材力第六章第一講2013

1、版權(quán)所有, 2000,2008 (c) 華中科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院華中科技大學(xué)華中科技大學(xué) 力學(xué)系力學(xué)系李 國(guó) 清copyright, 2000,2008 (c) Dept. Mech., HUST , China機(jī)械、土木平臺(tái)課程機(jī)械、土木平臺(tái)課程第六章第六章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論6.1 6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念6.2 6.2 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)6.3 6.3 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)6.4 6.4 廣義胡克定律廣義胡克定律6.5 6.5 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析6.6 6.6 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 畸變能密度畸變能密度6.7 6

2、.7 強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論 相當(dāng)應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力6.1 6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念研究的來(lái)源研究的來(lái)源 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圍繞一點(diǎn)所取單元體在各個(gè)方位截面上應(yīng)力情況的總稱圍繞一點(diǎn)所取單元體在各個(gè)方位截面上應(yīng)力情況的總稱圍繞一點(diǎn)所取各個(gè)方位截面上的應(yīng)力組合圍繞一點(diǎn)所取各個(gè)方位截面上的應(yīng)力組合(正應(yīng)力和剪應(yīng)力）情況復(fù)雜多樣正應(yīng)力和剪應(yīng)力）情況復(fù)雜多樣因此提出了這類（復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下）問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變分析和強(qiáng)度條件。因此提出了這類（復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下）問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變分析和強(qiáng)度條件。任意實(shí)數(shù)212？）？,(or 2112f1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉

3、伸 P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP研究的來(lái)源研究的來(lái)源 6.1 6.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念研究的依據(jù)研究的依據(jù) 圍繞一點(diǎn)所取各個(gè)方位截面上的各種應(yīng)力組合之間存在著某種理論聯(lián)系圍繞一點(diǎn)所取各個(gè)方位截面上的各種應(yīng)力組合之間存在著某種理論聯(lián)系2sin2 ,2cos22cos ,2sin研究的興趣研究的興趣 圍繞一點(diǎn)所取各個(gè)方位截面上的最大正應(yīng)力，最大剪應(yīng)力及其方位圍繞一點(diǎn)所取各個(gè)方位截面上的最大正應(yīng)力，最大剪應(yīng)力及其方位以單元體為研究對(duì)象或模型：以單元體為研究對(duì)象或模型：一般單元提取為正六面體。一般單元提取為正六面體。研究的方法研究的方法 1)每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；每個(gè)面上應(yīng)力均

4、勻分布；2)每對(duì)相互平向的面上應(yīng)力相等每對(duì)相互平向的面上應(yīng)力相等主平面主平面(principal plane)-剪應(yīng)力為零的單元體之平面。剪應(yīng)力為零的單元體之平面。主應(yīng)力主應(yīng)力(principal stresses)-主平面上的正應(yīng)力。主平面上的正應(yīng)力。三向（或空間）應(yīng)力狀態(tài)三向（或空間）應(yīng)力狀態(tài)二向（或平面）應(yīng)力狀態(tài)二向（或平面）應(yīng)力狀態(tài)單向（或簡(jiǎn)單）應(yīng)力狀態(tài)單向（或簡(jiǎn)單）應(yīng)力狀態(tài)主平面和主應(yīng)力主平面和主應(yīng)力(公理公理)受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)都存在三個(gè)互相垂直的主平面，受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)都存在三個(gè)互相垂直的主平面，三個(gè)主平面上分別作用有三個(gè)主應(yīng)力，三個(gè)主平面上分別作用有三個(gè)主應(yīng)力，321 zx六

5、、原始單元體（已知單元體）：六、原始單元體（已知單元體）：例例1 1 畫出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。 PPAA x xMPxyzBC x xB xzC xy yx主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體(Principal bidy)： 各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主面(Principal Plane)： 剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(Principal Stress ）： 主面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，321 1 1 2 2 3 3xyz x y z單向應(yīng)力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀

6、態(tài)。 二向應(yīng)力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。A x x zx x xB xzlpDlm t m m ) ) Dp p( (m pp p D 2p t (2 l ) t tp m mpp p d 2) ) Dp p( (m 0 xF()42mDpD4mpD軸向應(yīng)力ppDl t ( 2 l ) t t0yF()()lDpl2t2tpD周向應(yīng)力或切向應(yīng)力2itpDSCp薄壁壓力容器設(shè)計(jì)公式：xyztm t t22mpD人孔的開法？環(huán)焊縫

7、還是縱焊縫？Fl/2l/2S平面平面FlaS54321543211x 12 2x 2 23 3 3S平面平面4PlFMz 2PFxzy4321yxzMzFQyMx43211pxWM 1 zzxWM143pxWM 3 p3WMxzzxWM3xMxMxMAxMBApxWM 1 BpxWM 1 B左鄰面A右鄰面A左鄰面B右鄰面6.2 6.2 平面平面應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析 ( Plane State of Stresses )xyx y yx xy6.2 6.2 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)- -解析法解析法斜截面上的應(yīng)力（對(duì)）斜截面上的應(yīng)力（對(duì)） , , 2sin2cos22xyyxyx2cos2s

8、in2xyyx主平面主平面 00yxxytg22主應(yīng)力主應(yīng)力 m1 1 m2 222, 1)2(2xyyxyxmm0 0和和 m1 m2排列排列321最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力2minmaxmax正正 應(yīng)應(yīng) 力力剪（切）剪（切） 應(yīng)應(yīng) 力力角度角度 由由x正向正向反時(shí)針轉(zhuǎn)到反時(shí)針轉(zhuǎn)到x正向者為正；正向者為正；反之為負(fù)。反之為負(fù)。xyyxq平衡原理的應(yīng)用平衡原理的應(yīng)用微元局部的微元局部的平衡方程平衡方程0 y0 x y yxxx y x xydAq q0 x 0 xy yx xydAq qdAdAcos dAsin x方向的平衡2sin2cos22xyyxyx0 y 0y方向的平衡2cos2sin2x

9、yyx xy yx xydAq qdAdAcos dAsin 6.2 6.2 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)- -解析法解析法斜截面上的應(yīng)力（對(duì)）斜截面上的應(yīng)力（對(duì)） , , 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx主平面主平面 00yxxytg22主應(yīng)力主應(yīng)力 m1 1 m2 222, 1)2(2xyyxyxmm0 0和和 m1 m2排列排列321( (面內(nèi)）面內(nèi)）最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力2minmaxmax例6.1 已知單元體的應(yīng)力狀態(tài)如圖（a）所示。求： （1）圖示ef截面的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力大小及主平面方位；（3）作主單元體圖；（4）極值剪應(yīng)力。 解：（1）由（41）式得ef截

10、面的應(yīng)力為MPa64.12460sin)40(60cos26010026010030MPa68. 260cos)40(60sin26010030（2）由式（44）得主應(yīng)力大小為故主應(yīng)力為由式（42）得主平面方位MPa28.3572.124)40(26010026010022minmax0,28.35,72.124321MPaMPa0260100)40(220tg（3）作主單元體圖如圖4.7所示。 （4）由式（45）得極值剪應(yīng)力為MPa72.44)40(26010022minmax6.2 6.2 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)- -解析法解析法斜截面上的應(yīng)力（對(duì)）斜截面上的應(yīng)力（對(duì)） , , 2sin

11、2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx主平面主平面 00yxxytg22主應(yīng)力主應(yīng)力 m1 1 m2 222, 1)2(2xyyxyxmm0 0和和 m1 m2排列排列321最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力2minmaxmax5.2 5.2 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)- -圖解法圖解法 xy 22cos2yx2sinxy 2sin2yx2cosxy ()222224212xyyxyx ( () )Rxyxy 12422 R xy 2c應(yīng)力圓應(yīng)力圓 y yx xyx caA),(aC yxq q2q2qaA AxyA A a 連連ad交交 軸于軸于c點(diǎn)，點(diǎn)，c即為圓心，即為圓心，ad應(yīng)力應(yīng)力圓半徑

12、。圓半徑。y yx xyAD a( x , xy)d( y , yx)cR xy 2y yx xyAD a( x , xy)d( y , yx)cRxb( b b, b b)a( , )cbbgaba-b截面,逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò) p-g；應(yīng)力圓上a-b點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2( p-g)或者：順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2ggc b( b b, b b)a( , )cbbgaba-b截面,逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò) p-g；順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2g,圓周角g.gcxygggggggggpbgpbggcossin2sincos22cossin2sincos222/2/2/2/xyxxyyxyxxyyxxyyxyx圖解法解析法未知：x, x, xy !超解方

13、程 x xAD xy xodacxyy45x245245beBExyBE x x x xy yx yBE o a (0, )d(0,- )A ADbec245245 y x BE x y BE BE72 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法等價(jià)等價(jià) x xy yxyzxy x xy yO規(guī)定： 截面外法線同向?yàn)檎?繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正； 逆時(shí)針為正。圖1設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22SSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的應(yīng)力一、任意斜截面上的應(yīng)力xy x xy yO y xy x xyOn圖2圖1xy x xy yO y x

14、y x xyOn圖22sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：同理：()02cos22sin:000 xyyxdd令二、極值應(yīng)力二、極值應(yīng)力yxxy22tg0和兩各極值：）、（由此的兩個(gè)駐點(diǎn)：20101p！極值正應(yīng)力就是主應(yīng)力 00）2222xyyxyxm inm ax （ xy x xy yOxy x xy yO主主單元體單元體1在剪應(yīng)力相對(duì)的項(xiàng)限內(nèi)，且偏向于x 及y大的一側(cè)。0dd:1令xyyx22tg1222x yyxminmax ）（01045 , 4成即極值剪應(yīng)力面與主面pmin2max1 ; 21例例2 分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定

15、危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原 始單元體求極值應(yīng)力0yxPnxyWM222122xyyxyx）（2xy xyC yxMCxyO xy yx破壞分析22minmax2xyyx）（321; 0;4522tg00yxxy0022tg11xyyxMPa200;MPa240:ss低碳鋼MPa300198;MPa960640MPa28098:bybLb灰口鑄鐵低碳鋼鑄鐵73 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx對(duì)上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（一、應(yīng)力圓（ Stress Circle）xy x xy yO y xy x xy

16、On此方程曲線為圓應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：Otto Mohr引入）建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法二、應(yīng)力圓的畫法在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A( x，xy)和B(y，yx) AB與 軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓； x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , ) ) x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , ) )三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力( ， ) 應(yīng)力圓上一點(diǎn)( ， )面的法線 應(yīng)力圓的半徑兩面夾角 兩半徑夾角2

17、；且轉(zhuǎn)向一致。223122xyyxyxROC）（半徑四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力22minmaxminmax22xyyxR）（半徑OC A( x , xy)B( y , yx)x2 1 1minmax2 0 0 1 2 3 3例例3 求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)4532532595150AB 1 2解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與 軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)力圓0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn) 3 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20M

18、Pa主應(yīng)力及主平面如圖0201203213004532532595150 10 2AB2cos2sin2xyyx4532532595150解法2解析法：分析建立坐標(biāo)系如圖xyyxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（60MPa325MPa956060 xyO74 梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線zzxyIbQSzxIMy12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q0，試確定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置。單元體：223122xyxx）（2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 5045

19、0 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 20 D2D1CD1O20= 90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O拉力壓力主應(yīng)力跡線（Stress Trajectories)： 主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線曲線上每一點(diǎn)的切線都指示著該點(diǎn)的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線。 1 3 1 3qxy主應(yīng)力跡線的畫法：主應(yīng)力跡線的畫法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 3 1三點(diǎn)彎曲矩形截面梁上半立面主應(yīng)力跡線(MPa)L=0.6m H=0.1m B=0.05m F=10kN李國(guó)清, 陳傳堯.

20、可視化科學(xué)計(jì)算在力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用. 高等教育研究, 2002年, 23卷: 7880% TPBbB=0.05;bH=0.1;bL=6*bH;Iz=bB*bH3/12; fP=10000;Nx=41;Ny=41;% X-Y PLANE 離散xp=linspace(-0.5,0.5,Nx)*bL; yp=linspace(-0.5,0.5,Ny)*bH;for I = 1 : length(xp)if xp(I) = 0M = 0.5*fP*(x+0.5*bL);Q = 0.5*fP;elseM = 0.5*fP*(x+0.5*bL)-fP*x;Q = -0.5*fP;end% 應(yīng)力計(jì)算strX

21、= 1e-6*M*y/Iz;strXY = 1e-6*Q*(0.25*bH2-y2)/2/Iz;pStr1(I,J)=0.5*strX+sqrt(0.25*strX2+strXY2); endend % 繪制主應(yīng)力跡線clf;c,h=contour(xp,yp,pStr1.);hold on; clabel(c,h);clfc,h=contourf(xp,yp,pStr1.);hold on; clabel(c,h); colorbar;75 三向應(yīng)力狀態(tài)研究三向應(yīng)力狀態(tài)研究應(yīng)力圓法應(yīng)力圓法 2 1xyz 31231 1、空間應(yīng)力狀態(tài)、空間應(yīng)力狀態(tài)2 2、三向應(yīng)力分析、三向應(yīng)力分析彈性理論證明

22、，圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對(duì)應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖圖a圖圖b整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為： max231max 2 1xyz 3123例例4 求圖示單元體的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（MPa）解：由單元體圖知：y z面為主面501建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫應(yīng)力圓和點(diǎn)1,得:27505832144max5040 xyz3010 (M Pa) （M Pa ） ABCAB 1 2 3 max76 平面內(nèi)的應(yīng)變分析平面內(nèi)的應(yīng)變分析xyO 一、疊加法求應(yīng)變分析公式一、疊加法求應(yīng)變分析公式cosd11xaDD21cosxg2sin/cossinsin/cos1xxxaabbBOEAODa

23、bcd AOB剪應(yīng)變： 直角的增大量！（只有這樣，前后才對(duì)應(yīng)） DD1EE1 sind22ycDD22sinyg2sin/cossin/cossin2yyyccccBOEAODxyOabcd AOBDD2EE2 gcosd33xycADdgsocxysin3()gggg2233sincos/coscossin/sinxyxyxyccccBOEAODDD3EE3 xyg gxyg gxyOabcd AOBgcossinsincos2231xyyxii()ggg2231sincos2sin2sinxyyxii2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx g2sin212cos22xy

24、yxyxgg2cos212sin22xyyx 2、已知一點(diǎn)A的應(yīng)變（ ），畫應(yīng)變圓xyyxg,二、應(yīng)變分析圖解法二、應(yīng)變分析圖解法應(yīng)變圓應(yīng)變圓（ Strain Circle） 22 ; 2 ; g1、應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系建立應(yīng)變坐標(biāo)系如圖在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn) A(x，gxy/2) B(y，-gyx/2)AB與 軸的交點(diǎn)C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓應(yīng)變圓。 g g /2 /2ABC g g /2 /2三、三、 方向上的方向上的應(yīng)變與應(yīng)變與應(yīng)變圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)變圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系maxmin20D(，g/2)2n方向上的應(yīng)變( ，g /2) 應(yīng)變圓上一點(diǎn)(，g /2) 方向線 應(yīng)變圓的半徑兩方向

25、間夾角 兩半徑夾角2 ；且轉(zhuǎn)向一致。ABC四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位()22minmax21xyyxyxg）（ 22 ; 2 ; g22minmax22xyyxyx）（yxxytg220yxxyg02tg例例5 已知一點(diǎn)在某一平面內(nèi)的 1、 2、 3、方向上的應(yīng)變 1、 2、 3，三個(gè)線應(yīng)變，求該面內(nèi)的主應(yīng)變。解：由iixyiyixigcossinsincos22i =1,2,3這三個(gè)方程求出 x， y，g x y；然后在求主應(yīng)變。()22minmax21xyyxyxg）（例例6 用45應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)的三個(gè)線應(yīng)變后，求該點(diǎn)的主應(yīng)變。xyu45o0max 2)(2122max）

26、（）（yuuxyx 2)(2122min）（）（yuuxyxyxyxu22tg077 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力 - - 應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系 （廣義虎克定律廣義虎克定律）一、單拉下的應(yīng)力一、單拉下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系ExxxyExzE二、純剪的應(yīng)力二、純剪的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系Gxyxyg) 0 x,y,z(i,jijg)( 0 x,y,zii0zxyzggxyz xxyz x y三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力 - - 應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:()zyxzyxxEEEE1 ()xzyyE1()yxzzE1GxyxygGyzyzgGzxzxg()zyxxE1

27、xyz z y xy x主應(yīng)力主應(yīng)力 - - 主應(yīng)變關(guān)系主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系: :0zxyzz方向一致02tg2yxxyyxxyg02tg()13221E()12331E()32111ExyxyGgyxxE21xyyE21 1 3 2主應(yīng)力與主應(yīng)變主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致方向一致?0202tg)()1)(1222tgggyxxyyxxyyxxyEG五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系321aaaV)1 ()1 ()1 (3322111aaaV3211VVV體積應(yīng)變：)(21 )(21321zyxEE體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系: 1 3 2a1a2a3例例7 已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6， 2=16010-6，彈性模量E=2