小波分析全章節(jié)講解

1、小波分析窗口傅里葉變換泛函數(shù)分析傅里葉變換傅里葉級數(shù)傅里葉分析小波的發(fā)展小波小講邊緣檢測小波去噪圖像壓縮小波的應(yīng)用小波算法多分辨率分析小波變換小波的基本概念 小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。 小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實(shí)際需要 經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時未能得 到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。 小波分析的應(yīng)用是與小波分析的 理論研究緊密地結(jié)合在一起地。 一、小波的發(fā)展一、小波的發(fā)展 小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括： 數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科

2、；信號分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機(jī)分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如： 在數(shù)學(xué)方面數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。 在信號分析方面信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。 在圖象處理方面圖象處理方面的圖象壓縮、分類、 識別與診斷，去污等。 在醫(yī)學(xué)成像方面醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、 核磁共振成像的時間，提高分辨率等。 傅里葉（傅里葉（Fourier)Fourier)分析分析是數(shù)字信號處理的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代信號處理的出發(fā)點(diǎn)。它將信號分析從

3、時間域變換到了頻率域。 泛函分析泛函分析是20世紀(jì)初開始發(fā)展起 來的一個重要的數(shù)學(xué)分支，它是 以集合論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代分析手段， 它用更加抽象的概念來描述熟知 的對象。 小波理論小波理論是建立在傅里葉分析和泛函分析基礎(chǔ)之上的視頻分析工具之一。 小波變換小波變換是對傅里葉變換與短時傅里葉變換的發(fā)展，為信號分析、圖像處理、量子物理及其他非線性科學(xué)的研究域帶來革命的影響。1、傅里葉變換（1）傅里葉（FT）定義 ( )j tFf t edt（ ）=1( )( )2j tf tFed其中，式（1.2）稱為傅里葉反變換（IFT) （1.1） （1.2） 二、傅里葉分析二、傅里葉分析( (連續(xù)連續(xù)) )(2)F

4、T的性質(zhì) 1.對偶性 利用對偶性可以方便地得到一些函數(shù)的傅里葉變換或反變換公式，即 F( )2()F tf2.位移 時域位移將導(dǎo)致信號頻譜增加一個附加相位，但是幅頻特性不變，即()( )jaf taFeF3.卷積 卷積特性分為時域卷積和頻域卷積，即12121( )( )( )( )2f tf tFFFF1212( )*( )( )( )f tf tFF4.Parseval定理（內(nèi)積定理） 它表明兩個信號在時域和頻域中的內(nèi)積之間的關(guān)系，即 *12121( )( )( )( )2f t ft dtFFd特別當(dāng) 時，有 12ftft22211( )( )( )2f tdtFdF fdf 上式實(shí)際上給

5、出了信號的能量關(guān)系。在時域和頻域的總能量是相等的，故也稱為能量守恒定理。 信號在一個域內(nèi)的伸縮會導(dǎo)致在信號在一個域內(nèi)的伸縮會導(dǎo)致在另一個域的相反方向上的伸縮另一個域的相反方向上的伸縮。5.尺度伸縮 在小波分析中，有著大量涉及信號在時域和頻域的伸縮和變尺度分析。()tfa F aa傅里葉變換傅里葉變換( (離散離散) )時域離散信號也可以根據(jù)是否為周期性，分為離散時間序列傅里葉變換（DTFT）和離散傅里葉變換（DFT）。1.DTFT ()jnnXx ne 1 ( )2j nx nXed2.DFT21100 ,0,1,.,1NNjnknkNNnnX kx n ex n WkN2110011 ,0,

6、1,.,1NNjnknkNNnnx nX k eX k WnNNN三、泛函分析1.函數(shù)空間 （1）線性空間 例：平方可積函數(shù)空間 （2）賦范線性空間 例： 22( )( )( )L Rf xf xdx 11nkkx12221nkkx1maxkk nx （3）巴拿赫（Banach)空間（4）希爾伯特（Hilbert）空間 例1：對于線性空間 ， 定義內(nèi)積為22( ),( )L Rf gL R*,( )( )fgfx gx dx例2：在n維歐氏空間 中， ，定義內(nèi)積為 nR,nfgR1212(,.,),(,.)nnffffgg gg111,.nnniiif gf gf gf g2.基底及展開（1）

7、由函數(shù)序列張成的空間 設(shè) 為函數(shù)序列，令集合 為即 為函數(shù)序列 的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合，則稱 為序列 張成的線性空間，簡記為 ( )ke t ( )ke t ( )ke tXXX( ), ,kkkkXa e t t aR kZ kXspan e（2）基底 若序列 線性無關(guān)，則 ，式中的系數(shù) 的取值是惟一的。此時，就稱 為空間 的一組基底。 ( )ke t ( )ke tkagX X（3）正交（直交） 設(shè)x,y為內(nèi)積空間中的兩個元素， 若內(nèi)積 ，則稱x,y 相 互正交，簡記為 。,0 x yxy（4）規(guī)范正交基 若內(nèi)積空間 中的基底 滿足 則稱 為 中的規(guī)范正交基（標(biāo)準(zhǔn)正交基）。 故 都

8、可以展開成為 并且有Parseval等式，即X ne neX0,()1,mnmneemnmnxX 1,nnnxxee 221,nnxx e （5）雙正交基 對于不滿足規(guī)范正交條件的基底 來說，如果存在另一組對偶基底 使得 對應(yīng)的傅里葉展開式為 規(guī)范正交性存在于原基底與對偶基底之間， 展開式也相應(yīng)的由原基底和對偶基底構(gòu)成， 這種基稱為雙正交基，與互為對偶基底。 ke ne 0,()1,nmmneemnmn1,nnnff ee（6）框架 設(shè)H為Hilbert空間， 為H中的一個函數(shù)序列，若 ，都存在實(shí)數(shù)A,B使得 則稱為框架，其中A,B分別稱為框架的上、下界。 當(dāng)A=B時，此框架稱為緊框架； 尤其

9、當(dāng)A=B=1時，此緊框架就變 為規(guī)范正交基。kfH 22,kkA ffB f 3.從泛函角度描述傅里葉變換 （1）用內(nèi)積表示傅里葉變換 內(nèi)積空間中的函數(shù)，其傅里葉變換可用內(nèi)積表示為 （2）用基底表示函數(shù)的展開()( )( ),j tj tFf tedtf te,nnnffee三、窗口傅里葉變換（傅里葉三、窗口傅里葉變換（傅里葉小波）小波） 由于傳統(tǒng)傅里葉分析只適用于平穩(wěn)信號，在進(jìn)行非平穩(wěn)信號的分析時通常采用時頻處理方法，它將一維時域信號分解為二維時域頻域聯(lián)合分布表示。傳統(tǒng)傅里葉分析不適用于時變信號的分析，但是可以在時域和頻域內(nèi)進(jìn)行加窗處理，窗內(nèi)的信號認(rèn)為是準(zhǔn)平穩(wěn)的，對它們可以采用平穩(wěn)信號的分析

10、方法，如頻譜分析和功率譜分析。這就是窗口傅里葉變換。 為了彌補(bǔ)Fourier變換不能時空定位的不足，工程技術(shù)領(lǐng)域長期以來一直采用D.Gabor開發(fā)的窗口Fourier變換（短時Fourier變換），來對時空信號進(jìn)行分段或分塊的時空-頻譜分析（時頻分析）。窗口Fourier變換：其中，g為窗口函數(shù)（參見圖10-3）。dtetgtfwFjwtg)()(),(雖然窗口Fourier變換能部分解決Fourier變換時空定位問題，但由于窗口的大小是固定的，對頻率波動不大的平穩(wěn)信號還可以，但對音頻、圖像等突變定信號就成問題了。本來對高頻信號應(yīng)該用較小窗口，以提高分析精度；而對低頻信號應(yīng)該用較大窗口，以避免

11、丟失低頻信息；而窗口Fourier變換則不論頻率的高低，都統(tǒng)一用同樣寬度的窗口來進(jìn)行變換，所以分析結(jié)果的精度不夠或效果不好。迫切需要一種更好的時頻分析方法。窗口傅里葉變換的方法窗口傅里葉變換的方法 時頻分析時頻分析 時域時域- -頻域聯(lián)合分頻域聯(lián)合分 加窗時頻分析加窗時頻分析（1)傳統(tǒng)傅里葉分析的局限性 傳統(tǒng)的傅里葉分析在平穩(wěn)信號的分析和處理中具有重要作用。它將時間域內(nèi)復(fù)雜信號的分析轉(zhuǎn)換為頻率域內(nèi)的具有簡單參數(shù)的頻譜密度的分析，或者分解為頻域內(nèi)的具有簡單形狀的信號之和。這種從一個分析域轉(zhuǎn)換到另一個分析域的方法是信號分析中的常用方法。 但是現(xiàn)實(shí)世界中的很多信號，例如，腦電波信號、地震信號、語音信

12、號等，都是非平穩(wěn)的。這些信號的頻率是時變的。 對于這種信號的準(zhǔn)確描述，必須使用具有局部 性能的時域和頻域的二維 聯(lián)合表示， 或者說必須提取特定時間段和頻率段內(nèi)的信號 特性。這時，傳統(tǒng)的傅里葉分析就顯得無能為力了。 傅里葉變換所描述的是整個時間段內(nèi)頻率 的特性，或者說它是一種全局的變換而沒有 刻畫出特定時間段或頻率段的特性。（一）時頻分析（一）時頻分析(,)t對于非平穩(wěn)信號的分析，一種有效的方法是時域-頻域二維聯(lián)合分析。信號從一維時域 表示分解為時域和頻域的二維聯(lián)合表示 ，用以描述信號在不同時刻的頻率分布情況。常用的時頻分析手段有窗口傅里葉變換、小波變換和Wigner-Ville分布等。 ( )

13、f t( ,)F t(2) (2) 時域時域- -頻域聯(lián)合分析頻域聯(lián)合分析 雖然時變信號的頻率特性隨著時間而改變，但是這種改變是漸變的而非突變的，也就是說，在一個特定的足夠小的區(qū)間（窗）內(nèi)，可以認(rèn)為信號的特性是不變的，信號是局部穩(wěn)定的或準(zhǔn)平穩(wěn)的。（二）加窗時頻分析（二）加窗時頻分析1.時窗處理 將信號在時域內(nèi)進(jìn)行分段，等效于用位置不同的窗函數(shù) 與原信號 相乘的結(jié)果，如下圖所示。在時域內(nèi)，時間函數(shù)一般選取具有能量局部化的函數(shù)。先選定一個基本窗函數(shù) ， 然后將 沿時間軸平移得到一組窗函數(shù)， 其中 為時間位移。平移后的窗函數(shù)分別 與原信號相乘，其結(jié)果就等效于提取了 原信號的不同時間段內(nèi)的信息而屏蔽了

14、 段外的信號。( )g t( )f t( )g t( )g t ()b Rg tbb0ttt00( )f t( )g t( )( )f tg t 最簡單的時間窗是矩形窗函數(shù)，如上圖所示。但是也可以根據(jù)需要選擇其他的窗函數(shù)，如Gauss窗、Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函數(shù)具有非常良好的時域局部化性質(zhì)： （1）具有時域緊支集。 （2）窗內(nèi)信號保持原樣。 （3）窗外信號完全衰減為0，完全地屏蔽了窗外信號。 （4）窗的過渡帶為“陡”的階躍跳變， 因此，沒有平滑的衰減過渡帶和窗拖尾。 根據(jù)常用傅里葉變換，矩形窗函數(shù)的頻譜 為sinc函數(shù)，它有著很長的拖尾。這就引入 了帶外頻譜干擾

15、，或者說在頻域內(nèi)的局部化 特性不夠好，給帶內(nèi)信號的分析帶來了干擾。2.頻窗處理 加頻窗處理實(shí)際上是將信號通過濾波器組，或者說將信號分別 與多個頻窗相乘。頻窗是由低通濾波器 在頻率軸上的平移而形成的一系列帶通濾波器 ，其中 為頻率位移。帶通濾波器組的作用就是提取信號在特定頻率段（頻帶）內(nèi)的信息而屏蔽頻帶外信號。( )F( )G()RG（三）窗口傅里葉變換的基本思想（三）窗口傅里葉變換的基本思想 1946年，Gabor提出了窗口傅里葉:變換在傳統(tǒng)的傅里葉分析之前，對信號進(jìn)行了加窗處理。這里的窗函數(shù) 的選擇有些特殊：首先，它時實(shí)對稱函數(shù)；其次，它在某個小區(qū)間內(nèi)衰減很小，而在區(qū)間外迅速衰減為 0。 G

16、abor在最初的處理中采用的時Gauss窗 作為基本窗函數(shù)，通過在時間軸上平移得到一組窗 函數(shù) 。( )g t2142( )tg te ()g tbGabor變換的定義如下： 設(shè) ，即 ，且 為實(shí)對稱函數(shù)，則信號 的窗口傅里葉變換（Gabor)變換定義為 其中， 稱為基本窗函數(shù)， 其能量集中于 附近，在 遠(yuǎn)離 區(qū)域，它迅速衰減為0。2( )( )g tL R20( )g tdt ( )g t( )f t( )g t0t 0t ( , )( ) ()j tfGbf t g tb edt 保留了信號在 附近的信息而屏蔽了遠(yuǎn)區(qū)信息。 是將窗函數(shù)平移到 ，因此， 保留的是 附近的信號信息。故， 實(shí)際上

17、分析了 附近的頻率特性。( ) ( )f t g t0t ()g tbtb( ) ()f t g tbtb( , )( ) ()j tfGbf t g tb edttb（四）時窗、頻窗和時頻窗（四）時窗、頻窗和時頻窗 窗函數(shù)的中心和寬度，分別表征窗函數(shù)的位置和集中程度的度量信息。1.時窗與其度量 （1）基本定義 在窗函數(shù)滿足 ，即 下， 定義時窗中心為2( )( )g tL R20( )g tdt 202( )( )t g tdttg tdt 定義時窗寬度為 通常情況下，要求窗函數(shù)具有歸一化能量，即 故有：2( )( )1g tg tdt122202()( )( )tttg tdtg tdt

18、1 2220()( )tttg tdt20( )tt g tdt2.數(shù)學(xué)和物理解釋 將 認(rèn)為是一種概率分布 ， 那么 和 實(shí)際上就是對自變量 的期望和方差，或者說是一階和二階矩，即 根據(jù)定義，時窗函數(shù)的窗口 定義為2( )g t2( )( )p tg t0tt2t20( )( )tE tt g tdt1 2222200( )() ()( )tD tE t tt tg tdt00,22tttt 根據(jù)矩的性質(zhì)，一階矩表征了信號的集中位置，二階矩表征了信號的擴(kuò)展程度。因此， 可以理解為信號的平均時間或中平均時間或中心位置心位置的定義； 可以作為信號在時間軸上所占有的有效寬度有效寬度的度量。 從這個意

19、義上講，Gabor變換表征了信號在以 為中心、左右各為 的局部時間內(nèi)的頻率特性。 窗口寬度為 ，它決定了 時域分辨率。 從物理意義上講， 可以看成是 重心， 看成是轉(zhuǎn)動慣量。0t0t2ttt0t2t三、小波變換三、小波變換小波去噪圖像壓縮小波的應(yīng)用小波算法多分辨率分析小波變換小波的基本概念小波分析小波變換小波變換 在前面我們談到，對于非平穩(wěn)信號的分析不能依靠傅里葉變換，但可以采用時頻分析的方法，其中加窗傅里葉變換是最簡單的一種。但是，它有很大的局限性局限性：當(dāng)基本窗函數(shù)一旦取定，窗口的時窗寬度和頻窗寬度就固定了，不會隨時域和頻域的位移而變化。 在實(shí)際應(yīng)用中，這種固定的時頻窗 結(jié)構(gòu)往往不是最佳的

20、，而希望在低頻部 分的頻窗比較窄，在高頻部分的頻窗比 較寬。為了適應(yīng)這種需求，提出了一種 “自適應(yīng)變化”的時頻窗結(jié)構(gòu)，便產(chǎn)生了 小波變換理論。小波的基本概念小波：指小的波，即 是小波，滿足)(t0)(dtt小波特點(diǎn)：由于 在整個實(shí)直線R上是可積的，所以 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)定等于0，也就是說，當(dāng)t時， 衰減到0，由 ，可看出 的圖像與X軸所夾的上半平面中的面積和下半平面積是相等的也就是說t變動時候，它是上下波動的，這就是小波的來源。)(t)(t)(t0)(dtt)(t)(x)(x)()(21RLRL0)(dxx0)0( d2)( )( )(x 小波函數(shù)小波變換與傅立葉變換比較，它們的變換核不同：傅立葉變

21、換的變換核為固定的虛指數(shù)函數(shù)（復(fù)三角函數(shù)）e-jwx,而小波變換的變換核為任意的母小波 。前者是固定的，而后者是可選的，實(shí)際上母小波有無窮多種，只要 滿足下列條件即可。絕對可積且平方可積，即正負(fù)部分相抵，即 （ ）滿足允許條件，即為的傅立葉變換常見的小波函數(shù)有：Haar小波(Alfred Haar，1910年)： 其他 , 015 . 0 , 15 . 00 , 1)(xxxHaar小波函數(shù)及其Fourier變換墨西哥草帽(Mexican hat)小波： 2222)(xedxdx墨西哥草帽小波函數(shù)及其Fourier變換Morlet小波(Jean Morlet，1984年)： 5,)(2 2Ce

22、exxxjCMorlet小波函數(shù)(C=5)及其Fourier變換那小波到底怎么構(gòu)成的呢？那小波到底怎么構(gòu)成的呢？一、連續(xù)小波變換1、母小波（基本小波或小波母函數(shù)） 1.1 數(shù)學(xué)定義 設(shè) ，其傅里葉變換為 ，如果滿足 則稱 為基本小波或母小波。2( )( )tL R2()d ( ) t（1.1.11.1.1）式（式（1.1.11.1.1）稱為小波的）稱為小波的容許條件容許條件，它表明了函數(shù)成為小波的首要條件。它表明了函數(shù)成為小波的首要條件。( ) 在工程應(yīng)用中利用小波分析具體信號時，往往優(yōu)先采用現(xiàn)成的性質(zhì)較好的經(jīng)典小波（例如，Morlet小波、Meyer小波和樣條小波等）作為母小波，也可以通過特

23、定的構(gòu)造算法（例如，緊支集正交小波構(gòu)造算法）生成小波基函數(shù)。小波母函數(shù)特性 （1）帶通性質(zhì) （2）零均值和波動性 （3）“小”特性時頻局部化 2.連續(xù)小波基函數(shù) 將母小波進(jìn)行某種伸縮和平移，就可以得到很多個與母小波形狀相似但“胖瘦”和“位置”不同的副本，比如按下列式的方式進(jìn)行伸縮和平移，即 通常， 稱為小波基函數(shù)，其中 稱為尺度因子或伸縮因子， 稱為 平移因子，它們都是連續(xù)變化的量。因此 也稱為連續(xù)小波基函數(shù)。,1( ),0 ,attaRaa,( )ata,( )at 系數(shù) 的作用是使拉伸變形后函數(shù)的能量保持不變，即 或1a 22,aRREtdttdt ,att1a 0.5a 2a 除了Haa

24、r小波外，其他緊支集小波都不是初等函數(shù)，有的小波函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)/積分或微分方程/積分方程來定義，有的小波用其傅立葉變換定義，有的小波甚至沒有解析表達(dá)式，而只是一些數(shù)字解，很多小波為復(fù)函數(shù)，所以不太直觀。3.連續(xù)小波變換的定義 有了連續(xù)小波基函數(shù) ，就可以將這些函數(shù)作用于能量有限信號 ，或者說將 在這些小波基函數(shù)下進(jìn)行投影分解，這就是連續(xù)小波變換。 定義： ，函數(shù)的內(nèi)積為 定義為函數(shù) 的連續(xù)小波變換，簡稱CWTCWT。變換結(jié)果稱為小波變換系數(shù)小波變換系數(shù)。 ,0,aaRt f t f t 2f tLR ,1,faRtWTaf ttf tdtaa f t4.連續(xù)小波變換的性質(zhì) 假設(shè)信號矢量 和 為能

25、量有限信號，即 ，其連續(xù)小波變換（CWT）分別表示為 和 ，令 ， 為任意常數(shù)。 （1）線性疊加性 （2）時不變性 （3）尺度變換 （4）內(nèi)積定理（Moyal定理） （5）能量關(guān)系( )x t( )y t2( ), ( )( )x ty tL R,xWT a,yWT a1k2k5.連續(xù)小波變換 ,2011,xax tdaWTat dCa ,1,faRtWTaf ttf tdtaa 連續(xù)小波變換的過程二、離散小波變換 連續(xù)小波變換必須進(jìn)行離散化最主要原因在于： 連續(xù)小波變換系數(shù)是高度冗余的，要試圖通過離散化，最大程度上消除和降低冗余性。 離散小波變換（DWT）是相對于連續(xù)小波變換（CWT）的變換

26、方法，本質(zhì)上是對 自變量 和 進(jìn)行離散化處理。 1.尺度-位移參數(shù)的離散化 （1）將尺度因子按冪級數(shù)進(jìn)行 離散化，即a0maa 00200000,mmmmFakRWTakf ttaf ta tkdt（2）在同一尺度下，位移因子均勻離散化，即 。 其中， 為大于0的實(shí)常數(shù)， 為整數(shù)。離散化后的小波基函數(shù)和小波變換分別為00mka00,a,m k 002000,mmmaktaa tk實(shí)際應(yīng)用中，通常取常數(shù)為 并簡記為則離散后的小波變換可以表示為這是一種性質(zhì)較好的二進(jìn)離散方案，其機(jī)理：當(dāng) 時， 。小波基函數(shù) 均勻地覆蓋了整個時間軸，相鄰的小波基函數(shù)之間間隔為1。002,1a2,22mmm ktk 2

27、,22mmfmkRWT m kf ttf tt k dt0m021a 0,()kk Zt k 為了不丟失信息，要求此時的采樣間隔必須滿足Nyquist采樣定理。 每當(dāng)m增加1，尺度 增加1倍，對應(yīng)的頻帶減小1/2，根據(jù)Nyquist采樣定理，此時的采樣頻率可以降低1/2而不丟失任何信息，對應(yīng)時域就是采樣間隔可以大1倍。 因此，當(dāng)m=1時，采樣間隔可以取為 0，2，4，6，8，；當(dāng)m=2時，采樣間隔可以取為0，4，8，12，；采樣間隔的通式為 。這種離散方案的采樣間隔示意圖如下圖所示。a0 ,2mkkZk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28、 . 二進(jìn)采樣間隔00m 1m 2m 2.小波框架 如果函數(shù)族 滿足如下性質(zhì)，即 則稱小波基函數(shù)族 構(gòu)成了一個小波框架。上式稱為小波框架條件，它可以表示為等價的頻域形式，即 關(guān)于小波框架，需要說明幾點(diǎn)：（1）由小波框架的定義可以知道，并非任何函數(shù)族都能構(gòu)成一個小波框架。比如當(dāng)尺度-位移因子的乘積 時，就不能構(gòu)成小波框架。（2）小波函數(shù)的對偶函數(shù) 也構(gòu)成了另一個框架，且上、下界分別為 和 .,mkmzkz,m kmz kz22, 0mm 222,0m kmkA ffB fAB 1a 2,22mjm ktt k1A1B（3）離散小波變換仍然具有冗余度，但是與連續(xù)小波變換相比，這種冗余度大大降低。3

29、.離散小波逆變換 將連續(xù)小波變換進(jìn)行離散化處理后，會很自然地引申出兩個問題：（1）離散小波變換系數(shù) 是否完全表征了原信號 的全部信息，或者說，能否從離散小波變換系數(shù)精確地恢復(fù)原信號 。（2）是否任何信號都可以分解表示為離散小波基的線性組合 ，而且其中的組合系數(shù) 如何求取。,fm z kzWTm k f t f t ,m km km kf tCt,m kC 上式兩個問題可以歸結(jié)為一個問題。離散小波變換相比于連續(xù)小波變換，其中逆變換要稍微復(fù)雜些，需要借助小波框架和對偶小波的概念。（I）對偶小波用于信號重構(gòu) 如果上述第（1）個問題能滿足，通過適當(dāng)選擇小波母函數(shù) 并對 和 進(jìn)行適當(dāng)?shù)仉x散處理得到 ，那

30、么一定存在與相對應(yīng)的一個序列 ，它使得反變換（重建）公式可以表示為 此時， 稱為 的對偶。相應(yīng)地， 稱為母小波 的對偶母小波。通過伸縮和平移可以得到對偶小波基 ，即 ta ,m kt ,m kt ,m km kmkf tf ttt ,m kt ,m kt t t ,m kt 2,22mmm km kttk（II）小波框架如果離散小波基函數(shù)滿足框架定義，根據(jù)框架理論，可以分為以下4種情況進(jìn)行重構(gòu)：（1）當(dāng)A=B=1，框架退化為規(guī)范正交基，對偶小波與原小波恰好相等，即 此時，離散小波變換的逆變換可以表示為（2）當(dāng) ，即為緊框架時，其對偶小波與原小波僅相差一個比例參數(shù)，表示為 ,m km ktt ,m km kmkf tf ttt1AB 則離散小波變換的逆變換可以表示為（3）當(dāng) ，但A與B比較接近時， 可以取一階近似為 這種框架稱為幾乎緊框架，則離散小波