第6講利用函數(shù)性質(zhì)解決抽象函數(shù)不等式（解析版）

1、第6講 利用函數(shù)性質(zhì)解決抽象函數(shù)不等式【高考地位】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個非常重要的性質(zhì)，也是高中數(shù)學考查的重點內(nèi)容。而抽象函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式問題，其構(gòu)思新穎，條件隱蔽，技巧性強，解法靈活，往往讓學生感覺頭痛。因此，我們應(yīng)該掌握一些簡單常見的幾類抽象函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用問題的基本方法。確定抽象函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)不等式萬能模板內(nèi) 容使用場景幾類特殊函數(shù)類型解題模板第一步 （定性）確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和奇偶性；第二步 （轉(zhuǎn)化）將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為的形式；第三步 （去）運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號“”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步 （求解）解不等式或不等式組確定解集；第五步

2、 （反思）反思回顧，查看關(guān)鍵點，易錯點及解題規(guī)范.例1 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意給定的實數(shù)，且，不等式恒成立，則不等式的解集為_【答案】.【解析】第一步，（去）運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號“”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組：若對于任意給定的實數(shù)，且，不等式恒成立，等價為恒成立，即是定義在上的減函數(shù)，第二步，（定性）確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和奇偶性：又是定義在上的奇函數(shù)，所以，第三步，（求解）解不等式或不等式組確定解集：當時， ，所以，聯(lián)立解得，當時， ，所以，無解，綜上應(yīng)填.【變式演練1】若定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）ABCD【來源】安徽

3、省池州市第一中學2021屆高三模擬考試（臨門一腳）數(shù)學（理）試題【答案】C【分析】首先將轉(zhuǎn)化為或，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解和，進而可以求出結(jié)果.【詳解】因為，所以或，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，因為在上為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且，因此，綜上：不等式的解集為.故選：C.【變式演練2】【江西省贛州市部分重點中學2021屆高三上學期期中考試文科】已知定義在上的函數(shù)滿足且，其中是函數(shù)的導函數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則不等式的解集為（ ）ABCD【答案】A【分析】令，利用導數(shù)可知在上為單調(diào)遞減函數(shù)，將不等式化為且，再利用的單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】令，則，因為，所以，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，當時，由可知，不滿

4、足；當時，所以可化為，即，因為在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以不等式的解集為.故選：A【變式演練3】定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)滿足，且是區(qū)間上的遞增函數(shù)（1）求的值；（2）求證：；（3）解不等式【答案】（1）,；（2）證明見解析；（3）【解析】試題分析：（1）利用賦值法可求,；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義即可證明函數(shù)是偶函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性,利用數(shù)形結(jié)合可解得不等式的解集試題解析：解：（1）令，則，令，則，（2）令，則，（3）據(jù)題意可知，函數(shù)圖象大致如下：，或，或.考點：抽象函數(shù)及應(yīng)用【變式演練4】定義在上的函數(shù)滿足下列條件：對任意，都有；當時，有，求證：（1）是奇函數(shù)；（2）是單調(diào)遞減函數(shù)；

5、（3），其中【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】試題分析：（1）由奇函數(shù)的定義及特殊值即可證明；（2）由單調(diào)性的定義,做差證明；（3）先由題中已知的恒等式賦值,得出要求數(shù)列的通項,再利用裂項求和的方法求得不等式左邊的最簡形式,最后比較左右兩邊的大小關(guān)系,即可得證試題解析：證明：（1）令代入，得到令，得，即在上是奇函數(shù)（2）設(shè)，則，又，且，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)（3），故考點：1抽象函數(shù)；2函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性；3數(shù)列求和【高考再現(xiàn)】1.【2020年高考浙江卷9】已知且，若在上恒成立，則（ ）ABCD【答案】C【思路導引】對分與兩種情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析

6、即可得到答案【解析】當時，在上，恒成立，只需滿足恒成立，此時，由二次函數(shù)的圖象可知，只有時，滿足，不滿條件；當時，在上，恒成立，只需滿足恒成立，此時當兩根分別為和，（1）當時，此時，當時，不恒成立，（2）當時，此時，若滿足恒成立，只需滿足當時，此時，滿足恒成立，綜上可知滿足在恒成立時，只有，故選C 【專家解讀】本題的特點是知識的靈活運用，本題考查了三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想，考查數(shù)學運算、數(shù)學直觀、邏輯推理等學科素養(yǎng)解題關(guān)鍵是合理分類，做到不重不漏2.【2020年高考北京卷6】已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）A B C D 【答案】C【解析】不等式化為在同一直角

7、坐標系下作出y=2x，y=x+1的圖象（如圖），得不等式的解集是，故選C【專家解讀】本題考查了簡單指數(shù)不等式的解法，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學運算、數(shù)學直觀學科素養(yǎng)解題關(guān)鍵是正確作出函數(shù)圖象，利用圖象解決問題3.【2020年高考山東卷8】若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D【思路導引】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，所以當時，當時，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，

8、故選D【專家解讀】本題的特點是注重函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查抽象不等式的解法，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，考查數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模等學科素養(yǎng)解題關(guān)鍵是正確應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為不等式組來求解4.【2017全國卷一理】函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若，則滿足的的取值范圍是（）ABCD【答案】 D【解析】 因為為奇函數(shù)，所以，于是等價于|又在單調(diào)遞減故選D【2018年普通高等學校招生（江西卷）】已知f(x)是定義在(0，) 上的非負可導函數(shù)，且滿足xf(x)f(x)0，對任意的0<a<b，則必有( )A af(b)bf(a) B bf(a

9、)af(b) C af(a)f(b) D bf(b)f(a)【答案】A【解析】因為xf(x)f(x)，f(x)0，所以0，則函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減由于0<a<b，則，即af(b)bf(a)6. 【2014遼寧理12】已知定義在上的函數(shù)滿足：；對所有，且，有.若對所有，則k的最小值為（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：不妨令，則法一：，即得， 另一方面，當時，符合題意，當時，故法二：當時， ，當時，故考點：1.抽象函數(shù)問題；2.絕對值不等式. 【名師點睛】本題考查抽象函數(shù)問題、絕對值不等式、函數(shù)的最值等.解答本題的關(guān)鍵，是利用分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，逐步轉(zhuǎn)化成不含

10、絕對值的式子，得出結(jié)論.本題屬于能力題，中等難度.在考查抽象函數(shù)問題、絕對值不等式、函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識的同時，考查了考生的邏輯推理能力、運算能力、分類討論思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想.來源:Zxxk.Com7. 【2018年普通高校招生全國卷 一】已知函數(shù)，任取兩個不相等的正數(shù)， ，總有，對于任意的，總有，若有兩個不同的零點，則正實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】由題意可得，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.據(jù)此可知為常數(shù)，令f(x）-lnx=t.則f(x)=lnx+t.又，則，當0<x<l時， ，當x>1時， .即函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則： ，求解關(guān)

11、于m的不等式可得：m>2或m<-1（舍）.綜上可得：正實數(shù)的取值范圍為.【反饋練習】1已知是定義在上的以為周期的偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【來源】四川省南充市2021屆高三第三次模擬考試數(shù)學（文）試題【答案】C【分析】先利用函數(shù)的周期性和奇偶性可得，從而將轉(zhuǎn)化為，進而可求出的取值范圍【詳解】解：因為是定義在上的以為周期的偶函數(shù)，所以，因為，所以，整理得，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C2定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，滿足：， ，且當時，則不等式的解集為（ ）ABCD【來源】重慶市南開中學2021屆高三下學期第六次質(zhì)量檢測數(shù)學試題【答案】A【分析】由給定的不等式構(gòu)

12、造函數(shù)對求導，根據(jù)已知條件可判斷非得單調(diào)性，將所求解不等式轉(zhuǎn)化為有關(guān)的不等式，利用單調(diào)性脫去即可求解.【詳解】令，則可得所以是上的奇函數(shù)，當時，所以，是上單調(diào)遞增，所以是上單調(diào)遞增，因為，由可得即，由是上單調(diào)遞增，可得解得：，所以不等式的解集為，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷的奇偶性和單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式 .3已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，任意滿足，則不等式的解集為（ ）ABCD【來源】（全國1卷）2021屆高三5月衛(wèi)冕聯(lián)考數(shù)學（理）試題【答案】D【分析】由是偶函數(shù)，得函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，結(jié)合單調(diào)性求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因為是偶函

13、數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對稱，則，因為任意滿足，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故等價于，解得.故選：D4設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，.當時，則使得成立的的取值范圍是（ ）ABCD【來源】百校聯(lián)盟2021屆高三5月教育教學質(zhì)量監(jiān)測 （全國I卷）數(shù)學（理）試題【答案】B【分析】令，由已知條件可得，所以在上單調(diào)遞增，由和為奇函數(shù)，可得為奇函數(shù)，且，從而由的單調(diào)性可得答案【詳解】由，可得，令，則，故在上單調(diào)遞增.因為，所以，又因為為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，且在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以使得，即成立的的取值范圍是.故選：B5已知函數(shù)滿足，且對任意的，都有，則滿足不等式的的取值范圍是（ ）ABCD【來源】河南

14、省2021屆高三階段性測試（六）文科數(shù)學試題【答案】A【分析】可化為，構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合奇偶性可知該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又將所求不等式變形，即可由單調(diào)性解該抽象不等式.【詳解】根據(jù)題意可知，可轉(zhuǎn)化為，所以在0，+)上是增函數(shù)，又，所以為奇函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，因為，所以，所以，解得，即x的取值范圍是.故選：A.【關(guān)鍵點點睛】本題的關(guān)鍵是將不等式化為，從而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式.6已知函數(shù)在上為增函數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（ ）ABCD【來源】“超級全能生”2021屆高三全國卷地區(qū)4月聯(lián)考試題（丙卷）文科數(shù)學試題【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)為單調(diào)遞增可得，分離參數(shù)

15、，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則不等式對恒成立，即對恒成立，所以對恒成立，令，當，則，所以，故的取值范圍為.故選：D7已知定義在R上的偶函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）ABCD【來源】廣西來賓、玉林、梧州等2021屆高三4月模擬聯(lián)考數(shù)學（理）試題【答案】D【分析】根據(jù)題意作出函數(shù)的草圖，將，轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因為定義在R上的偶函數(shù)滿足在內(nèi)單調(diào)遞增，所以滿足在內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以作出函數(shù)的草圖如下：由，得，得，所以或所以或解得或，即不等式的解集為故選：D8【山西省運城市2021屆高三（上）期中數(shù)學（理科）】已知函數(shù)，若，則實數(shù)a

16、的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，分析可得為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，據(jù)此可得原不等式等價于，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，解可得a的取值范圍，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，其定義域為R，則，則為奇函數(shù)，又由，則在R上為增函數(shù)，故，必有，解得，即a的取值范圍為.故選：C【點睛】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式問題：（1）是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點中心對稱，利用奇函數(shù)性質(zhì)將不等式形式，再利用單調(diào)性得到和的大小關(guān)系，再解不等式即可；（2）是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，利用偶函數(shù)性質(zhì)將不等式形式，再利用單調(diào)性得到和的大小關(guān)系，再解不等式即可.9.【甘肅省蘭州市西北師范大學附屬中學2020

17、-2021學年高三數(shù)學第一學期期中】函數(shù)在單調(diào)遞增，且關(guān)于對稱，若，則的的取值范圍（ ）ABCD【答案】D【分析】利用關(guān)于對稱，可得關(guān)于軸對稱，結(jié)合在單調(diào)遞增，可得，即可求解.【詳解】因為關(guān)于對稱，所以關(guān)于軸對稱，所以，又在單調(diào)遞增，由可得，解得：，故選：D10.【黑龍江省哈爾濱六中2020-2021學年高三（上）開學數(shù)學（理科）】奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，則的解集為（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知可把原不等式轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，且，作出的大致圖像，如下：則，或，解可得或，即或，所以不等式的解集為故選：B.11.【河南省洛陽市2

18、020-2021學年第一學期高三第一次統(tǒng)一考試】已知奇函數(shù)的定義域為，其圖象是一段連續(xù)不斷的曲線，當時，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）ABCD【答案】A【分析】設(shè) ，則 ,由條件可得在上單調(diào)遞增，進一步可得在上單調(diào)遞增，將可化為，即，由單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè) ，則 當時，有成立，此時所以在上單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，則，則為奇函數(shù)，又則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.當，恒有可化為，即，由在上單調(diào)遞增，所以故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，求出的導函數(shù)，由條件得到的單調(diào)性，將可化為，根據(jù)的單調(diào)性解出不等式，屬于中檔題

19、.12.【河南省十所名校2020-2021學年高三上學期第二次考試數(shù)學（理）】設(shè)函數(shù)在上存在導數(shù)，對于任意的實數(shù)，都有，當時，若，則實數(shù)的最大值為（ ）A-1B1C-2D2【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可得為奇函數(shù)，且為遞減函數(shù)，將化為，利用單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】令，則，又，為奇函數(shù)，且，當時，單調(diào)遞減，所以當時，為遞減函數(shù)，由，得，即，得.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)，判斷出其奇偶性和單調(diào)性，并利用單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.13.【河南省鄭州、商丘市名師聯(lián)盟2020-2021學年高三上學期12月教學質(zhì)量檢測】已知是定義在上的減函數(shù)，對任意、，恒成立，若，則的解集為（ ）ABCD

20、【答案】B【分析】推導出，由可得出，由此可得出原不等式的解集.【詳解】因為對任意、，恒成立，所以，則由，得，又是上的減函數(shù)，所以，解得因此，不等式的解集為.故選：B【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，步驟如下：（1）確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得出與的大小關(guān)系，進而解不等式即可得解，但同時要注意定義域的限制.14.【江蘇省常州市教育學會2020-2021學年高三上學期學業(yè)水平監(jiān)測】已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件.【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義和單調(diào)性可確定和的符號，由奇偶性定義可知為偶函數(shù)，利用導數(shù)可

21、確定單調(diào)性；根據(jù)，利用單調(diào)性可求得的解集，根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)論.【詳解】為上的奇函數(shù)，又單調(diào)遞減，當時，；當時，且，令，則，為偶函數(shù)，當時，；當時，；，當時，在上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)對稱性知：在上單調(diào)遞減；，由得：，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查充分條件與必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件， 則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件， 則對應(yīng)的集合與對應(yīng)集合互不包含15【百校聯(lián)盟2021屆高三普通高

22、中教育教學質(zhì)量監(jiān)測考試（全國卷11月）理科】數(shù)已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)；根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合奇偶性可確定在上單調(diào)遞增，由此可將所給不等式化為，解不等式可求得結(jié)果.【詳解】當時，同理，當時，且，可知函數(shù)為奇函數(shù)；，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞增，由得：，即，解得：，即，即實數(shù)的取值范圍為.故選：.16.【天津市八校2020-2021學年高三上學期期中聯(lián)考數(shù)學】設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當時，（為常數(shù)），則不等式的解集為（ ）ABCD【答案】D【分析】由定義在R上的奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，求出，于是可得在時的解析式，由解析式結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再由為定義在上的奇函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，利用函數(shù)單調(diào)性即可解決【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，當時，當時，函數(shù)和在上都是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，因為，故，即有，解得故選:D17【海南省海南中學2021屆高三第五次月考】設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，滿足：，且，則不等式的解集為（ ）ABCD【答案】A【分析】先由，判斷出