第二章高等數(shù)學(xué)提高課2014.4.12

1、模塊2 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用知識1 導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算知識2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義知識2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)定義的幾種表達(dá)式導(dǎo)數(shù)定義的幾種表達(dá)式0000()()()lim,xf xxf xfxx 0000()()()lim,hf xhf xfxh0000( )()()limxxf xf xfxxx，0000()()()limf xf xfx 例1：設(shè)0()fx存在，則 000(2 )()limhf xhf xh(1)1f 0(12 )(1)limhfhfh，則設(shè)(1)1f 0(12 )(1)limhfhfhh，則設(shè) 40 f .32lim0 xxfxfx設(shè)，求考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)運(yùn)

2、算法則高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪指函數(shù)求導(dǎo)冪指函數(shù)求導(dǎo)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)公式 (1) (1) 四則運(yùn)算四則運(yùn)算()uvuv()u vu vuv 2 0uu v uvvvvuCCu )( 211 0 xxx()uvwuvw ()uvwu vwuv wuvw推廣推廣 211 (vvvv（2 2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)()(31 31 =6 321)xxx（）231yx2y31x31x2ln (1 3 )yx221(13 )(13 )xx1y2( 3 )1x2( 3 )1x212(13 )(13 )

3、(13 )xxx613x是關(guān)于 的函數(shù)）x內(nèi)函數(shù)內(nèi)函數(shù))(xfy ( )( )( )yfxuxfuu( )( )fux例2：2arcsinyx2sin (23 )yxlnsin(1 2 )yx內(nèi)函數(shù)內(nèi)函數(shù)外函數(shù)遇到 ，就看成 的函數(shù)，求導(dǎo)即為 ；yxy (3) (3) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則( , )0F x y x（1 1）方程兩邊逐項(xiàng)對求導(dǎo)：012 yxyxexy遇到 的函數(shù)，直接求導(dǎo)；xx遇到 的函數(shù) ，就看成 的復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)為 ；yyxyx( )y（2）從求導(dǎo)后的關(guān)系式中解出 xy（當(dāng)然，結(jié)果中可能會含有 ，這沒關(guān)系，讓它保留在式子中就可以了）y隱函數(shù)隱函數(shù)例3：(1) 求由方

4、程0yexye所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).dydx1lnyxy(2) 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).dydx22yexye(3) 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).dydx （4 4）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx,dy dx求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，不必死記公式，然后作比值，即微商.可以先求出微分參數(shù)方程參數(shù)方程 一般的，若參數(shù)方程,( ),( )xtyt確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)由有參數(shù)方程(2-1)所確定的函數(shù)。(2-1) 求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行，必須分清是對哪個(gè)變量求導(dǎo)。例4（1）已知sin2,cosytxt

5、4tdydx求 （2）已知221,31yttxt 1tdydx求231,21ytxt22d ydx求 （3）已知 (5) (5) 冪指函數(shù)求導(dǎo)法則冪指函數(shù)求導(dǎo)法則對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法( )( )nf xyg x( ) ( )( )f x g xyh x等含乘、除、乘方、開方較多的函數(shù)的求導(dǎo) 方法方法1 1：兩端先取對數(shù)，再對：兩端先取對數(shù)，再對 求導(dǎo)；求導(dǎo)；x方法方法2 2：把它化成指數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)的復(fù)合；：把它化成指數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)的復(fù)合；冪指函數(shù)冪指函數(shù)( ) ( )xx形如( )( )v xyx兩端取自然對數(shù)得( )lnln( )( )ln( )v xyxv xx再對上式兩端分別求導(dǎo)。

6、sin(12 )xyxxy.dydx例5（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或2311xyxx（2）已知dydx，求（6 6）高階導(dǎo)數(shù)）高階導(dǎo)數(shù)2222,( ),d yd fyfxdxdxnnnnndxfddxydxf , , )()(求出所給函數(shù)的前幾階導(dǎo)數(shù)，分析規(guī)律，得出n階導(dǎo)數(shù)直接法：直接法：間接法：間接法：利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過四則運(yùn)算、變量替換等方法，求給定函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)yx (4)?y例6：已知，則sin,yx已知(8)?y考點(diǎn)一：求切線方程和法線方程方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式方程方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式方程0()ky x切00()yyk xx( )yf x00(,)xy已知一曲

7、線，求曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程.1kk 切法例7（1）曲線3211( )6132f xxxx(0,1)x在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求曲線lnyxx平行于直線10 xy 的切線方程.（3）求曲線lnsincosxtyt在2t處的切線方程和法線方程.考點(diǎn)一：利用洛必達(dá)法則求極限 利用洛必達(dá)法則及其他方法求函數(shù)極限，要結(jié)合等價(jià)代換、分解因式、有理化等進(jìn)行，特別是非零因子的極限一定要求出，并注意特定形式固定解法。能夠利用洛必達(dá)法則求極限的形式有“ ”，“ ”外，還有“ ”，“ ”，“ ”等類型，一般地，這些類型的未定式要先通過恒等變形轉(zhuǎn)化為“ ”，“ ”型，再利用洛必達(dá)法則計(jì)算。000

8、00001、 型型例9、求 011lim()sinxxx2、 型型0例10、求 20limlnxxx3、 型型00 例11、求 0limxxx4、 型型1 例12、求 111limxxx5、 型型0例13、求 sin01lim( )xxx考點(diǎn)二：利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間和極值1、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性判別函數(shù)單調(diào)性的步驟是：判別函數(shù)單調(diào)性的步驟是： 確定函數(shù) 的定義域； ( )yf x求出函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；用這些點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干小區(qū)間；確定各小區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(列表)；判別函數(shù)在各小區(qū)間上的單調(diào)性。在區(qū)間 內(nèi) 例14、若 ()( ),fxf x在區(qū)間 (0,)內(nèi)， ( )0,( )

9、0fxfx則 ( )f x(,0)( )A、( )0,( )0fxfxB、( )0,( )0fxfxC、( )0,( )0fxfxD、( )0,( )0fxfx 例15、函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 。22lnyxx2、函數(shù)的極值、函數(shù)的極值 根據(jù)極值的必要條件知，函數(shù)的極值只能在駐點(diǎn)駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)取得。求極值的步驟是： 求出導(dǎo)數(shù) ； 求出 的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)； 考察 在每個(gè)駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的符號，確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)； 用第一充分條件判別函數(shù)在這些點(diǎn)是否取得極值，是極大值還是極小值，并求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，得函數(shù)的全部極值點(diǎn)。( )fx( )f x( )fx例16

10、、函數(shù) ( )12f xx在 1,2上的極小值為 。例17、若函數(shù) 2( )f xaxbx在 1x 處取得極值 2，則 a ， b 。 考點(diǎn)三：曲線漸近線的求法曲線漸近線的求法：曲線漸近線的求法： 水平漸近線：若當(dāng)(,)xxx 或或時(shí)，有( )f xb（ 為常數(shù)），），則稱曲線 有水平漸近線。b( )yf x 垂直漸近線：若當(dāng)(,)xaxaxa或或 時(shí)， ( ),f x 則稱曲線 有垂直漸近線 。( )yf xa（ 為常數(shù)）有xa例18、曲線 2211xxeye （ ）A、沒有漸近線 B、僅有水平漸近線C、僅有垂直漸近線 D、既有水平漸近線又有垂直漸近線例19、曲線 arctan2yxx的水平

11、漸近線是 ?？键c(diǎn)四：一元函數(shù)最值在實(shí)際中的應(yīng)用 一元函數(shù)最值的應(yīng)用是優(yōu)化應(yīng)用的基礎(chǔ)，有的看似二元，但約束條件代入就轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的應(yīng)用題了。同學(xué)們有時(shí)感覺比較難，主要是題的文字一般比較長，設(shè)計(jì)的知識點(diǎn)比較多，對題意理解不清，這就需要多看、多練、多想，多接觸此類題目是提高的基礎(chǔ)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵。從問題分類上看，專升本要么是幾何題，要么是經(jīng)濟(jì)函數(shù)問題，基本不涉及物理、化學(xué)等學(xué)科問題。理解題意理解題意 設(shè)出變量設(shè)出變量 表示目標(biāo)函數(shù)表示目標(biāo)函數(shù) 求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值例20 一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000元時(shí)，公寓會全部租出去，當(dāng)月租金每增加100元時(shí)，就會多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修費(fèi)，試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？例21 (用料最省問題) 要做一個(gè)容積為 的圓柱形帶蓋容器，問它的高與底面半徑的比值是多少時(shí)