偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

1、2022-5-12偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用2022-5-121. 直線直線L的方程：的方程：mzznyypxx000對稱式、點向式方程對稱式、點向式方程0022221111DzCyBxADzCyBxA或一般式方程一般式方程。平行于或方向向量LBABAACACCBCBSmnpS,2211221122112. 平面平面的方程：的方程：一般式方程一般式方程0DCzByAx點法式方程點法式方程0)()()(000zzCyyBxxA。垂直于法向量,CBAn3. 空間曲線空間曲線的方程：的方程：參數(shù)式方程參數(shù)式方程)()()(tzztyytxx一般方程、交面方程一般方程、交面方程0),(0),(z

2、yxGzyxF切L法x0,y0,z0Sn2022-5-121. 參數(shù)方程所表示曲線的切線與法平面：參數(shù)方程所表示曲線的切線與法平面：有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，點對在、如果ttzyxttzztyytxx0)()()(:證明見下頁：證明見下頁：)()()(),(),(),() 1 (000000000tzzztyyytxxxtztytxSL方程為：，其方向數(shù)有切線則：切)(),(),(0)()()()2(000000000000tzztyytxxzztzyytyxxtx其中有法平面：切L法x0,y0,z0Sn2022-5-120)()()()(),(),()()()()(/),(/),(/,0/),(,),(0

3、000000000000000000000000000000000zztzyytyxxtxSnLtztytxStzzztyyytxxxLtztztytytxtxLLPMttzzztyyytxxxzzzyyyxxxLzzyyxxMtzyxPMPMP：取又方程：且方程方程時當(dāng)方程為：割線得取增量證：法切法切切切),(0000zyxP切LM),(000zzyyxx2022-5-12方程及法平面方程的切線在求：設(shè)空間曲線42sin4cos4zyx例例10)81(21)322)(32282()322)(32282(2181322823223228232221,32282,32282)4(),4(),4(

4、81)4(,322)4(,322)4(000zxxzyxzyxSzzyyxx：切向量解：切點：法切2022-5-12解解, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即2022-5-121.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特

5、殊地：特殊地：2022-5-12010100),(),(),(),(),(),(, 0),(),(),(0),(0),(:0)(*0)(*000000(*)(*)PPPPyxGFzzxzGFyyzyGFxxLPzyGFzyxPzyxGzyxF，方程為：點有切線在則處如果在點曲線切式式即：的函數(shù)式隱含為參數(shù)由證：以)(*),(),(,),(),(,),(),(),(),(),(),(,),(),(),(),()()(*),(),(*)10PyxGFxzGFzyGFSzyGFxyGFdxdzzyGFzxGFdxdyxzzxyyxxxzzxyyxx2022-5-12例例2。處的切線及法平面方程在點求

6、曲線) 1 , 2, 1 (060222Pzyxzyx6| )(21122),(),(0000PPPzyzyPzyzyGGFFzyGF解：0| )(21122),(),(0000PPPxzxzPxzxzGGFFxzGF6| )(21122),(),(0000PPPyxyxPyxyxGGFFyxGF0202610261zxyzyxL或：切00)1(6)2(0)1(6zxzyx即：法2022-5-121. 一般空間曲面一般空間曲面0)()()(),(),(, 0),(:00000000000zzPFyyPFxxPFFFFnPzyxPFFFzyxFzyxzyxzyx方程為：其法向量點有切平面：在則連

7、續(xù)，在、如果設(shè)空間曲面切0)()()(0(*)(),(),()(),(),(0)()()()()()(0)(),(),(00000000000000000*00000000zzPFyyPFxxPFPnPSnnStztytxStPFPFPFntzPFtyPFtxPFttztytxFPzyxzyxzyx面上，該平面方程為：相切的直線在同一張平點與過于同一個向量點的曲線的切線都垂直凡是過則：式即：無關(guān)與取求導(dǎo)得：兩邊對，其方程為：點任意取一曲線證：過）（)()()()(00Pttzztyytxx對應(yīng)2022-5-121. 一般空間曲面一般空間曲面0)()()(),(),(, 0),(:0000000

8、0000zzPFyyPFxxPFFFFnPzyxPFFFzyxFzyxzyxzyx方程為：其法向量點有切平面：在則連續(xù)，在、如果設(shè)空間曲面切點的法向量。在叫作空間曲面則切平面的法向量方程為：點有切平面：在如果曲面定義：切000000000000),(:,0)()()(),(0),(:PzyxFFFFnzzPFyyPFxxPFzyxPzyxFzyxzyx2022-5-12nn),(0000zyxP),(00yx0),(zyxFXYZO2022-5-12例例3切橢處的切平面在點：求橢球面)3,3,3(1222222cbaczbyax322,322,3221),(323232222222cczFbb

9、yFaaxFczbyaxzyxFczzbyyaxx解：設(shè)0333cczbbyaax：故：切cczbbyaaxL/13/13/13：法線法2022-5-121)()(0)()()(1,0),(),(,),(0000000000zzPfyyPfxxLzzyyPfxxPfffFFFnzyxfzyxFyxfzyxyxyxzyx：它的法線方程：故：它的切平面方程則令，為：若曲面方程法切2022-5-12)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在M處的切平面方

10、程為處的切平面方程為全微分的幾何意義全微分的幾何意義),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在點在點),(000zyx處的處的切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量.2022-5-120zz xz y0 ),( yxfz PQMN x yAB),(000zyxM),(000zzyyxxN dz=AB : 切面立標(biāo)的增量切面立標(biāo)的增量z= f (x ,y)(d yxzz z =AN ：曲面立標(biāo)的增量曲面立標(biāo)的增量過點過點M的切平面的切平面：)(,()(,(000000yyyxfxxyxfyx 即即：dz z=AB+BN0 zz 0)(0

11、 zzyyxfxyxfyx ),(),(0000)( .dz=AB用切面立標(biāo)的增量近似曲面立標(biāo)的增量用切面立標(biāo)的增量近似曲面立標(biāo)的增量 很很小小時時當(dāng)當(dāng)y,x zdz4. 4. 全微分的幾何意義全微分的幾何意義復(fù)習(xí)一元函數(shù)微分2022-5-12 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與并假定法向量的方向是向上的，即使得它與z軸的正向所成的角軸的正向所成的角 是銳角，則法向量的是銳角，則法向量的方向方向余弦余弦為為,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yx

12、ffyy 其中其中2022-5-12解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx2022-5-12例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點在點)0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方

13、程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx2022-5-12例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 2022-5-12因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程滿足方

14、程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)2022-5-12空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采用量注意采用推導(dǎo)法推導(dǎo)法）（求法向量的方向余弦時注意（求法向量的方向余弦時注意符號符號）三、小結(jié)2022-5-12思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .20

15、22-5-12思考題解答思考題解答,2,2,6000zyxn 設(shè)切點設(shè)切點),(000zyx依題意知切向量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點滿足曲面和平面方程切點滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 2022-5-12一、一、 填空題填空題: :1 1、 曲線曲線2,1,1tzttyttx 再對應(yīng)于再對應(yīng)于1 t的點的點處切線方程為處切線方程為_； 法平面方程為法平面方程為_._.2 2、 曲面曲面3 xyzez在點在點)0 , 1 , 2(處的切平面方程為處的切平面方程為_； 法線方程為法線方程為_._.二、二、 求出曲線求出曲線32,tztytx 上的點上的點, ,使在該點的切使在該點的切線平行于平面線平行于平面42 zyx. .三、三、 求球面求球面6222 zyx與拋物面與拋物面22yxz 的交線的交線在在)2 , 1 , 1(處的切線方程處的切線方程 . .練練 習(xí)習(xí) 題題2022-5-12四、求橢球面四、求橢球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. .五、試證曲面五、試證曲面)0( aazyx上任何點