對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1、要點梳理要點梳理1.1.對數(shù)的概念對數(shù)的概念（1 1）對數(shù)的定義）對數(shù)的定義 如果如果a ax x= =N N( (a a00且且a a1)1)，那么數(shù)，那么數(shù)x x叫做以叫做以a a為底為底N N的對的對 數(shù)，記作數(shù)，記作 ，其中，其中_叫做對數(shù)的底數(shù)叫做對數(shù)的底數(shù),_,_ 叫做真數(shù)叫做真數(shù). . 2.7 2.7 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)a aN Nx x=log=loga aN N（2 2）幾種常見對數(shù)）幾種常見對數(shù)2.2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則對數(shù)的性質(zhì)與運算法則（1 1）對數(shù)的性質(zhì)）對數(shù)的性質(zhì) =_;=_;logloga aa aN N=_(=_(

2、a a00且且a a1).1). 對數(shù)形式對數(shù)形式特點特點記法記法一般對數(shù)一般對數(shù)底數(shù)為底數(shù)為a a( (a a00且且a a1)1)_常用對數(shù)常用對數(shù)底數(shù)為底數(shù)為_自然對數(shù)自然對數(shù)底數(shù)為底數(shù)為_e elnln N Nlglg N Nlogloga aN N1010NaalogN NN N（2 2）對數(shù)的重要公式）對數(shù)的重要公式 換底公式換底公式: (: (a a, ,b b均大于零且不等均大于零且不等 于于1)1)； 推廣推廣logloga ab bloglogb bc cloglogc cd d= = _. _.bNNaablogloglog,log1logabbalogloga ad d

3、(3)(3)對數(shù)的運算法則對數(shù)的運算法則 如果如果a a00且且a a1,1,MM0,0,N N0,0,那么那么 logloga a( (MNMN)=_;)=_; =_; =_; logloga aMMn n= = _(_(n nR R);); logloga aMM+log+loga aN Nlogloga aMM-log-loga aN NNMalogn nlogloga aMM .loglogMmnManamlg2lg51 題型一題型一 對數(shù)的化簡與求值對數(shù)的化簡與求值【例例1 1】(1)(1)化簡化簡: : (2) (2)化簡化簡: : (3) (3)已知已知logloga a2=2=

4、m m,log,loga a3=3=n n, ,求求a a2 2m m+ +n n的值的值. . 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析;40lg50lg8lg5lg2lg;24log35 . 0解解 (1)(1)原式原式= =(2)(2)(3)(3)方法一方法一 logloga a2=2=m m,a am m=2.=2.logloga a3=3=n n,a an n=3.=3.故故a a2 2m m+ +n n=(=(a am m) )2 2a an n=4=43=12.3=12.方法二方法二 logloga a2=2=m m,log,loga a3=3=n n, ,. 145lg45lg405

5、0lg852lg. 241828282822241log4log4log4log34log322215 . 05 . 0.1212log3log2log22aaaaaanm (4)； (5)(log32log92)(log43log83)2462462log3.3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a a1100a a111時時,_,_當當00 x x111時時,_,_當當00 x x100y y00y y00y y00,0,a a1,1,abab=1)=1)的圖象只可能的圖象只可能 是是 （ ） 解析解析 由由a a0,0,abab=1=1可知可知b b0,0, 又又y y=log=l

6、oga a| |x x+ +b b| |的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于x x=-=-b b對稱，對稱， 對稱軸對稱軸x x01,1,且且00a a1, b b c c B.B.a a c c b b C. C.b b a a c c D.D.b b c c a a (1)(1)引入中間量如引入中間量如“1”1”或或“ ”“ ”比較比較. . (2) (2)利用對數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性利用對數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性. . 解析解析 a a=log=log2 21,1, a a b b, ,a a c c. . b b c c,a a b b c c. . , 3log2b,2log3c, 12log21, 13

7、log2132cb, 12lg3lg2log3log2232又思維啟迪思維啟迪21A探究提高探究提高 比較對數(shù)式的大小，或證明等式問題是比較對數(shù)式的大小，或證明等式問題是對數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多對數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多, ,當?shù)桩數(shù)讛?shù)相同時可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)相同時可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較; ;若底若底數(shù)不同，真數(shù)相同數(shù)不同，真數(shù)相同, ,可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用對數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；或利用對數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；若不同底，若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進行比較不同真數(shù)，則可利用中間量進行比較.

8、. 知能遷移知能遷移2 2 比較下列各組數(shù)的大小比較下列各組數(shù)的大小. . (1) (1) (2)log (2)log1.11.10.70.7與與loglog1.21.20.7;0.7; (3) (3)已知已知 比較比較2 2b b,2,2a a,2,2c c的大的大 小關(guān)系小關(guān)系. . 解解 （1 1） loglog log5 51=0,1=0, ;56log32log53與,logloglog212121cab32log356log5.56log32log53(2)(2)方法一方法一 00.71,1.11.2,00.71,1.1log0log0.70.71.1log1.1log0.70.7

9、1.2,1.2,即由換底公式可得即由換底公式可得loglog1.11.10.7log0.7log1.21.20.7.0.7.方法二方法二 作出作出y y=log=log1.11.1x x與與y y=log=log1.21.2x x的圖象的圖象. .如圖所示兩圖象與如圖所示兩圖象與x x=0.7=0.7相相交可知交可知loglog1.11.10.7log0.7 a a c c, ,而而y y=2=2x x是增函數(shù)，是增函數(shù)，2 2b b22a a22c c. . ,logloglog212121cab且xy21log,2 . 1log11 . 1log17 . 07 . 0. .將下列各數(shù)按從大

10、到小的順序排列將下列各數(shù)按從大到小的順序排列: : log log8 89,log9,log7 79, 9, 解解 在同一坐標系內(nèi)作出在同一坐標系內(nèi)作出y y=log=log8 8x x, , y y=log=log7 7x x，y y=log=log2 2x x的圖象如圖的圖象如圖 所示所示, ,當當x x=9=9時時, ,由圖象知由圖象知 loglog2 29log9log7 79log9log8 891=log91=log8 88,8,.)21( ,)21( , 9log, 3log322121, 9log)9log(9log2222221loglog2 22 29log9log7 79

11、log9log8 891,91,即即 loglog7 79log9log8 891.91. 在在R R上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,9log221xy)21(. 3log)21()21(9log9log9log:, 03log. 0)21()21(121212138723綜上又對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用1.對于函數(shù)對于函數(shù)f(x) ， 填寫下述填寫下述問題的答案：問題的答案： (1)若函數(shù)的定義域為若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_ (2)若函數(shù)的值域為若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_ (3)若函數(shù)在若函數(shù)在1，)上有意義，則實數(shù)上有意義，則實數(shù)a的取

12、值的取值范圍是范圍是_ (4)若函數(shù)的值域為若函數(shù)的值域為(，1，則實數(shù)，則實數(shù)a的所有取的所有取值是值是_ (5)若函數(shù)在若函數(shù)在(，1上是增函數(shù)，則實數(shù)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值的取值范圍是范圍是_32212logaxx2 2已知已知f f( (x x)=log)=loga a(3-(3-a a) )x x- -a a 是其定義域上的增函數(shù)是其定義域上的增函數(shù), , 那么那么a a的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A.(0,1) B.(1,3)A.(0,1) B.(1,3) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) 解析解析 記記u u=(3-=(

13、3-a a) )x x- -a a, , 當當11a a333時，時，y y=log=loga au u在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，在其定義域內(nèi)為增函數(shù)， 而而u u=(3-=(3-a a) )x x- -a a在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，在其定義域內(nèi)為減函數(shù)， 此時此時f f( (x x) )在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，不符合要求在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，不符合要求. . 當當00a a10,0, a a11）. . (1) (1)求求m m的值；的值； (2)(2)判斷判斷f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(1,+)(1,+)上的單調(diào)性并加以證明上的單調(diào)性并加以證明. . 解解 （1 1）f f（x x）是奇

14、函數(shù)，）是奇函數(shù)， f f（- -x x）=-=-f f（x x）在其定義域內(nèi)恒成立，）在其定義域內(nèi)恒成立， 1-1-m m2 2x x2 2=1-=1-x x2 2恒成立，恒成立， m m=-1=-1或或m m=1=1（舍去），（舍去），m m=-1. =-1. 11log)(xmxxfa,11log11logxmxxmxaa即（2 2）由（）由（1 1）得）得 ( (a a0,0,a a1),1), 任取任取x x1 1, ,x x2 2(1,+).(1,+). 設(shè)設(shè)x x1 1 1,1,x x2 21,1,x x1 1 0,-10,x x2 2-10,-10,x x2 2- -x x1

15、10.0.11log)(xxxfa,11xx,) 1)(1()(21111)()(,11)(,11)(2112221121222111xxxxxxxxxtxtxxxtxxxt則t t( (x x1 1)t t( (x x2 2),),即即 當當a a11時，時， f f( (x x) )在（在（1,+1,+）上是減函數(shù)；）上是減函數(shù)；當當00a a10,0, 解得解得x x133， MM=x x| |x x1,33， f f（x x）=2=2x x+2+2-3-34 4x x=4=42 2x x-3-3(2(2x x) )2 2. . 令令2 2x x= =t t,x x13,3,t t88或

16、或00t t2.88或或00t t2). 2). 34)32( 32t由二次函數(shù)性質(zhì)可知由二次函數(shù)性質(zhì)可知: : 當當00t t288時時, ,f f( (x x)(-,-160),)(-,-160),當當2 2x x= =t t= = 即即 綜上可知綜上可知: :當當 時時, ,f f( (x x) )取到最大值為取到最大值為 無最小值無最小值. . ,34, 0(,32.34)(,32logmax2xfx時32log2x,3412.12.已知已知f f( (x x)=log)=loga a( (a ax x-1)(-1)(a a00且且a a1).1). （1 1）求）求f f( (x x) )的定義域；的定義域； （2 2）討論函數(shù)）討論函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. . 解解 （1 1）由）由a ax x-10-10得得a ax x11，當，當a a11時，時，x x0