm,D2=36mm,D3=44mm；Mz=800Nm；Ea之間的關(guān)系式；Es=210GPa,Ea=70GP

10、a。求鋼管和鋁和鋁管橫截面上的最大正應(yīng)力解：靜力平衡：MaMs=Mzmax(1)變形諧調(diào):R=R得MaEalaaaEsls_4_4武D4-D24)(2)由(2)Ma64EalaMs_4_4HD4-D14)64(3)(4)代入(1),得(1+Eala)MsEsls銅習(xí)題7-9圖2.分別為MsMa-smax:.amaxEsIsMzEslsEalssaEalaEslsEal-Ms-4MalaMzaEsMzEslsEala(5)(6)64EsMzyEaMzEslsEala_4_4_4_4無Es(D2-D1)-Ea(D3-D2)64EaMzy4444無Es(D4-D14)Ea(D4-D4)6421080

11、018104444j2=133MPa4210(364-204)70(444-364)10647080022104444j2=54.1MPa可210(36-20)70(44-36)10D1D2（十廠三）/D2.D3、(<y<)7-10由塑料制成的直梁，在橫截面上只有Mz作用，如圖所示。已知塑料受拉和受壓時的彈性模量Et和Ec,且已知Ec=2Et；Mz=600N-m。試求:1.梁內(nèi)最大拉、壓正應(yīng)力;2.中性軸的位置。解：根據(jù)平面假設(shè)，應(yīng)變沿截面高度作直線變化Ec=2Et,CT=E£。沿截面高度直線的斜率不同中性軸不過截面形心。1.確定中性軸位置。設(shè)拉壓區(qū)高度分別為ht、hc1

12、.1由乙Fx3=0,佝：二仃cmaxhcb二仃tmaxht22b=0cmaxtmaxhth-hchchcEccmax2-cmax(1)tmaxEt*由（1）、（2）,得maximaxhfc_2hchcI%hc=2ht2hch-hc2.(2)22(h-he)2u2h：.hc=(、-2-1)h=41.4mm.ht=(2.2)h=58.6mm（中性軸的位置）習(xí)題7-10圖heht(a)Mz=AtyCtdA.Acy二cdA丁yEt，dA.AcyEc9dA7yEt觸J2EtcdA=&AytdA-A2y=bAy2dA2Ay2dA二星（It。）At7AcAt:-Ac:.:.332甘bht3bh3bh

13、3其中It2Ic=2c=（64、2）3331Mz二PEt（It2Ic）_ Ec卜:cmax = - hc PEc M zEt It 2I-hcc2Mz1t 2I- hcc'tmax2 600 41.4 10 -350 1003-12（64、. 2） 10"MhtIt 2Ic=8.69 MPa （壓）600 （2 - 2） 100 10-50 1003=6.15MPa （拉）7 11 試求圖a、X10-2（6 -472）b中所示的二桿橫截面上最大正應(yīng)力的比值。解：(a)為拉彎組合Fp3- a - a2a,3 、2a（2a）6-F P ""2 a(b)為單向拉

14、伸_ Fp:-b - 2- a二a _4:b 37-12橋墩受力如圖所示，試確定下列載荷作用下圖示截面習(xí)題7-11圖1 .在點1、2 .僅在1、3 .僅在點解:FnxA2、3處均有40 kN的壓縮載荷；2兩點處各承受40 kN的壓縮載荷;1或點3處承受40 kN的壓縮載荷。340 103:6 =2.67 Mpa200 75 102.3.MzW在點_ 340 103 0.125275 1002 a106=40 MPa=；：B3FnxA2Fnx Mz1加載:33 40 1038 MPa200 75ABC上A、B兩點的正應(yīng)力:習(xí)題7-12圖40kNlUkN3-2 40 10200 753 12580

15、 103 12522- =75.3MPa75 2002-Fn xA3-40 10200 75340 101252 = 72.67 MPa75 2002FnxA.MzLw-40 103200 756340 103 125 -T-75 2002=7.33MPa由對稱性，得在3點加載：CTA=7.33MPa,aB=T2.67MPa7-13圖示側(cè)面開有空洞的正方形截面管，管壁厚處截面的形心為C,形心主慣性矩Iz=0.177父10上m4,1 .開孔處橫截面上點F處的正應(yīng)力；=5mm,管在兩端承受軸向載荷Fp。已知開孔Fp=25kNo試求：2.最大正應(yīng)力解:Fnx=Fp=25kNMz=Fpm(25_18.

16、57)m10*=160.75NmA二(5052405)10旦=70010-m2FNx18,57103-18.85MPaAIz2.L；maxFnxAMz3z（50-18.57）10-Iz=64.26MPa（在y正向最大位置）7-14圖示矩形截面桿在自由端承受位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的縱向載荷1 .橫截面上點A的正應(yīng)力取最小值時的截面高度2 .在上述h值下點A的正應(yīng)力值。h；解：二A<x藍(lán)；Fp(h-d)2240h26Fo(2h-3d)h21.令-二0，fh-26hd2h2""h7=0h=3d=75mm2.由(1)、(2)式得:(2)一一一360103,二a二-(20275-32

17、5752)=40MPa7-15圖中所示為承受縱向載荷的人骨受力簡圖，為圓截面。試：1 .確定截面BB上的應(yīng)力分布；2 .假定骨骼中心部分（其直徑為骨骼外徑的一半）出8習(xí)題7-13圖Fp,已知Fp=60kN。試求:rf-25(1)習(xí)題7-14圖假定實心骨骼由海綿狀骨質(zhì)所組成,且忽略海綿狀承受應(yīng)力的能力，確定截面BB上的應(yīng)力分布；3.確定1、2兩種情況下，骨骼在截面(c)BB上最大壓應(yīng)力之比。(d)NN1FnxAMmaxMzWz1445106=?=-0.795MPa無26.7244456310'=14.526MPa無26.731032一67二max=14.526_0.795=13.73MP

18、a二max=-14.526-0.795=5.32MPa沿y方向應(yīng)力分布如圖(c)所示，中性軸為zc0_FNx445106_44451062,N2-=1-7=A2無(26.72_(26.7)2無父26.72(1)2444-0.795=_1.06MPa3_Mz:M2max=-Wz2:z=14.526=15.494MPa1415Wzi(1-(-)二max=15.4941.06=14.43Mpan二m；x=-15.494_1.06=-16.55MPaZC為中性軸，沿y軸應(yīng)力分布如圖(d)3,。廠=16.55=1.08,或01二1一15.3215.32-0.92616.557-16正方形截面桿一端固定，

19、另一端自由，中間部分開有切槽。桿自由端受有平行于桿軸線的縱向力Fp。若已知Fp=1kN,桿各部分尺寸示于圖中。解：A=51010-=5010-m2510-9Wy二一6-101052_9Wz:106Fnx=1kNMy=10005103=5NmMz=1000X2.5M10&=2.5N-mmax試求桿內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力，并指出其作用位置。m10習(xí)題7-16圖(a)»My1_s二一10m24161012Wz二140MPaAWyFnx.MyMz最大正應(yīng)力作用位置位于中間開有切槽的橫截面的左上角點A,如圖(a)所示。7-17鋼制立柱上承受縱向載荷Fp如圖所示?，F(xiàn)在1(A)-20010

20、$,x(B)-900101(D)-10010上1 .力Fp的大??；2 .加力點在Oyz坐標(biāo)中的坐標(biāo)值。解：A=1006010上=610二m2Wz260100109=10010$m36Wy一一210060q10口二6010m3Fnx=FpyA、B、D三處測得x方向的正應(yīng)變習(xí)題7-17圖若已知鋼的彈性模量E=200GPa。試求:_FnxMzMy-Fp二Az,二(PAWZWy6000-FpFpy-Fpz二B-(-)10600010060二D(P3且)106600010060=-FpY6MyMz_FpyTpZ)10610060(1)(2)(3)(4)一69由(1)、(4),(-yP-zp)x106FP

21、=200X109X(-300X10國)600010060即-1(-6000ypzp'100-60)Fp=_60由(2)、(4),(6000yzp工-)Fp二8010060由(3)、(4),(6000ypzp21)Fp-_2010060解（5）、(6)、：z:p=0.02m=20mmyp=-0.025m=-25mmFp=240kN7-18矩形截面柱受力如圖所示，試證明：1.當(dāng)鉛垂力FP作用在下面方程所描述的直線上的任意點時，點A的正應(yīng)力等于零：(5)(6)(7)b習(xí)題7-18圖AD也=12.為了使橫截面的所有點上都不產(chǎn)生拉應(yīng)力，其作用點必須位于由類似上述方程所描述的直線圍成的區(qū)域內(nèi)（圖中

22、虛直線圍成的區(qū)域）。解：1.寫出K點壓彎組合變形下的正應(yīng)力（圖a）Fp不(Fpzp)zZT5hb(Fpyp)yZT3bh1212Fpd.zp.yp=1-2-z-2-yhbb2h2(1712j(1)將“母代入（1）式'并使正應(yīng)力為零，得Fp所作用的直線方程整理得:662.若Fp作用點確定，令（1）式等于零，得截面的中性軸方程（圖b）:1z12y=。1212中性軸nn的截距:y0tz0t_h6yp_h6zp(2)(3)說明中性軸nn,與力Fp作用點位于形心C的異側(cè)，說明nn劃分為Fp作用下的區(qū)域為壓應(yīng)力區(qū)，另一區(qū)域是拉應(yīng)力區(qū)（見圖b）ozy如果將（2）改與為-zp2-yp=-1（4）b2h

23、21212并且把中心軸上一點（y,z）固定，即中性軸可繞該點順時針轉(zhuǎn)動（從11轉(zhuǎn)到22）由（4）式，F(xiàn)p作用必沿直線移動。由（3）式，22直線的截距值大于11直線的。所以，當(dāng)中性軸1zhyp.zp)(y.z)(a)nkFpzAz75-1順時針轉(zhuǎn)向中性軸22時，F(xiàn)P作用點FP1、FP2沿直線，并繞形心也順時針轉(zhuǎn)向。如果中性軸繞A點從11順時針轉(zhuǎn)動至33（中性軸始終在截面外周旋轉(zhuǎn)），則截面內(nèi)就不產(chǎn)生拉應(yīng)力，將A坐標(biāo)代入（4）式:zL+yL=1,即FP沿該直線移動。從FP1-FP2-FP3,反之鉛垂力bh66Fp從Fpi-Fp2fFP3直線移動，截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，同理過B、F、D分別找另三條Fp移動

24、的直線。這四條直線所圍區(qū)域為截面核心。鉛垂壓力在截面核心內(nèi)作用，則橫截面上不會有拉應(yīng)力。7-19矩形截面懸臂梁受力如圖所示，其中力Fp的作用線通過截面形心。試:1 ,已知Fp、b、h、l和P,求圖中虛線所示截面上點a的正應(yīng)力；2 .求使點a處正應(yīng)力為零時的角度P值。(d)解：My=FplsinWyMz=FPlcosI；Wz二2hb"Vbh26MzMya二一WzWy62F2(bcos|-：,hsinP)b2h2令H=0,則tanP=b,P=tanAbhh7-20矩形截面柱受力如圖所示。試：1 .已知P=5°,求圖示橫截面上a、b、c三點的正應(yīng)力。2 .求使橫截面上點b正應(yīng)力為

25、零時的角度P值。解:Fnx=FpCOS-My(a)=FPsin.-0.04My(b)=2My(a),FnxMyMy(c)=3My(a)Fpcos|：,0.04FpsinI：AWy0.10.040.10.0426=Fp(cos|：'-6sin|)0.10.0436010/=(cos5-6sin5)0.004=7.10MPaFnxA2My(a)60103Wy0.0042.FnxAAtanI；-"=12B習(xí)題7-19圖(cos5-12sin5)=-0.745MPa3My(a)8.59MPaWyN(cosp-12sinI-')=0P=4.76。7-21交通信號燈柱上受力如圖所

26、示。燈柱為管形截面，其外徑D=200mm,內(nèi)徑d=180mm。若已知截面A以上燈柱的重為4kNo試求橫截面上點H和K處的正應(yīng)力。.325解：tan8=,6=22.62°7.8FNyMz-(4009001950cosR-6700N=1950sin6x(7.8-0.6)-900父2.1=3510N-FnxA-6700=-1.12MPa2_2(0.22-0.182)4404。習(xí)題7-20圖40H習(xí)題7-21圖FNyMzW二.12無35100.2(1_0.9)32''一=11.87MPa47-22示橫截面上解：ANo.25a普通熱軋工字鋼制成的立柱受力如圖所示。試求圖a、b、

27、c、d四點處的正應(yīng)力。=48.5>10-m2Wz=401.88106m363Wy=48.283106mFNx-100kN333Mz=100M103M0.125+25X103M0.5=25M103N-m33My=(8M2)M103M0.6用.6M103N-mMz-z=62.6MPaWzLcrtkN習(xí)題7-22圖My=199MPaWyFnxA-20.6MPaFNxMzz=41.6MPaAWzFnxMy-二240MPaWy.d723FnxAMzWzMy-=116MpaWyM(a)My承受集度為q=2.0kN/m均布載荷的木制簡支梁，其截面為直徑d=160mm的半圓形。如圖所示。試求梁內(nèi)的最大拉

28、應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。梁斜置解：qy=qcos20°,qz=qsin20°,y。2dMzmax,1=qy1-qy1一21一qyqcos20=940Nm2Mymax、-maxAA(1)J=9.8344m0.08)10上Bqy-039.7N.m(c)1=-qsin200=342N-m4一4一2無d41無M1604M102彳a4vdcf4=16.1父10m64,4無d64264MzIz二（(2d)2=4.495610上3%M,乂丁y(b)29404.49561020.16.34216.1106=8.80MPa(左下角A點)最大壓應(yīng)力點應(yīng)在CD弧間，設(shè)為O-zmax(Rsin?-yc)

29、.MymaxRcos.<IzzmaxIy94016。10,d.二a=84.19口代回(1)式,IzMymax4.4956106342940(80sin84.192160)10V3；.max<10- =-9.71 MPa'3無34280cos84.1910一4.495610-16.110.一797-24拉應(yīng)力。解：M簡支梁的橫截面尺寸及梁的受力均如圖所示。試求n=30kN-m160201021802090yc二1602021802016221829-=65.38mm1.6221.82Iz=(16020123-1602055.382)32018032(12JNN截面上a、b、c三點的正應(yīng)力及最大N-N習(xí)題7-24圖卜,cT120kN20180(9065.38)=33725128mm4=33.72510-m4330103=MQ05538=49.3MPa(壓應(yīng)力)33.72510-3000031b=6(180-65.38-80)10-=30.8MPa(拉應(yīng)力)33.72510一301033CTa=6X(180-65.380)X10-66.4MPa(拉應(yīng)力)33.72510H330103CTmaxRd=6X(180-65.38)X10=102MPa(拉應(yīng)力)33.72