高等數(shù)學(xué)北大二復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高等數(shù)學(xué)北大二復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微高等數(shù)學(xué)北大二復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法分法uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則又形象地稱為鎖鏈法則或鏈規(guī)則。第1頁(yè)/共21頁(yè)vvzuuzz)()(22vu)(證為其相應(yīng)的點(diǎn)，為給定的點(diǎn)，設(shè)),(),(vuyx，當(dāng)其中0u(0),(vu）0v.上述關(guān)系對(duì)一切可能的增量 均成立，v 及u特別地對(duì)于由 引x起的偏增量),(),(yxyxxu),(),(yxyxxv也是成立的.的函數(shù)有是這種偏增量時(shí)，作為與當(dāng)xvu0),x(0v0,u0).x(0v)u,(從而故處可微在點(diǎn)由于,),(),(vuvufz ),(yxu

2、即).,(yxv第2頁(yè)/共21頁(yè)),(),(vufvvuufz而),(),(),(),(yxyxfyxxyxxf.),(),(引起的偏增量由恰好是復(fù)合函數(shù)xyxyxf).(lim0如果存在因此，有xzxzx另一方面，由(6.4)式得,)()(22xvuxvvfxuufxz時(shí)，當(dāng)0 x,xuxu.xvxv|)()(|22xvu).0(0)()(022xxvxu第3頁(yè)/共21頁(yè)),00)()(22xxvu（從而因此xvvzxuuzxz類似地yvvzyuuzyzuvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示第4頁(yè)/共21頁(yè)例1 設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解 xzveusin)cos()sin(yxyxy

3、eyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx第5頁(yè)/共21頁(yè)例2 設(shè).,yzxz求.,ln),(22xyvyxuuvvufz其中解 xzxuuzxvvz2ln2xyuxuv),ln(222222yxxyyxyyzyuuzyvvzxuyuv1ln2).ln(1)(222222yxxyxxy第6頁(yè)/共21頁(yè)例3 設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且),(yxfz cosrx .sin,ry ，及求zrz并證明關(guān)系式22)()(yzxz222)(1)(zrrz解rxxzrzryyzxzcos,sinyzzxxzyyz

4、xzrsin.cosyzr22)1()(zrrzxz(cos2)sinyz第7頁(yè)/共21頁(yè)xzsin(2)cosyz.)()(22yzxz( , ),( ),( );zf u vuxvx 則稱之為全導(dǎo)數(shù)。.dzfdufdvdxu dxv dx（1） 中間變量是一元函數(shù)鏈規(guī)則也適用于下列情形:zvuxx（2） 中間變量是三個(gè)).,(),(, ),(yxwwyxvvyxuu, ),(wvufz 則第8頁(yè)/共21頁(yè).ywwfyzyuufyvvfxzxuufxvvf,xwwfzwvuyx(3) 既有中間變量又有自變量, ),(yxufz ),(yxuu 則有), ),(yxyxufz ,xfxuufx

5、z.yfyuufyzzuxyxy注意:這里xzxf與不同,xz表示固定 y 對(duì) x 求導(dǎo),xf表示固定 u 對(duì) x 求導(dǎo)第9頁(yè)/共21頁(yè)例4 設(shè) ,sin xvuz.ddxzzxvuxxxzddxev.cos)sin(cosxxxexxuuzddxvvzddxz求全導(dǎo)數(shù),xeu ,cosxv 解xusinxcos例5 設(shè) f 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),而, ),(wyxfz ,2yxw .,yzxz求解xzxwwfxf,2xywfxfywwfyfyz.2xwfyf第10頁(yè)/共21頁(yè)為簡(jiǎn)便起見 , 引入記號(hào),2121vuffuff ),(1zyxzyxf例6 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyx

6、zyxfw求.,2zxwxw解 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff第11頁(yè)/共21頁(yè)例6,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2第12頁(yè)/共21頁(yè)

7、設(shè)函數(shù), ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxyxyuxyggxz uf xgvfxxgu xf 例解第13頁(yè)/共21頁(yè)設(shè)函數(shù), ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxyxyuxyggyz uf ygvfyygu 例解第14頁(yè)/共21頁(yè)2. 一階全微分形式的不變性定理2 設(shè)函數(shù),zf u vuu x yvv x y 都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) 處的全微分仍可表示為,zf u x yv x y00,xy.uvdzf duf dv證都有因?yàn)楹瘮?shù)),(),(),(yxvvyxuuvufz都有連續(xù)

8、的偏導(dǎo)數(shù)，),(),(yxvyxufz 則復(fù)合函數(shù)的全微分為,dyyzdxxzdz第15頁(yè)/共21頁(yè)dyyvvzyuuzdxxvvzxuuzdzdyyvfyufdxxvfxufvuvudyyvdxxvfdyyudxxufvu.dvfdufvu 由此可見，無(wú)論z是自變量u,v的函數(shù)或中間變量u,v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性.第16頁(yè)/共21頁(yè)由一階全微分形式的不變性, 有;d uvdudvd cucdu c 為常數(shù)2;uvduudvd uvvduudvdvv .df ufu du (*)式證 (*)dyyuvdxxuvuvd)()()(dxxvuxuv)(dyy

9、vuyuv)()(dyyudxxuv)(dyyvdxxvu.udvvdu第17頁(yè)/共21頁(yè)例 6.,)sin(22dueyxuxz求設(shè)解)()()cos(2222xzdeyxdyxduxz)22)(cos(22ydyxdxyx)(xdzzdxexzdxzeyxxxz)cos(222.)cos(222dzxedyyxyxz第18頁(yè)/共21頁(yè)3. 高階微分,xydffx y dxfx y dy,xyxyd dffx y dxfx y dy dxxfx y dxfx y dy dyy 22,.xxyxxyyyfx y dxfx y dydxfx y dxdyfx y dy 如果混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 則 , 于是有:xyyxff222,2,.xxxyyyd ffx y dxfx y dxdyfx y dy的一階微分函數(shù)),(yxf第19頁(yè)/共21頁(yè)222,2,.xxxyyyd ffx y dxfx y dxdyfx y dy即22.d fdxdyfx