概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案完整校對

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)旦大學習題1 .略.見教材習題參考答案.2 .設(shè)A,B,C為三個事件，試用A,B,C的運煞關(guān)系式表示卜別三(1) A發(fā)生，B,C都不發(fā)生；(2) A與B發(fā)生，C不發(fā)生：(3) A,B,C都發(fā)生；(4) A,B,C至少有一個發(fā)牛：(5) A,B,C都不發(fā)生；(6) A,B,C不都發(fā)牛：(7) A,B,C至多有2個發(fā)生；(8) A,B,C至少有2個發(fā)生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4) AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC(5) ABC=AUBUC(6)ABCABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC=AU

2、BUC(8) ABUBCUCA=ABCUABCUABCUABC3 .Gt.R.龍科二及賽苦答案4 .設(shè)A,B為隨機事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB)【解】P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65 .設(shè)A,B是兩事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7，求：(1) 在什么條件下P(AB)取正最大住？(2)在什么條件下P(AB)取正最小住？【解】(1)當AB=A時，P(AB)取到最大值為0.6.(2) 當AUB=時，P(AB)取到最小值為0.3.6 .設(shè)A,B,C為三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(A

3、B)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)_P(AB)_P(BC)_P(AC)+P(ABC)11113=4+4+3-12-45張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率7 .從52張撲克牌中任意取出13張，問有；是多少？p=C53C33C33c123/C13528.也一個五人干/小的考底牛匚問膽：(1)求五個人的生日都在星期日的概率；(3)求五個人的生日不都在星期日的概率【解】(1)設(shè)A=五個人的生日都在星期日/ 、_ 1, 1、5P (A1) 5 =( 一)757(2)設(shè)A2=五個人生日都不在星期日(2

4、)求五個人的生日都不在星期日的概率；.,基本事件總數(shù)為 75,有利事件僅1個，故(亦可用獨立性求解，下同),有利事件數(shù)為65,故23,、6565P(A2)=75=(y)(3)設(shè)A3=五個人的生日不都在星期日15P(A3)=1-P(A1)=1-(-)9 .格.見教材習題參考答案.10 .一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機地取出n件(nN).試求其中恰有m件(mWM)正品(記為A)的I率.如果:(1) n件是同時取出的；(2) n件二無版網(wǎng)逐勺取出的：(3) n件是有放回逐件取出的.【解】(1)p(A)=c.cN/cN(2)由于是無放回逐件取出，可用排列法計算.樣本點總數(shù)有PNn種，n次抽取中

5、有m次為正品的組合數(shù)為C：種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有Pm種，從N-M件次品中取n-m件的排列數(shù)為PN寸種,P (A)=m pmpn -m Cn PM PN JM由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P (A)m n -mCM CN -McNN種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn 種，n可以看出，用第二種方法簡便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為C：種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nm次取得次品，每次都有NM種取法，共有(N-M)n5種取法，故P(A)=

6、C：Mm(N-M-/Nn此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次取得正品的概率為M-,則取得Nm,M11 -m件正品的概率為mMP(A)=CniNN11 .陪.見教材習題參考答案.12 .50只挪釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個挪釘強度太弱.每個部件用3只挪則這個部件強度就太弱.求發(fā)生一個釘.若將3只強度太弱的獅釘都裝在一個部件上,部件強度太弱的概率是多少？【解】設(shè)A=發(fā)生一個部件強度太弱piAHccVcM196013.一個袋內(nèi)裝有大小相同的7個球,其中計算至少有兩個是白球的概率.【解】 設(shè)A=恰有i個白球 (i=2,3),顯然4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取 3個,A2與

7、A3互斥.P(A2)窄C71835C34p(Ab) =33=35C735P(AU22A3)=P(4) P(A3)=-3514.有甲、乙兩批種子,發(fā)芽率分別為0.8和0.7,在兩批種子中各隨機取一粒，求:(1)兩粒都發(fā)芽的概率；(2)至少有一粒發(fā)芽的概率；(3)恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai=第i批種子中的一粒發(fā)芽,(i=1,2)(1) P(AA2)=P(A1)P(A2)=0.70.8=0.56(2) P(AUa2)=0.70.8-0.70.8=0.94(3) P(AA2UAA2)=0.7=0.3815 .擲一枚均勻硬幣走到I現(xiàn)3次正面才停止.(1)問正好在第6次停止的概率；

8、(2)問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率【解】(1)532c4(1)(1)3- P2-16 .甲乙兩個籃球運動員，投籃命中率分別為0.7及0.6,每人各投了3次，求二人進球數(shù)相等的概率.【解】設(shè)Ai=甲進i球,i=0,1,2,3,Bi=乙進i球,i=0,1,2,3,則3P(UABi3)=(0.3)3(0.4)3c3o.7(0.3)2c30.6(0.4)2i衛(wèi)_22_2233C3(0.7)m0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6)=0.3207617 .從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率P =1c4c 2c C C13C4o2118

9、.某地某天卜雪的概率為0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1，求:(1)在下雨條件下下雪的概率；(2)這天下雨或下雪的概率.【解】設(shè)A=下雨,B=下雪.(1)P(B A)P(AB)P(A)0.10.5-0.2(2) p(AUB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.30.5-0.1=0.719 .口虹一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率(小孩為男為女是等可能的).【解】設(shè)人=其中一個為女孩,B=至少有一個男孩,樣本點總數(shù)為23=8,故P(B A)P(AB) 6/86P(A) 7/87或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7.6P(BA)=720 .已死5%

10、的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率(假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半)【解】設(shè)A=此人是男人,B=此人是色盲,則由貝葉斯公式P(AB)=P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(B|A)P(A)P(BA)0.50.0520-0.50.050.50.0025-2121 .兩人均定卜.片-9:0010:00在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率6030題22圖另一人半小時以上”3060題21圖【解】設(shè)兩人到達時刻為x,y,則0Wx,y30.c30P二一60【解】(1)(2)兩個數(shù)之和小于6的概率；5一， 1 ,，一兩個數(shù)之積小于 一的概率.4

11、設(shè)兩數(shù)為x,y,則0x,y1.(1) x+y 6.51 4 4Pi =1 -17 ccc 0.6825(2) xy= -.4P2 =1 一Rdx hdy1 4 4x1 1 In 24 223.設(shè) P ( A )=0.3,P(B)=0.4,P(AB )=0.5,求 P (B| AU B)P(B AUB)=P(AB)P A )P AB )P(AUB) P(A) P(B) -P(AB)22 .雙（0,1）中隨機地取兩個數(shù)，求:0.7-0.51=24.在一個念中裝在15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同1任意取出3個球，求第二次取出

12、的3個球均為新球的概率.【解】設(shè)Ai=第一次取出的3個球中有i個新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有3P(B)=P(BA)P(A)i025.按以往概率論考試結(jié)果分析， 生有90%的可能考試不及格(1)(2)【解】設(shè)(A)3 3 1 2 3 2 1 3C6C9C9c6C8C9c6C73C315C315C35c9C3C5 瓦=0.089努力學習的學生有.據(jù)調(diào)查，學生中有90%的可能考試及格，不努力學習的學80%的人是努力學習的，試問：考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人?考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人?A=被調(diào)查學生是努力學習的,則A =被調(diào)查學生是

13、不努力學習的.由題意知=0.8, P (A) =0.2,又設(shè)B=被調(diào)查學生考試及格.由題意知P (B|A) =0.9(B|A) =0.9,故由貝葉斯公式知(1)P(A|B)=P(Ab)P(A)P(B A)P(B)P(A)P(B|A) P(A)P(B A)0.2 0.10.8 0.9 0.2 0.1 -37-0.02702即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%(2)p(aB)= p(ab)=P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B|A) P(A)P(B A)0.8 0.10.8 0.1 0.2 0.94一 二0.307713即考試不及格的學生中努力學習的學生占30.77%.26.將

14、兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2：1.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)A=原發(fā)信息是A,則=原發(fā)信息是BC=收到信息是人,則=收到信息是B由貝葉斯公式，得P(A C)=P(A)P(C A)P(A)P(C|A) P(A)P(C A)2/3 0.982/3 0.98 1/3 0.01=0.9949227 .在有兩T球的笥干中可放一I冰 然不打點取出一W.若發(fā)工這球為I球，戊求第子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的顏色只在黑、|兩種)1【解】設(shè)Ai=箱中原有

15、i個白球 (i=0,1,2),由題設(shè)條件知 P (Ai) =,i=0,1,2.又設(shè)B=抽3出一球為白球.由貝葉斯公式知P(A B)=P(AB)P(B)P(B AJP(A)2、P(BA)P(A)i勾2/3 1/3 _ 1 -1/3 1/3 2/3 1/3 1 1/3 - 328 .某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)晶中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02, 一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品, B=產(chǎn)品被認為是合格品由貝葉斯公式得P(AB)=P(AB)P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B|A) P(

16、A)P(B A)0.96 0.980.96 0.98 0.04 0.05=0.99829.某保險公司把彼保險人分為三類董慎的”一般的”,“冒失的.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30;如果“謹慎的”被保險人占20%, “一般的”占50%, “冒失的”占30%,現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故,則他是“謹慎的”的概率是多少?【解】設(shè)A=該客戶是“謹慎的”C=該客戶是“冒失的” 則由貝葉斯公式得, B=該客戶是“一般的” , , D=該客戶在一年內(nèi)出了事故PzAID1.p(ad)_p(a)p(dIa)P(A|D)-P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D

17、|B)P(C)P(D|C)= 0.0570.20.050.20.00.330.汨工某一岑件需要舒過四道工序，設(shè)第一、一、二四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率【解】設(shè)Ai=第i道工序出次品(i=1,2,3,4).4p(Ua)=i-p(AAA3A4)i1=1-P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)=1-0.980.970.950.97=0.12431 .設(shè)每次射擊伯命1P率為0.2,問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進行n次獨立射擊.1-(0.8)n,0

18、.9即為(0.8)n11至少必須進行11次獨立射擊.32 .ilf明：若P(A|B)=P(A|B),則A,B相互獨立.P(AB)P(AB)【證】P(A|B)=P(A|BP)-)P(B)P(B)亦即P(AB)P(B)=P(AB)P(B)P(AB)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)因此P(AB)=P(A)P(B)故A與B相互獨立.33 二人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為111,求將此密碼破譯出534的概率.【解】設(shè)A=第i人能破譯(i=1,2,3),則3P(UA)=1-P(A1A2A)=1-P(A)P(A2)P(A3)i1,423八八二1一一一一二0.653434 .甲、乙、內(nèi)

19、三人獨立地向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2;若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6;若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率【解】設(shè)人=飛機被擊落,Bi=恰有i人擊中飛機,i=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A)=、P(A|BJP(Bi)i0=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+0.4X0.5X0.7=0.45835 .已虹.某和妝病患豈.的痊愈率為25%,為試驗一種新藥是否有效，把

20、它給10個病人服用，且規(guī)定若10個病人中至少有四人治好則認為這種藥有效，反之則認為無效，求：(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%,但通過試驗被否定的概率.(2)新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率3【解】(1)p1=Ck0(0.35)k(0.65)10”=0.5138k010(2)p2Ck0(0.25)k(0.75)10=0.2241k436. 一架升降機干始時仃6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率:(1) A=某指定的一層有兩位乘客離開”；(2) B=沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；(3) C=恰有兩位乘客在同一層離開“；(4) D=至少有兩位乘客在同

21、一層離開“【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.(1) P(A)=C294106,也可由6重貝努里模型:P(A)七。藤)4(2)6個人在十層中任意六層離開，故P6P(B)二*106(3)由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有C10種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有C2種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有c9c4c8種可能結(jié)果；4人同時離開，有c9種可能結(jié)果;4個人都不在同一層離開，有Pf種可能結(jié)果，故p(c)=c；0c2(c9c4c

22、8+c9+p4)/106(5) D=B.故P(D) =1 - P(B) =1 -P010637. n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率一1【解】(1)p1=n-13!(n-3)!(2)p2=7,n3Pl咤.2二%洛，n _3 n! nn!38 .將線段0,a什意折成三析t試求這二折線段能構(gòu)成二旬泥的概率【解】設(shè)這三段長分別為x,y,ac_y.則基本事件集為由0xa,0ya,0a-x-yyy+(a-x-y)x構(gòu)成的圖形，即a10cx2a0y乙正)=(

23、甲正w乙正)=(n+1_甲反wn_乙反)=(甲反1+乙反)=(甲反乙反)由對稱性知P(甲正乙正)=P(甲反乙反)一E一1因此P(甲正乙正尸246 .證明”確定的原則”1Surehing):若P(A|C)4P(B|C),P(A|C)小P(B|C),則P(A)P(B).【證】由P(A|C)LP(B|C),得P(AC)P(BC)一,P(C)P(C)即有P(AC)_P(BC)同理由P(A|C),P(B|C),得P(AC),P(BC),故P(A)=P(AC)P(AC),P(BC)P(BC)=P(B).求每一節(jié)車廂內(nèi)至少47 .一列火車共有n節(jié)車廂，有k(kn)個旅客上火車并隨意地選擇車廂有一個旅客的概率

24、.【解】設(shè)Ai=第i節(jié)車廂是空的,(i=1,n),則k=(#=(1-8nnP(AAj)=(12)knIIIP(AA川3)=(1-k其中i1,i2,in是1,2,，n中的任n1個.顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是一n1k11kSi=P(A)=n(1)=Cn(1)ynnS2=P(AAj)C(1-2)k1m:j,innIIISn=工P(AAIIIAn。5(1-1)k1上：i：2：ll|in_1/5nSn=0nP(UAi)=S1-S2S3-(-1)n1Sni1=C1n(i)kC2(1-2)k+|+(-1)ncn(1二)knnn故所求概率為1-P(3)=1-Cnn(1k+C2(12)i+(_1嚴C；(1

25、_0kiinnn48 .設(shè)隨機試驗中，某一事件A出現(xiàn)的概率為0.試證明：不論e0如何小，只要不斷地獨立地重復(fù)做此試驗，則A遲早會出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗中，A至少出現(xiàn)一次的概率為1-(1-；)n1(n一：)49 .袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽).在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)人=投擲硬幣r次都得到國徽B=這只硬幣為正品由題知P(B)=一尸(B)=mnmn1P(A|B)=5,P(A|B)=1則由貝葉斯公式知P(B|A)=誕=P(B)P(A|B)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)mm

26、7LrmmJ.n/m2rnmn2rmn50 .巴拿赫(Banach)火柴盒問題：某數(shù)學家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(不是發(fā)現(xiàn)空)而另一盒恰有r根的概率又有多少？1【解】以BrB2記火柴取自不同兩盒的事件，則有P(B1)=P(B2)=3.(1)發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2n-r次，設(shè)n次取自B1盒(已空)，nT次取自B2盒，第2nT+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nT次火柴視作2nd重貝努里試驗，則所求概率為P1=2C2n(2)n(1)n*C六式中2反映31與

27、B2盒的對稱性(即也可以是B2盒先取空).(2) 前2n+T次取火柴，有n-1次取自B1盒，nT次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率為n11、/141cnJ1x2n-r1P2=2C2一(2)C2)2=C2-七)51. 求n重貝努里試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】設(shè)在一次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.則由(q+p)n=C：p0qn+C；pqn+C2p2qn-+|+Cnpnq0=1nc0nc1n172n2n-nn0(q-p)=CnpqCnpq-Cnpq-|(-1)Cnpq以上兩式相減得所求概率為p1=C；pqn,Cnp3qn-III=21-(q-p)n1n1-(1-2p)n若要求在n重貝努里試驗

28、中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得1p2=21(1.2p)n.52 .設(shè)A,B是任意兩個隨機事件，求P(A+B)(A+B)(A+B)(A+后)的值.【解】因為(AUB)n(AUB)=ABUAB(AUB)n(AUB)=ABUAB所求(AB)(AB)(AB)(AB)=(ABUAB)C(ABAB)=0故所求值為0.53 .設(shè)兩兩相互獨立的三事件，A,B和C滿足條不：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)1/2,且P(AUBUC)=9/16,求P(A).【解】由P(AUbUC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3P(A)-3P(A)213故P(A)

29、=或一,按題設(shè)P (A) 44，故 P (A)=254.設(shè)兩個相互獨立的事件 A和B都不發(fā)生的概率為 不發(fā)生的概率相等，求 P (A).41/9 , A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生An-1一P(AB)=RA/1F(JA歲9P(AB)=P(AB)P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)P(A)=P(B)由A,B的獨立性，及、式有11-P(A)-P(B)P(A)P(B)9_2=1-2P(A)P(A)=1-P(A)211-P(A)=-3P(A)=|或P(A)=4(舍去)_2即p(A)=-355.隨機地向半圓0y0,P(A|B)=1,試比較_9 _20616190P(A U B)與P(A)的大小.(2

30、006研考)P(AjB) =P(A) P(B) -P(AB)P(AB)=P(B)P(AB)=P(B)所以P(AUB)=P(A)P(B)-P(B)=P(A).習題二1 .一袋中有5只乒乓球，編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.【解】X=3,4,51P(X=3)=/=0.1C53P(X=4)=/=0.3C5c2P(X=5)=0.6C5故所求分布律為X345P2 .設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣,以X表示取出的次品個數(shù)，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函數(shù)并作圖；

31、(3)133PX-,P1：二X2,P1三X-,P1二X:二2.【解】X=0,1,2.2235C33P(X=0)=三C1512P(X=1)=呼=12C1535P(X=2)=C13.C3535故X的分布律為X012P22121353535(2)當x0時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=022當0Wx1時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=P(X=0)=一3534當1Wx2時，F(xiàn)(x)=P(XWx)=1故X的分布函數(shù)F(x)= 0,223534351,x ： 00 - x 11 x :二 2x-21122P-次%)=35,p(jx1)=f昌一f(i)=34.34=02235353312P(1X_-)=P(X=1)P(

32、1二X_-)=341P(JX：二2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1-募-募=0.35353.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標的次數(shù).則X=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C30.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C3(0.8)20.2=0.384P(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)0,x00.008,0x1F(x)=10.104,1x20.488,2

33、Mx0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.(2)設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a/N,k=1,2,，N,試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知二二二二k1=、P(X=k)=a=al_ek=0k=0k!(2)由分布律的性質(zhì)知NNo16P(X=k)=ak1k4N即a=1.5 .甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：(1)兩人投中次數(shù)相等的概率；(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) P(X=Y)=P(X=0,Y=0)P(X=1,Y=1)P(X=2,Y=2)P(X=3,Y=3)=(0.4)3(0.3)3C3

34、0.6(0.4)2C3O.7(0.3)2+_22_2233C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3+(0.6)(0.7)=0.32076(2) P(XY)=P(X=1,Yu0)P(X=2,Y=0)P(X=3,Y=0)P(X=2,Y=1)P(X=3,Y=1)P(X=3,Y=2)_123_223=C30.6(0.4)(0.3)C3(0.6)0.4(0.3)_3_3_2_2_1_2(0.6)3(0.3)3+C3(0.6)30.4C30.7(0.3)3+(0.6)3c30.7(0.3)2(0.6)3C3(0.7)30.3=0.2436 .設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻降落的概率

35、設(shè)為0.02,且設(shè)各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道，才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？【解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則Xb(200,0.02),設(shè)機場需配備N條跑道，則有P(XN)0.01200即CCk00(0.02)k(0.98)200”9.故機場至少應(yīng)配備9條跑道.7 .有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在某天的該日段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則Xb(1000,0.000

36、1)P(X_2)=1-P(X=0)-P(X=1)/_=1-e-0.1e8 .已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為p,則c5p(1-p)4=c5P2(1-p)3所以P(X=4)=C5(：)423 3102439 .設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號(1)進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；(2)進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率.【解】(1)設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X6(5,0.3)5P(X3)=LC5(0.3)k(0.7)5,=0.1

37、6308k3(2)令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb(7,0.3)7_kk7_kP(Y3)=ZC7(0.3)(0.7)=0.35293k=310 .某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松分布，而與時間間隔起點無關(guān)(時間以小時計)(1)求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；(2)求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.35【解】(1)P(X=0)=e(2)P(X至1)=1P(X=0)=1eW11 .設(shè)PX=k=Ckpk(1-p),k=0,1,2mm4-m-PY=m=C4p(1-p),m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X,Y的

38、概率分布，如果已知PX1=5,試求PY1.54【解】因為P(X21)=,故P(X1)=.99而P(X：1)=P(X=0)=(1-p)2C4故得(1-p)2=1，911即p.3465從而P(Y_1)-1-P(Y-0)=1-(1-p)40.802478112.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計算，=np=20000.001=2/口_e，25得P(X=5):=0.00185!13.進行某種試驗，成功的概率為自，失敗的概率為。.以X表示試驗首次成

39、功所需試驗的次44數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.【解】X=1,2,*,k,川P(X=k)=(1尸944P(X=2)P(X=4)IIIP(X=2k)III1313312k3%(4)4(4)413L-41-(4)2514.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：(1)保險公司虧本的概率；(2)保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.(1) 在1月1日，保險公司總收入為2500X12=30

40、000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,0.002),則所求概率為P(2000X30000)=P(X15)=1-P(X-14)由于n很大，p很小，X=np=5,故用泊松近似，有14e-55kP(X.15)：10.000069kmk!(2) P(保險公司獲利不少于10000)=P(30000-2000X_10000)=P(X10)10T5k：、0.986305kkk!即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P(保險公司獲利不少于20000)=P(30000-2000X之20000)=P(X5)即保險公司獲利不少于5k =0-5 ke 5k!:0.61596120000元的概率

41、約為62%3015.已知隨機變量X的密度函數(shù)為_|x|f(x)=Ae,x+,求：(1)A值；(2)P0X1;(3)F(x).【解】(1)由廣f(x)dx=1得1=Ae平dx=2Aedx=2A一二二-0一1故A.211二1(2)P(0X：1)=-eJdx=-(1-eJ)x11V當x0時，F(xiàn)(x)=e*dxujexdx+fedx-二2-二2021xc-e,x：02F(x)=11e*x-02X的密度函數(shù)為16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命f(x)=100xx -100,x 二 100.求：(1)在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率;(2)在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率;【解】(3) F (x)(1)小;.150100P(XM150)l00?xPi=P(X150)3=4)3吟327c12、24(2)P2=C3(一)339(3)當x100時F(x)=0x當x*00時F(x)=Lfdt100.J(t)dt.100 f(t)dt100 t2100 dt =1 1- F(x)=100x -100x0,x : 017.在區(qū)間0, a上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這質(zhì)點的坐標，設(shè)這質(zhì)點落在0,al中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù)【解