理論力學(xué)第3章空間力系

1、第三章第三章 空間力系空間力系WFN1FN2 工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系，即空間力系，空間力系是最一般的力系?？臻g匯交力系；空間任意力系空間平行力系迎 面風(fēng) 力側(cè) 面風(fēng) 力F2F13主要內(nèi)容 31 空間匯交力系空間匯交力系 32 力對點的矩和力對軸的矩力對點的矩和力對軸的矩 33 空間力偶空間力偶 34 空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化主矢與主矩主矢與主矩 35 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程 36 重心重心 習(xí)題課習(xí)題課 cosyFFcoszFF直接投影法直接投影法一一. .力在直角坐標(biāo)軸上的投影力在直角坐標(biāo)軸上的投影cosFFx31

2、31 空間匯交力系空間匯交力系當(dāng)空間力系中各力作用線匯交于一點時，稱其為當(dāng)空間力系中各力作用線匯交于一點時，稱其為空間匯交力系空間匯交力系. .間接（二次）投影法間接（二次）投影法sinxyFFsin cosxFFsin sinyFFcoszFF合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理二二. .空間匯交力系的合力與平衡條件空間匯交力系的合力與平衡條件合力的大小合力的大小222R()()()xyzFFFF方向余弦方向余弦空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力 iFFRxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFFRRR),cos(FFiFxRR),cos(FFjFyRR),cos(FFkFz合力在

3、某一軸上的投影，等于力系中所有各力在同一軸上的投影之代數(shù)和，此即空間的空間匯交力系平衡的充分必要條件是：空間匯交力系平衡的充分必要條件是：-稱為空間匯交力系的平衡方程稱為空間匯交力系的平衡方程0 xF 0yF 0zF 空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點線通過匯交點. . 空間匯交力系平衡的空間匯交力系平衡的充要條件充要條件：該力系中所有各力在三：該力系中所有各力在三個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零個坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別為零. .該力系的合力等于零，即該力系的合力等于零，即0RF例例3-13-1已知：已知：,nF 求

4、：力求：力 在三個坐標(biāo)軸上的投影在三個坐標(biāo)軸上的投影. .nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF解：解：例例3-23-2已知：物重已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；030求：桿受力及繩拉力求：桿受力及繩拉力畫受力圖，列平衡方程畫受力圖，列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45cos30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA123.54kNFF8.66kNAF 解：解：例例3-33-3求：三根桿所受力求：三根桿所受力. .已知：

5、已知：P=1000N , ,各桿重不計各桿重不計. .各桿均為二力桿，取球鉸各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受畫受力圖。力圖。0 xF 045sin45sinOCOBFF0yF 045cos45cos45cosOAOCOBFFF0zF045sinPFOA1414NOAF （拉（拉）707NOBOCFF解：解： 一一. .力對點的矩以矢量表示力對點的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢32 32 力對點的矩和力對軸的矩力對點的矩和力對軸的矩( )OM Fr F （3 3）作用面：力矩作用面）作用面：力矩作用面. .（2 2）方向）方向: :轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向三要素：三要素：(1(1）大?。┐笮? :力力 與力臂

6、的乘積與力臂的乘積FxyzFF iF jF krxiyjzk()()()zyxzyxyFzF izFxF jxFyF k( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk( )OzyxMFyFzF ( )OxzyMFzFxF ( )OyxzMFxFyF 力對點力對點 的矩在三個坐標(biāo)軸上的投影為的矩在三個坐標(biāo)軸上的投影為O二二. .力對軸的矩力對軸的矩 力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對該軸的矩為零軸的矩為零. .( )()zOxyxyM FM FFd14它是代數(shù)量，從它是代數(shù)量，從z軸正向看軸正向看， + 定義定義 力

7、使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度力使物體繞某一軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度, ,稱為力對該軸稱為力對該軸之矩之矩. .Mz(F)= MO(Fxy)=Fxyd=2SOA BxyOFABzdFxyBA單位為 Nm(1) 當(dāng)力的作用線與軸平行或 相交時，力對于該軸之矩 為零。(2) 當(dāng)力沿其作用線平移時， 它對于軸之矩不變。(3) 合力對于任一軸之矩等于各分力對于同一軸之矩的代 數(shù)和，此即。( )()()()xxxxyxzzyMFMFMFMFFyFz( )()()()yyxyyyzxzMFMFMFMFFzFx 三三. .力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關(guān)系力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關(guān)系 ( )( )Ozyxx

8、MFyFzFMF ( )( )OxzyyMFzFxFMF ( )( )OyxzzMFxFyFMF ( )zyxMFFxFy 例例3-43-4已知：已知：, alF求：求：,xyzMFMFMFco sxMFFla co syMFF l sinzMFFla 把力把力 分解如圖分解如圖F解：解：33 33 空間力偶空間力偶一一. .力偶矩以矢量表示力偶矩以矢量表示力偶矩矢力偶矩矢1212FFFF空間力偶的三要素空間力偶的三要素（1 1） 大?。毫εc力偶臂的乘積；大?。毫εc力偶臂的乘積；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：轉(zhuǎn)動方向；方向：轉(zhuǎn)動方向；力偶的性質(zhì)力偶的性

9、質(zhì)力偶矩力偶矩因因（2 2）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。改變而改變。(1(1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零 。BAMrF二二. .力偶的等效定理力偶的等效定理 空間力偶的等效定理空間力偶的等效定理：作用在同一剛體上的兩個力偶，：作用在同一剛體上的兩個力偶，如果其力偶矩相等，則它們彼此等效。如果其力偶矩相等，則它們彼此等效。實例實例 空間力偶可以平移到與其作用面平行的任意平面上而不空間力偶可以平移到與其作用面平行的任意平面上而不改變力偶對剛體的作用效果改變力偶對剛體的作用效果.

10、 . 只要保持力偶矩不變，力偶只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小與力以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果偶臂的長短，對剛體的作用效果不變不變. .力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量三力偶系的合成與平衡條件三力偶系的合成與平衡條件111222,.,nnnMrF MrFMrF= = =iMMM為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMM-稱為空間力偶系的平衡方程

11、稱為空間力偶系的平衡方程. .000 xyzMMM0M 空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是 : :合力偶矩矢等于零，即合力偶矩矢等于零，即 cosxMMcosyMMcoszMM 已知：在工件四個面上同時鉆已知：在工件四個面上同時鉆5 5個孔，每個孔所受切削個孔，每個孔所受切削力偶矩均為力偶矩均為8080N Nm m. ., ,x y z求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 軸上的投影軸上的投影. . 把力偶用力偶矩矢把力偶用力偶矩矢表示，平行移到點表示，平行移到點A .mN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizzmN1 .1

12、9345cos45cos543MMMMMixx例例3-53-5解：解：求求: :軸承軸承A,B處的約束力處的約束力. .例例3-63-6已知：兩圓盤半徑均為已知：兩圓盤半徑均為200mm，AB =800mm，圓盤面圓盤面O1垂直于垂直于z軸，圓盤面軸，圓盤面O2垂直于垂直于x軸，兩盤面上作用有力偶，軸，兩盤面上作用有力偶，F(xiàn)1=3N， F2=5N，構(gòu)件自重不計構(gòu)件自重不計. .取整體，受力圖如圖所示取整體，受力圖如圖所示. .0 xM0zMN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF08004002BzFF08004001BxFF解：解：例例3-73-7求：正方體平衡時，力求：正方體平衡時

13、，力 的關(guān)系和兩根桿受力的關(guān)系和兩根桿受力. .12,F F1122(,),(,),FFFF, ,不計正方體和直桿自重不計正方體和直桿自重. .已知：正方體上作用兩個力偶已知：正方體上作用兩個力偶EACD2/兩桿為二力桿，取正方體，畫兩桿為二力桿，取正方體，畫受力圖建坐標(biāo)系如圖受力圖建坐標(biāo)系如圖b以矢量表示力偶，如圖以矢量表示力偶，如圖c12MM設(shè)正方體邊長為設(shè)正方體邊長為a , ,有有1122MF aMFa有有12FF322AMFa2212ABFFFF桿桿 受拉，受拉， 受壓。受壓。12AA12BB0 xM 045cos31MM0yM 045sin32MM解：解：34 34 空間任意力系向一

14、點的簡化空間任意力系向一點的簡化主矢和主主矢和主矩矩一一. .空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化iiFF()iOiMMF空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系. .RixyzFFF iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF()()()OxyzMMF iMF jMF k主矢主矢空間力偶系的合力偶矩空間力偶系的合力偶矩由力對點的矩與力對軸的矩的關(guān)系，有由力對點的矩與力對軸的矩的關(guān)系，有空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力 有效推進力有效推進力RxF飛機向前飛行飛機向前飛行RyF 有效升力有效升力飛機上升飛機上升RzF 側(cè)向力側(cè)向力飛機

15、側(cè)移飛機側(cè)移OxM 滾轉(zhuǎn)力矩滾轉(zhuǎn)力矩飛機繞飛機繞x x軸滾轉(zhuǎn)軸滾轉(zhuǎn)OyM 偏航力矩偏航力矩飛機轉(zhuǎn)彎飛機轉(zhuǎn)彎OzM 俯仰力矩俯仰力矩飛機仰頭飛機仰頭 合力合力ROdMF合力合力. .合力作用線距簡化中心為合力作用線距簡化中心為二空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）二空間任意力系的簡化結(jié)果分析（最后結(jié)果）RR0,0,OOFMFMR0,0OFM 過簡化中心合力過簡化中心合力RR()( )OOOMdFMFMF合力矩定理：合力對某點合力矩定理：合力對某點( (軸）之矩等于各分力對同一點（軸）軸）之矩等于各分力對同一點（軸）之矩的矢量和之矩的矢量和. .合力偶合力偶一個合一個合力偶力偶，此時與簡化中心無

16、關(guān)。，此時與簡化中心無關(guān)。R0,0OFM 力螺旋力螺旋中心軸過簡化中心的力螺旋中心軸過簡化中心的力螺旋OOMFMF/, 0, 0RR鉆頭鉆孔時施加的力螺旋既不平行也不垂直既不平行也不垂直RR0,0,OOFMF M力螺旋中心軸距簡化中心為力螺旋中心軸距簡化中心為RsinOMdF平衡平衡平衡平衡R0,0OFM 35 35 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件：空間任意力系平衡的充要條件：一一. .空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM 空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個坐標(biāo)軸空間任意力系平衡的充要條件：所有各力

17、在三個坐標(biāo)軸中每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一中每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一個坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零個坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零. .該力系的主矢、主矩分別為零該力系的主矢、主矩分別為零. .三三. .空間約束類型舉例空間約束類型舉例000zxyFMM二二. .空間平行力系的平衡方程空間平行力系的平衡方程例例3-83-8 已知：已知：P=8kN,110kN,P 各尺寸如圖各尺寸如圖求：求： A、B、C 處約束力處約束力研究對象：小車研究對象：小車列列平衡方程平衡方程0zF01DBAFFFPP 0FMx10.21.220DPPF 0FMy06 . 02

18、 . 16 . 08 . 01DBFFPP5.8kN,7.777kN,4.423kNDBAFFF解：解：例例3-93-9已知：已知：2000N,F ,212FF ,60,30各尺寸如圖各尺寸如圖求：求：21,FF及及A、B處約束力處約束力研究對象，曲軸研究對象，曲軸列平衡方程列平衡方程0 xF 060sin30sin21BxAxFFFF 0yF00 解：解： 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BxFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz12(sin30sin60 ) 2004000BxFFF123000N,600

19、0N,FF1004N,9397N,AxAzFF 3348N,1799N,BxBzFF 例例3-103-10已知：已知：4.25N,xF 6.8N,yF 17N,zF ,36. 0FFr50mm,R 30mmr 各尺寸如圖各尺寸如圖求：求：（2 2）A、B處約束力處約束力（3 3）O 處約束力處約束力,rF F(1)(1)0 xF0txAxBxFFFF0yF0yByFF0zF0rzAzBzFFFF 0FMx 0FMy0trFRFz研究對象研究對象1 1：主軸及工件，受力圖如圖：主軸及工件，受力圖如圖03038876)76488(tyxBxFFFF038876)76488(rzBzFFF 0FMz

20、又：又：,36. 0trFF kN2 .10tFkN67. 3rFkN64.15AxFkN19. 1BxFkN8 . 6ByFkN2 .11BzF解：解：研究對象研究對象2 2：工件受力圖如圖：工件受力圖如圖, ,列平衡方程列平衡方程0 xF0 xOxFF0yF0yOyFF0zF0zOzFF 0FMx0100 xZMF 0FMy030yZMF 0FMz030100zyxMFF4.25kN,6.8kN,17kNOxOyOzFFF 1.7kN m,0.51kN m,0.22kN mxyzMMM 例例3-113-11已知：已知：F、P及各尺寸及各尺寸求：求： 桿內(nèi)力桿內(nèi)力研究對象，長方板研究對象，長

21、方板, ,列平衡方程列平衡方程 0ABMF 026PaaF62PF 0AEMF 05F 0ACMF 04F 0EFMF 022216baabFPaaF01F 0FGMF 022bFPbFbPF5 . 12 0BCMF 045cos232bFPbbFPF223解：解：36 36 重重 心心一一. .平行力系中心平行力系中心 平行力系合力作用點的位置僅與各平行力系的大小和作平行力系合力作用點的位置僅與各平行力系的大小和作用位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。用位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。合力矩定理合力矩定理212211FFrFrFrCi iCiFrrFiiCiFxxF二二. .計算重心坐標(biāo)的公式計算重心坐標(biāo)的公式iiCPx