數(shù)理統(tǒng)計(jì)_第2章_參數(shù)估計(jì)

1、7-2第二章第二章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)（Parameter Estimation）本章要求：本章要求：1.理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念；理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念；2.掌握矩估計(jì)法（一階、二階矩）和極大似然掌握矩估計(jì)法（一階、二階矩）和極大似然估計(jì)法；估計(jì)法；3.掌握估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性（最小方差性）掌握估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量和一致性（相合性）的概念，并會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性；的無(wú)偏性；4.掌握區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的掌握區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間；會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信

2、區(qū)間；會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。均值差和方差比的置信區(qū)間。本章重點(diǎn)、難點(diǎn)：本章重點(diǎn)、難點(diǎn)：矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法；區(qū)間估計(jì)矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法；區(qū)間估計(jì)；點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)估參數(shù)估計(jì)問(wèn)題計(jì)問(wèn)題假設(shè)檢假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題驗(yàn)問(wèn)題點(diǎn)點(diǎn) 估估 計(jì)計(jì)區(qū)間估區(qū)間估 計(jì)計(jì)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷推斷 DE基本基本問(wèn)題問(wèn)題7-2第二章第二章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)是刻畫總體某方面的概率特性的數(shù)量. 當(dāng)這個(gè)數(shù)量是未知的時(shí)候，從總體抽出一個(gè)樣本，用某種方法對(duì)這個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)就是參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì).例如，X N ( , 2), 點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì) 若, 2未知，通過(guò)構(gòu)造樣本的函數(shù), 給出它們的估計(jì)

3、值或取值范圍就是參數(shù)估計(jì)的內(nèi)容.點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) 估計(jì)未知參數(shù)的值 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 估計(jì)未知參數(shù)的取值范圍，使得這個(gè)范圍包含未知參數(shù)真值的概率為給定的值.)1 . 0,(2 N（假定身高服從正態(tài)分布 ） 設(shè)這5個(gè)數(shù)是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估計(jì) 為1.68， 這是點(diǎn)估計(jì).這是區(qū)間估計(jì).估計(jì) 在區(qū)間1.57, 1.84內(nèi)，假如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高. 現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個(gè)數(shù)）求出總體均值 的估計(jì). 而全部信息就由這5個(gè)數(shù)組成 . 2.1 點(diǎn)估計(jì)常用方法點(diǎn)估計(jì)常用方法0.點(diǎn)估計(jì)的思想方法設(shè)總體X 的分布函數(shù)的形式已知，但它

4、含有一個(gè)或多個(gè)未知參數(shù)：1,2, ,k設(shè) X1, X2, Xn為總體的一個(gè)樣本。構(gòu)造 k 個(gè)統(tǒng)計(jì)量：),(),(),(21212211nknnXXXXXXXXX隨機(jī)變量7-5當(dāng)測(cè)得一組樣本值(x1, x2, xn)時(shí)，代入上述統(tǒng)計(jì)量，即可得到 k 個(gè)數(shù)：),(),(),(21212211nknnxxxxxxxxx數(shù)值稱數(shù)k,21為未知參數(shù)k,21的估計(jì)值問(wèn)題如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量？如何評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞？對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為未知參數(shù)k,21的估計(jì)量7-6p尋求估計(jì)量的方法1. 矩估計(jì)法2. 極大似然法3. 最小二乘法4. 貝葉斯方法這里我們主要介紹前面兩種方法 .1. 矩估計(jì)法 其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩

5、 . 理論依據(jù): 它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來(lái)的一種估計(jì)方法 .是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的 .大數(shù)定律用樣本的 k 階矩作為總體的 k 階矩的估計(jì)量, 建立含有待估計(jì)參數(shù)的方程，從而可解出待估計(jì)參數(shù)7-11設(shè)待估計(jì)的參數(shù)為k,21設(shè)總體的 r 階矩存在，記為),()(21krrXE設(shè) X1, X2, Xn為一樣本，樣本的 r 階矩為nirirXnB11kr, 2 , 1令),(21krniriXn11 含未知參數(shù) 1,2, ,k 的方程組。7-12解方程組，得 k 個(gè)統(tǒng)計(jì)量：),(),(),(21212211nknnXXXXXXXXX未知參數(shù)1,2, ,k 的矩估計(jì)量),()

6、,(),(2121222111nkknnxxxxxxxxx未知參數(shù)1,2, ,k 的矩估計(jì)值代入一組樣本值得k個(gè)數(shù):例1：對(duì)某型號(hào)的20輛汽車記錄其每5L汽油的行駛里程（公里），觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.928.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.829.6 26.9對(duì)應(yīng)總體為該型號(hào)汽車每5L汽油的行駛里程，其分布形式未知，計(jì)算20.528.695,0.9185,28.6nxsm例例2 設(shè)總體 X N ( , 2 ), X1, X2, Xn為總體的 樣本, 求 , 2 的矩法估

7、計(jì)量。解解X矩21221XXnnii矩例例3 設(shè)總體 X E(), X1, X2, Xn為總體的樣本, 求的矩法估計(jì)量。解解1)(XE1X令7-13故X1矩7-9一般地，不論總體服從什么分布，總體期望 與方差 2 存在，則它們的矩估計(jì)量分別為XXnnii112122)(1nniiSXXn7-10事實(shí)上，按矩法原理，令niiXnX1122211()niiaXE XnX)()(222XEXE22a2121XXnnii212)(1nniiSXXn例例4 設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的一大批燈泡中 隨機(jī)地抽取了10只燈泡，測(cè)得其壽命為 (單位：小時(shí))： 1050, 1100, 1080, 1120, 1200

8、 1250, 1040, 1130, 1300, 1200試用矩法估計(jì)該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的標(biāo)準(zhǔn)差.解解)(1147101)(101hxxXEii6821101)(210122xxXDii)(25.79)(hXD7-14例例5 設(shè)總體 X U (a, b), a, b 未知，求 a, b 的 矩法估計(jì)量.解解 由于12)()(,2)(2abXDbaXE)()()(22XEXDXE令22212)(baabXba2niiXnAbaab122221212) (7-15解得)(322XAXa矩niiXXnX12)(3)(322XAXb矩niiXXnX12)(37-16解: dxxxX

9、E ) 1()(10121) 1(110 dxx由矩法,21 X樣本矩總體矩從中解得,112XX 的矩估計(jì). 即為數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩 例6 設(shè)總體X的概率密度為其它, 010,) 1()(xxxf 是未知參數(shù),其中1 X1,X2,Xn是取自X的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì).解:由密度函數(shù)知 例7 設(shè)X1,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本為未知參數(shù)其它 , 0,1)()(xexfXx其中 0,求 的矩估計(jì). , X具有均值為 的指數(shù)分布 故 E(X- )= 2 D(X- )=即 E(X)= 2 D(X)= X niiXXn12)(1 解得niiXXn12)(1令X niiXXn122)(1 用樣本矩估

10、計(jì)總體矩即 E(X)= 2 D(X)=., 的矩估計(jì)即為參數(shù)p矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,并不需要事先知道總體是什么分布 .p 缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒(méi)有充分沒(méi)有充分利用分布提供的信息利用分布提供的信息 . 一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性 . 2. 極大似然法 是在總體類型已知在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 . 它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的 , GaussFisher然而，這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇 . 費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì) .q 點(diǎn)估

11、計(jì)的極大似然估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)的極大似然估計(jì)法 思想方法思想方法：一次試驗(yàn)就出現(xiàn)的事件有較大的概率。 例如: 有兩個(gè)外形相同的箱子,都裝有100個(gè)球 一箱 99個(gè)白球， 1個(gè)紅球 一箱 1個(gè)白球， 99個(gè)紅球現(xiàn)從兩箱中任取一箱，并從箱中任取一球，結(jié)果所取得的球是白球。答答 第一箱.7-17問(wèn)問(wèn) 所取的球來(lái)自哪一箱？例例 設(shè)總體 X 服從0-1分布，且P (X = 1) = p, 用極大似然法求 p 的估計(jì)值。解解X 的概率分布可以寫成1 , 0,)1 ()(1xppxXPxx設(shè) X1, X2, Xn為總體 X 的樣本,設(shè) x1, x2, xn為總體 X 的樣本值,則),(2211nnxXxXxXP)

12、()1 (11pLppniiniixnxnixi, 2 , 1, 1 , 07-18對(duì)于不同的 p ,L (p)不同，見(jiàn)右下圖現(xiàn)經(jīng)過(guò)一次試驗(yàn)，0.20.40.60.81p0.0020.0040.0060.0080.01Lp),(2211nnxXxXxX發(fā)生了，事件則 p 的取值應(yīng)使這個(gè)事件發(fā)生的概率最大。p 7-19在容許的范圍內(nèi)容許的范圍內(nèi)選擇 p ，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的單調(diào)增函數(shù)，故 若某個(gè)p 使ln L(p)最大，則這個(gè)p 必使L(p)最大。7-2001ddln11令pxnpxpLniiniixxnpnii110)1 (dlnd212122pxnpxpLnii

13、nii所以xp 為所求 p 的估計(jì)值.p一般地，設(shè)X 為離散型隨機(jī)變量，其分布律為,),()(21uuxxfxXP X1, X2, Xn為總體 X 的樣本, x1, x2, xn為總體 X 的樣本值,則X1, X2, Xn的概率分布為),(2211nnxXxXxXP),(),(),(21nxfxfxf, 2 , 1,21niuuxi7-21)(),(21LxxxLn記為或稱L( )為樣本的似然函數(shù)。),(21nxxxL),(),(),(max21nxfxfxf則稱這樣得到的 ),(21nxxxg為參數(shù) 的極大似然估計(jì)值稱統(tǒng)計(jì)量),(21nXXXg為參數(shù) 的極大似然估計(jì)量7-22 選擇適當(dāng)?shù)?=

14、 ,使 取最大值，即L( )當(dāng)給定一組樣本值時(shí)， 就是參數(shù) 的函數(shù),極大似然估計(jì)法的思想就是：L( )簡(jiǎn)記若隨機(jī)變量X 連續(xù), 取 f (xi, )為Xi 的密度函數(shù)niixfL1),()(似然函數(shù)為7-23注注1 1注注2 2未知參數(shù)個(gè)數(shù)可以不止一個(gè), 如1, 2, k 設(shè)X 的密度函數(shù)(或概率分布)為),(21kxf則定義似然函數(shù)為nikikxfL12121),(),(nixi, 2 , 1,),(21k),;,(2121knxxxL若),;,(2121knxxxL關(guān)于1, 2, k 可微，0),;,(2121knrxxxL為似然方程組kr, 2 , 1若對(duì)于某組給定的樣本值x1, x2,

15、 xn，參數(shù) 使得似然函數(shù)取得最大值，即k,21),;,(2121knxxxL),;,(max2121),(21knxxxLk則稱k,21為1, 2, k 的極大似然估計(jì)值。則稱7-24記),(21nrxxxgkr, 2 , 1稱統(tǒng)計(jì)量),(21nrXXXgkr, 2 , 1為1, 2, k 的極大似然估計(jì)量。7-25例例7 設(shè)總體 X N (, 2), x1, x2, xn 是 X 的 一組樣本值，求 , 2 的極大似然估計(jì).解解),;,(221nxxxLniixnne1222)(222)()2(1)ln(2)2ln(22)(ln2122nnxLnii222)(121ixnie7-26xxn

16、niimle11niimlexxn122)(1 , 2 的極大似然估計(jì)量分別為XXnnii11212)(1nniiSXXn似然方程組為0)(1ln12niixL0)( 2)()( 21ln)(212222nxLnii7-27p求未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值求未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值( (量量) )的方的方法法1） 寫出似然函數(shù)L2）求出k,21, 使得),;,(2121knxxxL),;,(max2121),(21knxxxLk7-280),;,(2121knrxxxLkr, 2 , 1可求得未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值k,21然后, 再求得極大似然估計(jì)量.7-29 L 是 的可微函數(shù), 解似然方程組

17、k,21若若 L 不是不是 的可微函數(shù)的可微函數(shù), 需用其它方法求極大似然估計(jì)值. 請(qǐng)看下例：k,21若若例例8 設(shè) X U (a,b), x1, x2, xn 是 X 的一個(gè)樣本,求 a , b 的極大似然估計(jì)值與極大似然估計(jì)量.解解 X 的密度函數(shù)為其它, 0,1),;(bxaabbaxf似然函數(shù)為其它, 0, 2 , 1,)(1),;,(21nibxaabbaxxxLinn7-30p似然函數(shù)只有當(dāng)似然函數(shù)只有當(dāng) a xi b, i = 1,2, n 時(shí)才能時(shí)才能獲得最大值獲得最大值, 且 a 越大, b 越小, L 越大.令xmin = min x1, x2, xnxmax = max

18、x1, x2, xn取maxmin,xbxa則對(duì)滿足bxxamaxmin的一切 a 1 (1) 不是 D( X ) 的無(wú)偏估計(jì)量; niinXXnS122)(1(2) 是 D( X ) 的無(wú)偏估計(jì)量. niiXXnS122)(11證證212121)(1XXnXXnniinii前已證. 證明2)()(,)()(XDXDXEXEiinXDXEXE2)(,)()()()(1)(121212XEXEnXXnEniinii因而)()(2222n221nn212)(11niiXXnE故 證畢.例例3 設(shè)),(21mXXX是總體 X 的一個(gè)樣本 ,X B ( n , p ) n 1 , 求 p 2 的無(wú)偏估

19、計(jì)量. 解解 由于樣本矩是總體矩的無(wú)偏估計(jì)量以及數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì), 只要將未知參數(shù)表示成只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù)總體矩的線性函數(shù), 然后用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量, 這樣得到的未知參數(shù)的估計(jì)量即為無(wú)偏估計(jì)量. npXEX)(令)1 ()()(12212pnpnpXEXmmii未知參數(shù)的矩表示在矩法中給予具體體現(xiàn)XXmnnpmii122211因此, p 2 的無(wú)偏估計(jì)量為) 1() 1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例例4 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為00, 01);(xxexfx0為常數(shù)),(21nXXX為 X 的一個(gè)樣本證明X與,min21nXXXn都是的

20、無(wú)偏估計(jì)量證證 )(1XEEX故)()(XEXE是 的無(wú)偏估計(jì)量.X,min21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(0100zeznz)(nZE故 nZ 是 的無(wú)偏估計(jì)量.)()()(121zXPzXPzXPnniizXP1)(1 (1),(1)(21zXzXzXPzFnZ思考思考 題題 設(shè)總體 X N ( , 2),),(21nXXX為 X 的一個(gè)樣本求常數(shù) k , 使niiXXk1|為 的無(wú)偏估計(jì)量niiniiXXEkXXkE11|解解注意到XXi是 X1, X2, Xn 的線性函數(shù), niiXXnXXnXX) 1(121, 0)(XXEi21)(nnXXDi21,

21、0nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|)(|dzennznnz221201212nn122 niiniiXXEkXXkE11|故nnkn122令)1(2nnk),(2111nXXX都是總體參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)量, 且)()(21DD則稱12比更有效.定義定義 設(shè)有效性有效性),(2122nXXX所以,X比,min21nXXXn更有效.是 的無(wú)偏估計(jì)量,問(wèn)哪個(gè)估計(jì)量更有效？ X與,min21nXXXn由前面例4 可知, 都00, 01);(xxexfx0為常數(shù)例例5 設(shè) 密度函數(shù)為),(21nXXX為 X 的一個(gè)樣本,221),min(nXXXnDnXD2)(解解 ，例例7 設(shè)總體

22、期望為 E( X )= , 方差 D( X )= 2 ),(21nXXX為總體X 的一個(gè)樣本設(shè)) 1 (常數(shù). 11niic., 2 , 11ninci證明iniiXc11是 的無(wú)偏估計(jì)量(2) 證明X比iniiXc11更有效證證: (1) niiiniicXEcE111)()(2) niiiniicXDcD122121)()(而ncnii112)(1) (12DnDniinjijiniicnccc1212212)(結(jié)論結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效. .2211112nniiijiiij ncccc 例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一樣本.2132122112121

23、43413132XXXXXX都是 的無(wú)偏估計(jì)量由例7(2) 知3最有效.p羅羅克拉美克拉美（Rao Cramer） 不等式不等式若是參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)量, 則其中 p ( x , ) 是總體 X 的概率分布或密度函數(shù)， 稱為方差的下界.)(0D 當(dāng) 時(shí), 稱 為達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量, 此時(shí)稱 為最有效的估計(jì)量, 簡(jiǎn)稱有效估計(jì)量.)()(0DDI()0( )( )1(ln(, )(ln(, ) DDnEp Xp X例例8 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為00, 01);(xxexfx),(21nxxx為 X 的一個(gè)樣本值.求 的極大似然估計(jì)量，并判斷它是否是達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量.0為常數(shù)解解 由似

24、然函數(shù)niixneL11)(niixnL1ln)(ln21)(lnddniixnL0令xxnnii11 的極大似然估計(jì)量為XXnnii11它是 的無(wú)偏估計(jì)量.nXnDDnii21)1()(而xxfln),(ln故 是達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0)(limPn定義定義 設(shè) 是總體參數(shù) 的),(21nXXX則稱是總體參數(shù) 的一致(或相合)估計(jì)量.估計(jì)量. 若對(duì)于任意的 , 當(dāng)n 時(shí), 依概相合性相合性率收斂于 , 即,0一致性估計(jì)量?jī)H在樣本容量 n 足夠大時(shí),才顯示其優(yōu)越性.例例900, 01);(xxex

25、fXx0為常數(shù)則 是 的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量.X證證 由例8 知 是 的無(wú)偏、有效估計(jì)量.X)(limXDn0lim2nn所以 是 的一致估計(jì)量, 證畢.X 這一講，我們介紹了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)，討論了估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則 . 給出了尋求估計(jì)量最常用的矩法和極大似然法 . 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)確定的值去估計(jì)未知的參數(shù). 看來(lái)似乎精確，實(shí)際上把握不大. 為了使估計(jì)的結(jié)論更可信，需要引入?yún)^(qū)間估計(jì). 這是下一講的內(nèi)容 . 2.4 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)引例引例 已知 X N ( ,1), x1,x2,xn 是一組樣本值 不同的樣本值算得的 的估計(jì)值不同，因此除了給出未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)外， 還希望根據(jù)所給的樣本確定一個(gè)

26、隨機(jī)區(qū)間，使其包含參數(shù)真值的概率達(dá)到指定的要求. 的無(wú)偏、有效點(diǎn)估計(jì)為X隨機(jī)變量常數(shù)如引例中，若要找一個(gè)區(qū)間,使其包含 的真值的概率為0.95. ( 設(shè) n = 5 )51,NX1,051NX取05. 0查表得1/21.96z這說(shuō)明即稱隨機(jī)區(qū)間為未知參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間.95. 05196. 15196. 1XXP05. 096. 151XP5196. 1,5196. 1XX 反復(fù)抽取容量為5 的樣本, 都可得到一個(gè)區(qū)間,這個(gè)區(qū)間可能包含未知參數(shù) 的真值, 也可能不包含未知參數(shù)的真值, 包含真值的區(qū)間占95%.)5196. 1,5196. 1(XX5196. 1X5196. 1X

27、1置信區(qū)間的意義置信區(qū)間的意義 的置信區(qū)間 的置信上限置信度 的置信下限若測(cè)得 一組樣本值, 它可能包含 的真值，也可能不包含 的真值221111(,)55XzXz當(dāng)置信區(qū)間為時(shí)則得一區(qū)間(1.86 0.877, 1.86 + 0.877)反復(fù)抽樣得到的區(qū)間中有95%包含 的真值.1/2?z為什么要取86. 1x算得區(qū)間的長(zhǎng)度為21125z 達(dá)到最短23311.84 ( 2.13)3.97zz 2211.96 ( 1.96)3.92zz -2-1120.10.20.30.4231z3z-2-1120.10.20.30.421z2z取 = 0.05設(shè) 是一個(gè)待估計(jì)的參數(shù), 是一給定的數(shù), ( 0

28、 1). 若能找到兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量),(212nXXX),(211nXXX使得1)(21P則稱隨機(jī)區(qū)間),(21為參數(shù) 的置信度為1 - 的置信區(qū)間,21, 為置信下限與置信上限, 分別稱1 - 稱為置信水平或置信度. 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義q 反映了估計(jì)的可靠程度, 越小, 越可靠.q 置信區(qū)間的長(zhǎng)度 反映了估計(jì)的精度 LU 越小, 1- 越大, 估計(jì)的可靠程度越高,但這時(shí), 往往增大, 因而估計(jì)的精度降低.LULU越小, 估計(jì)的精度越高.q 確定后, 置信區(qū)間 的選取方法不唯一 , 常 選最小的一個(gè).幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明通常, 增大樣本容量可以提高精度. q 在求參數(shù)的置信區(qū)間時(shí), 一般先保證

29、可靠性. 在保證可靠性的基礎(chǔ)上, 再提高精度.q 尋找一個(gè)樣本的函數(shù)),(21nXXXg它含有待估參數(shù), 不含其它未知參數(shù), 它的分布已知, 且分布不依賴于待估參數(shù) (常由 的點(diǎn)估計(jì)出發(fā)考慮 ).51,NX ) 1, 0(),(5121NXXXgXn例如求置信區(qū)間的步驟求置信區(qū)間的步驟 稱為樞軸量q 給定置信度 1 , 定出兩個(gè)常數(shù) a , b ,使得1),(21bXXXgaPn( 引例中)96.1,96.1baq 由bXXXgan),(21解出),(21nXXX),(21nXXX得置信區(qū)間),( 引例中, )5196. 1,5196. 1(),(XX(一一) 一個(gè)正態(tài)總體一個(gè)正態(tài)總體X N

30、( 2)的情形的情形置信區(qū)間常用公式置信區(qū)間常用公式(1) 方差方差 2已知已知, 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2211(,)(1)XzXznn推導(dǎo)推導(dǎo)) 1 , 0(),(21NnXXXXgn),(2nNX由選取樞軸量由確定21XPzn12z220011(,)XzXznn解21Xzn得 的置信度為 的置信區(qū)間為1(2) 方差方差 2未知未知 , 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ) 1(nTnSXT由21(1)XPtnSn確定12(1)tn故 的置信區(qū)間為2211(1),(1)SSX tnX tnnn推導(dǎo)推導(dǎo) 選取樞軸量2211(1),(1)(2)SSXtnXtnnn(3) 當(dāng)當(dāng) 已知時(shí)已知時(shí), 方差方差 2

31、的的 置信區(qū)間置信區(qū)間222211221()(),(3)( )( )nniiiiXXnn)(212nXQnii取樞軸量 ，得 2 的置信度為 置信區(qū)間為 122222121()( )( )1niiXPnn 由概率(4) 當(dāng)當(dāng) 未知時(shí)未知時(shí), 方差方差 2 的置信區(qū)間的置信區(qū)間-22468100.0250.050.0750.10.1250.152) 1() 1(222nSnK選取得 2 的置信區(qū)間為 2222221(1)(1),(4)(1)(1)nSnSnn2221222222221(1)() 1nSP 則由例例1 某工廠生產(chǎn)一批滾珠, 其直徑 X 服從正態(tài)分布N( 2), 現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)

32、抽取6件,測(cè)得直徑為 15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1 (1) 若 2=0.06, 求 的置信度為95%的 置信區(qū)間; (2) 若 2未知,求 的置信度為95%的置信區(qū)間; (3) 求方差 2的置信度為95%的置信區(qū)間.解解 (1)606. 0,(NX)01.0 ,(N即)1 ,0(1 .0NX20.97511.96zz由給定數(shù)據(jù)算得95.146161iixx由公式 (1) 得 的置信區(qū)間為)15.15,75.14()1 . 096. 195.14,1 . 096. 195.14(2) 取)5(6tSXT0.975(5)2.5706t查表得由給定數(shù)

33、據(jù)算得95.14x226. 0.051. 0)6(5126122sxxsii0.9750.975(5),(5)66(14.71,15.187)ssxtxt由公式 (4) 得 的置信區(qū)間為(3) 選取樞軸量)5(5222SK 220.9750.025(5)12.833,(5)0.83122220.9750.02555(,)(0.0199,0.3069 )(5)(5)ss查表得.051. 02s由公式 (2) 得 的置信區(qū)間為),(21nXXX為取自總體 N ( 1 12 ) 的樣本,),(21mYYY為取自總體 N ( 2 22 ) 的樣本,置信度為 1 2221,;,SYSX分別表示兩個(gè)樣本的

34、均值與方差(二二) 兩個(gè)正態(tài)總體的情形兩個(gè)正態(tài)總體的情形),(),(222211mNYnNXYX,相互獨(dú)立, 21的置信區(qū)間為) 1 , 0()()(222121NmnYX(1) 2221,已知已知, 的置信區(qū)間的置信區(qū)間21222222121211(), ()X YzX Yznmnm)5() 1 , 0 (11)()(),(212221NmnYXmnNYX) 1() 1(2221nSn)2(2) 1() 1(11)()(222121mntmnSmSnmnYX2221,22221(2) 未知未知( 但但 ) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間21) 2() 1() 1(2222221mnSmSn) 1() 1(2222mSm21的置信區(qū)間為12221212() ()1(1)(1)112XYPtnSmSnmn m 222121(1)(1)11()2nSmSXYtnmnm)6(取樞軸量(3) 方差比方差比2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ( 1 , 2 未知未知) 1, 1(/222122212222