數(shù)值計(jì)算方法ch2—22PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法ch222其逆矩陣也是倍加矩陣矩陣倍加是特殊的初等矩陣稱(chēng)為矩陣通常記為行元素有關(guān)與變換后增廣矩陳的第,./kiikkkikElkiaac ikcEki11111第1頁(yè)/共16頁(yè)它們都是單位下三角矩陣，即對(duì)角元全為1、對(duì)角線(xiàn)上方元素全為零的矩陣。因此不選主元的高斯消去法消去過(guò)程，實(shí)質(zhì)是增廣矩陳 被左乘一系列倍加矩陣，變成上三角形矩陣 ，即ARRAEEEEEEnnnn12131232,1此式稱(chēng)為高斯消去法的矩陣形式。由此顯然REEEEREEEAnnnn,1111311211213,1注意EEEELnn,11113112E1n是將單位矩陣 的第行倍數(shù)加于第 行， ，將第一行的

2、倍數(shù)加于第 行、 、第二行，可見(jiàn) 是單位下三角矩陣。故nnLbLyLRA, LyLRyRLRLAbA這說(shuō)明，高斯消去法的消去過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是把系數(shù)矩陣 分解為單位下三角矩陣 與上三角矩陣 的乘積，并且求解議程組 的過(guò)程。回代過(guò)程就是求解上三角形方程組ALRbLy yRx 第2頁(yè)/共16頁(yè) 矩陣 和 也可直接算出。事實(shí)上，比較等式 兩邊等 行、第 列元素可知LRRLA ij11,1,1njnirlankkjikij注意 是單位下三角矩陣， 便知L, 0, 1ikiilikl時(shí)11ikijkjikijrrla從而11221, 1,ikkjikijijniijrlar同樣，因 為上三角陣， 知R, 0

3、kjrik時(shí)nkikiijikijkkijkjirlrlrla111第3頁(yè)/共16頁(yè)可見(jiàn)32, 2, 1,11niijrrlaliiikkijkjiji公式（2-2）和（2-3）就是計(jì)算 和 各元素的計(jì)算公式。 實(shí)際計(jì)算時(shí) 的對(duì)角元 不必存放， 和 中肯定為零的元素也不必存放，因此 的 可共同存放在增廣矩陣 的位置：LRL1iilLRLRA 33333333333232313122222323222221211111131312121111byararalalbyarararalbyararararnnnnijrjilALRRRLiRi此時(shí)公式（2-2）、（2-3）表明， 或 都是原始矩陣 對(duì)

4、應(yīng)元素，減去同行左邊 的元素與同列上邊 的元素乘積；只是對(duì) 的元素，然后需除以 的對(duì)角元。計(jì)算順序，通常先算 的第 行，再算 的第 列；也可先算 的第 列，再算 的第 行， 如圖21所示：Lni,2, 1iL第4頁(yè)/共16頁(yè) ani, 2 , 1 b圖21 計(jì)算順序例21 分解 ，并解方程組 ，其中LRA bAx 71052,139144301021312434321bA解 按計(jì)算公式（2-2）和（2-3）第5頁(yè)/共16頁(yè)164234172332113232432171391441030102513124324321A詳細(xì)計(jì)算過(guò)程如下（下文不再寫(xiě)出）：16172)1(3)2(4742213)4

5、(413;23)3(3349(17)1(3)2(210213)4(23, 3)3(3320; 32)2414(, 32)2210(1)2()3(5, 1)4()3(1333)3(12, 22)3(4;414, 212, 3132, 4, 3, 2, 145444433533433423225224232241312115114131211ryrlryrrllryrrrlllryrrrr第6頁(yè)/共16頁(yè)從而161712,4231324321,1234132131yRLTx4,3,2,1bLy yRx 回代（解方程組 ），得yRx 分解 且 為單位下三角陣、 為上三角陣，稱(chēng)為杜里特爾Dolittl

6、se)分解。利用杜里特爾分解求解方程組 或 ，相當(dāng)于解兩個(gè)三角形方程組LRA LRbAx bRxL)(解下三角方程組 可以在分解 時(shí)同時(shí)完成（如例21），也可獨(dú)立完成。這是因?yàn)?，?寫(xiě)成分量形式，就是bLy RLA bLy 第7頁(yè)/共16頁(yè)nnnnnnnbyylylylbyylylbyylby11,2211332321312212111由此可見(jiàn)，niylbybyikkikii,3,2,1111 用杜里特爾分解求解方程組（2-1），所需乘除次數(shù)與高斯消去法完全一樣。其中分解 需 次，解 需 次，解 需 次，共計(jì) 次。LRA nn 331bLy nn 221yRx nn 221nnn313123第

7、8頁(yè)/共16頁(yè)陣，即對(duì)角全為1、對(duì)角線(xiàn)上方元素全為零的矩陣。因此不選主元的高斯消去過(guò)程，實(shí)質(zhì)是增廣矩陣被左乘一系列倍加矩陣，變成上三角形矩陣,即此式稱(chēng)為高斯消去法的矩陣形式。由此顯然注意是將單位矩陣三角分解法常用于求解系數(shù)矩陣都是 的若干方程式組mibAxii,2,1,這是因?yàn)?，一旦完成分?，只需再解 個(gè)三角形方程組LRA m miyRxbLyiiii,2, 1,A解這種三角形方程組每組只需 次乘除法，遠(yuǎn)比重復(fù)使用高斯消去法節(jié)省工作量。為保證三角分解順序、穩(wěn)定進(jìn)行，與高斯消去法一樣，也可選主元。常用列主元法。2n. 克洛特分解法當(dāng)矩陣 可作杜里特爾分解 時(shí),令 為 對(duì)角元構(gòu)成的對(duì)角陣ARLA

8、 DR則RDLDRLArrrdiagDrrrdiagDnnnn1112211112211),(),(第9頁(yè)/共16頁(yè)再算第 行；或者先算第 行，再算第 列， 如圖22所示?？寺逄胤纸夥ǖ挠梅斑\(yùn)算量與杜里特爾分解法相同。 例22 用克洛特分解法求解方程組,2, 1niiii815531614255213243214314214321xxxxxxxxxxxxxx1161391596921012121312181515316114012505213121解135011613921121yRL得第10頁(yè)/共16頁(yè)解 ，得解 。解畢。 為保證克洛特分解法順利、穩(wěn)定進(jìn)行，也可采

9、用列主元法。求解 步驟如下：yRx Tx1 , 1 , 1 , 1bAx 對(duì) 做ni1niknkikninjikkjikijijjinjipiikkijkjijiyRxaaaaniiaaaanijipipaaiaaaanij11,1,1,11111111,max)(解令對(duì)行算令對(duì)選主元行時(shí)交換當(dāng)求列算令對(duì) 計(jì)算結(jié)束時(shí) 的第 列就是解 注意：例22中系數(shù)矩陣對(duì)稱(chēng)： ，此時(shí) 就是 各列除以對(duì)角元所得矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。一般來(lái)說(shuō) 對(duì)稱(chēng)且可作克洛特分解 ，記 的對(duì)角元構(gòu)成的對(duì)角陣為 ， 各列除以對(duì)角元構(gòu)成的單位下三角矩陣為 ，則A1nAATRL|WTBXLRA LDLL第11頁(yè)/共16頁(yè)TTTTTTTTL

10、DRLDRLDRDRLAADRL可見(jiàn) ， ，說(shuō)明 都是 各列除以對(duì)角元所得矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣；說(shuō)明對(duì)稱(chēng)矩陣 可分解為 或 。因此 可由 直接求出，而不必再按公式（24）第二式重復(fù)計(jì)算。這樣分解 可以節(jié)省 次乘法，即節(jié)約大約一半的運(yùn)算量。 也可不存儲(chǔ)。TLRDRRATRLADRRATTLDLRLAnnn236123R 2.2.3 追趕法 追趕法適于求解對(duì)角方程組 ,這里bAx nnnnnnndbadcbadcbadcbadcbbAA111133332222111第12頁(yè)/共16頁(yè)其實(shí)質(zhì)是高斯消去法、三角分解法的應(yīng)用。事實(shí)上，將 作克特分解AnnnnnnnyyryryryrlalalalalA1111

11、1113322111133221則易知11111,ldybl nilyadyrabllcriiiiiiiiiiii, 3, 2,11111回代得11,1nixryxyxiiiinn。按照這些公式次數(shù)求解 的方法就稱(chēng)追趕法，其中算 稱(chēng)追，回代稱(chēng)趕，共需乘除法次數(shù)為 ，遠(yuǎn)比一般方程組的高斯消去法或三角分解法節(jié)省運(yùn)算量。實(shí)際問(wèn)題提出的三對(duì)角方程組往往嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，因此不用選主元，就可保證順利、穩(wěn)定進(jìn)行。bAx iiiylr,45 n第13頁(yè)/共16頁(yè)2.2.4 平方根法 平方根法適于求解 對(duì)稱(chēng)正定的方程組 。此時(shí) 的各階順序主子式 ，保證了主元大于零，保證了 可作克特分解 而且 的對(duì)角元 （也就是主

12、元）全為正數(shù)。所以令 ，則AbAx AA0kTLDLADidnddddiagD,2121TTDLDLLDDLADDD)()(,212121212121再記 為 ，則上式表明。對(duì)稱(chēng)正定矩陣 可分解為 ，即下三角矩陣及其轉(zhuǎn)置矩陣的乘積，利用比較法可得 元素計(jì)算公式：ninijlllallaliiikikjkjijiikikiiii1)62(1,)()(111121221DLLATLLA L利用這種分解方程組 稱(chēng)為平方根法或喬列斯基(cholesky)分解法。跟前種分解法一樣，求解下三角方程組 可在分解 的同時(shí)進(jìn)行。bAx bLy A第14頁(yè)/共16頁(yè)例23 用平方根法求解例22方程組。解11213523210121213121815153161140125052