數(shù)學物理方法課件學習教案

1、會計學1數(shù)學物理數(shù)學物理(wl)方法課件方法課件第一頁，共75頁。 把微積分延伸到復域。使微分和積分獲得新的深度把微積分延伸到復域。使微分和積分獲得新的深度(shnd)和意和意義。義。第1頁/共75頁第二頁，共75頁。第一章第一章 復變函數(shù)復變函數(shù)(hnsh)(hnsh)1.2 1.2 復變函數(shù)復變函數(shù)(hnsh)(hnsh)1.3 1.3 復變函數(shù)復變函數(shù)(hnsh)(hnsh)的導數(shù)的導數(shù)1.4 1.4 解析函數(shù)解析函數(shù)1.1 1.1 復數(shù)與復數(shù)運算復數(shù)與復數(shù)運算1.5 1.5 多值函數(shù)多值函數(shù)第2頁/共75頁第三頁，共75頁。式中式中x、y為實數(shù)為實數(shù)(shsh)，稱為復數(shù)的實部與，稱為

2、復數(shù)的實部與虛部虛部（一）（一） 復數(shù)復數(shù)(fsh)的基本概念的基本概念yixz1irz幾何幾何(j h)表示：表示：1.1 1.1 復數(shù)與復數(shù)運算復數(shù)與復數(shù)運算復數(shù)：復數(shù)：)Re(zx )Im(zy 復平面復平面r),(yxAxyyixz)/(xyarctg22yx 為復數(shù)的模為復數(shù)的模為復數(shù)的輻角為復數(shù)的輻角cosxsiny1、 復數(shù)表示復數(shù)表示第3頁/共75頁第四頁，共75頁。由于由于(yuy)輻角的輻角的周期性，輻角有無窮周期性，輻角有無窮多多cosxsiny)/(xyarctgArgzkArgz2)2, 1, 0(k2arg0z為輻角的主值，為主為輻角的主值，為主輻角，記為輻角，記為

3、zargr),(yxAxyArgzxyrArgzArgzrxyyrxArgz第4頁/共75頁第五頁，共75頁。iz31例：求例：求的的Argz與與argz解：解：z位于位于(wiy)第二象限第二象限xyarctgz arg)3( arctg32kzArgz2arg322 k復數(shù)復數(shù)(fsh)的三角表示：的三角表示：sincosiz復數(shù)的指數(shù)復數(shù)的指數(shù)(zhsh)表示：表示：)sin(cosizieike2iie 1ikei) 2/32(應用：應用：), 1, 0(k1ike) 2/2(第5頁/共75頁第六頁，共75頁。（二）（二） 無限無限(wxin)遠點遠點共軛復數(shù)共軛復數(shù)(n f sh)：

4、*)sin(cosiz)sin(cosiieNSzARiemann球面球面(qimin)復復球面球面零點零點無限遠點無限遠點)(21cosiiee)(21siniieei第6頁/共75頁第七頁，共75頁。)/()(arg2121xxyyarctgz)(221121iyxiyxzz（三）復數(shù)（三）復數(shù)(fsh)的運算的運算1、復數(shù)、復數(shù)(fsh)的加減法的加減法iyyxx)()(2121xy2z2x2y1z1x1y21xx 21zz 21yy 21zz 221221)()(yyxx有三角有三角(snjio)關(guān)系關(guān)系：2121zzzz2121zzzz第7頁/共75頁第八頁，共75頁。)(22112

5、1iyxiyxzz2、復數(shù)、復數(shù)(fsh)的乘法的乘法)()(12212121yxyxiyyxx212121iieezz)(2121ie)sin()cos(212121i2121zzzz2121argarg)arg(zzzz第8頁/共75頁第九頁，共75頁。iyxiyxzz2211213、復數(shù)、復數(shù)(fsh)的除法的除法2121iiee)()(22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx或指數(shù)或指數(shù)(zhsh)式：式：iyxiyxzz221121)(212121iezz)sin()cos(212121i第9頁/共75頁第十頁，共75頁。4、

6、復數(shù)、復數(shù)(fsh)的乘方與方根的乘方與方根)sin(cosninn乘方乘方(chngfng)ninez)(inne故：故：ninsincosni)sin(cos方根方根(fnggn)nineznine/1nkine/)2(/1故故k取不同值，取不同值， 取不同值取不同值nz)3,2,1 ,0(k第10頁/共75頁第十一頁，共75頁。nkinnez/ )2(/ 1ninnezk/10ninnezk/ )2(/11ninnezk/ )4(/12)/2(/1ninneznknine/1第11頁/共75頁第十二頁，共75頁。222*yxzzz注意注意(zh y)：)(2yixyixzzzxyiyx2

7、221）、）、2）、）、zzzRe)(21*zzziIm)(21*3）、）、)(21)(21*2*1*21zzzz第12頁/共75頁第十三頁，共75頁。例：討論式子例：討論式子(sh zi) 在復平面上的意義在復平面上的意義2)/1Re(z解：解：2)/1Re(zyixzyixz1122yxyix22)/1Re(yxxz2222xyx222)41()41(yx為為圓上各點圓上各點第13頁/共75頁第十四頁，共75頁。例：計算例：計算(j sun)解：解：令令ibaWibaz)sin(cosiz2/1)sin(cosizibaW)22sin()22cos(2/1kikz)2sin()2cos(2

8、/11izW)22sin()22cos(2/12izW22baz22sinbab22cosbaa2cos12sin第14頁/共75頁第十五頁，共75頁。例：計算例：計算(j sun)ncos3cos2coscos解：解：nsin3sin2sinsin令令nacos3cos2coscosnbsin3sin2sinsin)sin3sin2sin(sincos3cos2coscosninibaW)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosniniiiniiieeee32第15頁/共75頁第十六頁，共75頁。iniiieeeeW32)1(32niiiieeeWeiniieeWWe )1(1)1

9、(iinieeeW)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeee第16頁/共75頁第十七頁，共75頁。)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeeeW) 2/sin(2) 2/sin() 2/cos() 2/ 1sin() 2/ 1cos(iininbianacos3cos2coscos) 2/sin(2) 2/sin() 2/ 1sin(nnbsin3sin2sinsin第17頁/共75頁第十八頁，共75頁。1.2 1.2 復變函數(shù)復變函數(shù)(hnsh)(hnsh)（一）、復變函數(shù)（一）、復變函數(shù)(hnsh)(hnsh)的定義的定義Ezyxivyxuzfw)

10、,(),()(iyxz對于復變集合對于復變集合(jh)E(jh)E中的每一復中的每一復數(shù)數(shù)有一個或多有一個或多個復數(shù)值個復數(shù)值w稱為的稱為的z復變函數(shù)復變函數(shù)z稱為稱為w的的宗量宗量22)(vuzfwuvarctgzf)(arg第18頁/共75頁第十九頁，共75頁。（二）、區(qū)域（二）、區(qū)域(qy)(qy)概念概念0zz由由確定的平面確定的平面(pngmin)點集，稱為定點點集，稱為定點z0的的鄰域鄰域（1 1）、鄰域）、鄰域(ln y)(ln y)（2 2）、內(nèi)點）、內(nèi)點定點定點z0的的 鄰域全含于點集鄰域全含于點集E內(nèi)，稱內(nèi)，稱z0為點集為點集E的內(nèi)點的內(nèi)點（3 3）、外點）、外點定點定點z

11、0及其及其 鄰域不含于點集鄰域不含于點集E內(nèi)，稱內(nèi)，稱z0為點集為點集E的外點的外點（4 4）、鏡界點）、鏡界點定點定點z0的的 鄰域既有含鄰域既有含于于E內(nèi)，又有不含于內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點內(nèi)的點，稱，稱z0為點集為點集E的的鏡界點。鏡界點。0z內(nèi)點內(nèi)點鏡界點鏡界點外點外點第19頁/共75頁第二十頁，共75頁。0z內(nèi)點內(nèi)點鏡界點鏡界點外點外點（5 5）、區(qū)域）、區(qū)域(qy)(qy)A）全由內(nèi)點組成）全由內(nèi)點組成(z chn)B）具連通性：點集中任何兩）具連通性：點集中任何兩點都可以點都可以(ky)用一條折線連用一條折線連接，且折線上的點屬于該點接，且折線上的點屬于該點集。集。（6 6）、閉區(qū)

12、域）、閉區(qū)域區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如1z表示以原點為圓心半徑為表示以原點為圓心半徑為1 1的閉區(qū)域的閉區(qū)域（7 7）、單連通與復連通區(qū)域）、單連通與復連通區(qū)域單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點都屬于該區(qū)域線，其內(nèi)點都屬于該區(qū)域第20頁/共75頁第二十一頁，共75頁。（三）、復變函數(shù)（三）、復變函數(shù)(hnsh)(hnsh)例例后面補充后面補充(bchng)(bchng)詳細介詳細介紹紹第21頁/共75頁第二十二頁，共75頁。（四）、極限（四）、極限(jxin)(jxin)與連續(xù)性與連續(xù)性設設w=f(z)在在z0點的某鄰域點的某鄰域(

13、ln y)有定義有定義對于對于(duy)(duy)00，存在，存在0,0,使使0zz有有 Azf)(稱稱z - z0時時A為為極限極限，記為，記為Azfzz)(lim0注意：注意：z在全平面，在全平面，z - z0須以任意方式須以任意方式1 1、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限第22頁/共75頁第二十三頁，共75頁。關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)極限的計算，有下面兩極限的計算，有下面兩個定理個定理定理定理(dngl(dngl)一一設：設：f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ,A=u0+iv0 ,z0=x0+iy0那么那么(n (n me)me)Azfzz)(lim0的充要條件是：的充要條件是：0)

14、,(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx證證：必要性必要性如果如果Azfzz)(lim0那么根據(jù)極限的定義，就有：那么根據(jù)極限的定義，就有：)()(00iyxiyx當當)()(00ivuivu即當即當2020)()(yyxx時時第23頁/共75頁第二十四頁，共75頁。也就是也就是(jish)(jish)當當0 xx0yy0uu0vv這就是說：這就是說：0),(lim00uyxuyyxx0),(lim00vyxvyyxx充分性充分性如果上面兩式成立如果上面兩式成立(chngl)(chngl)，那么當，那么當2)()(2020yyxx| )()( |)(00vviuuAzf

15、| )( |00vvuu2所以所以(suy)(suy)當當0zzAzfzz)(lim0第24頁/共75頁第二十五頁，共75頁。定理定理(dngl(dngl)二二如果如果(rgu(rgu)Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0那么那么(n (n me)me)：BAzgzfzz)()(lim0BAzgzfzz)()(lim0）（BBAzgzfzz)()(lim0第25頁/共75頁第二十六頁，共75頁。2 2、函數(shù)、函數(shù)(hnsh)(hnsh)的的連續(xù)性連續(xù)性定義定義(dng(dngy)y)：如果如果(rg(rgu)u)()(lim00zfzfzz 那么我們稱那么我們稱f(z)在在z0處連續(xù)，

16、如果處連續(xù)，如果f(z)在區(qū)域在區(qū)域B內(nèi)處處內(nèi)處處連續(xù)，我們就說連續(xù)，我們就說f(z)在在B內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 根據(jù)這個定義和上述定理一，容易證明下面的定理根據(jù)這個定義和上述定理一，容易證明下面的定理定理三：定理三： 函數(shù)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和和v(x,y)在在(x0,y0)處連續(xù)。處連續(xù)。 例如例如：)()ln()(2222yxiyxzf 在復平面內(nèi)除原點外處處連續(xù)。在復平面內(nèi)除原點外處處連續(xù)。第26頁/共75頁第二十七頁，共75頁。定理定理(dngl)(dngl)四：四：1 1）在）在z0z0連續(xù)連續(xù)(

17、linx)(linx)的兩個函數(shù)的兩個函數(shù)f(z)f(z)與與g(z)g(z)的和、的和、差、積、商（分母在差、積、商（分母在z0z0不為零）在不為零）在z0z0處仍連續(xù)處仍連續(xù)(linx)(linx)。2 2）如果函數(shù)）如果函數(shù)(hnsh)h=g(z)(hnsh)h=g(z)在在z0z0連續(xù)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)(hnsh)w=f(h)(hnsh)w=f(h)在在h0=g(z0)h0=g(z0)連續(xù)，那么復合函數(shù)連續(xù)，那么復合函數(shù)(hnsh)w=f(g(z)(hnsh)w=f(g(z)在在z0z0處連續(xù)。處連續(xù)。 函數(shù)函數(shù)f(z)在曲線在曲線C上上z0點處連續(xù)的意義是指：點處連續(xù)的意義是指：)(

18、)(lim00zfzfzzCz 在閉曲線或包括曲線端點在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)在閉曲線或包括曲線端點在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)，在曲線上是有界的，即存在一正數(shù)，在曲線上恒有在曲線上是有界的，即存在一正數(shù)，在曲線上恒有Mzf)(第27頁/共75頁第二十八頁，共75頁。1.3 1.3 導數(shù)導數(shù)(do sh)(do sh)w=f(z)是在是在z點及其鄰域定義點及其鄰域定義(dngy)的單值的單值函數(shù)函數(shù)zzfzzfzzfzz)()(lim)(lim00在在z點存在點存在(cnzi)，并與，并與z - 0的方式無關(guān)，則的方式無關(guān)，則dzdfzzfzzfzfz)()(lim)( 0第28頁/共75

19、頁第二十九頁，共75頁。下面討論復變函數(shù)下面討論復變函數(shù)(hnsh)(hnsh)可導的必要可導的必要條件條件yvyuiyixviuzfyx00lim)( ),(),()(yxivyxuzfyiviuyx00limxvixuyixviuzfyx00lim)( xviuxy00lim比較比較(bjio)(bjio)兩式有兩式有yvxuxvyu稱為稱為(chn wi)(chn wi)科西科西-黎曼條件（黎曼條件（C.R.C.R.條件）條件）C.R.C.R.條件不是可導條件不是可導的充分條件的充分條件第29頁/共75頁第三十頁，共75頁。例：證明例：證明(zhngmng) 在在z=0處滿足處滿足C.R

20、.條條件，但在件，但在z=0處不可導處不可導 證：證：0)0 , 0()0 ,(lim00 xuxuxuzzxyzf)(xyu 0v00zyu00zyv00zxv滿足滿足(mnz)C.R.條件條件在在z=0處處但在但在z=0處，若處，若一定一定(ydng)，00iezizezfsincoslim0隨隨 而變，故而變，故在在z=0處不可導處不可導第30頁/共75頁第三十一頁，共75頁。下面下面(xi mian)討論討論f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 點可導的充分條點可導的充分條件件證明證明(zhngmng)：1）u,v在在z處滿足處滿足(mnz)C.R.條件條件 2）u,v在在z處

21、有連續(xù)的一階偏微商處有連續(xù)的一階偏微商因為因為u,v在在z處有連續(xù)的一階偏微商，所以處有連續(xù)的一階偏微商，所以u,v 的微分的微分存在存在dyyudxxududyyvdxxvdvidvdudf)()(dyyvdxxvidyyudxxudyyviyudxxvixu)()(由由C.R.條件條件 dyxuiyudxyuixu)()(第31頁/共75頁第三十二頁，共75頁。此式此式z無論以什無論以什么么(shn me)趨于趨于零都存在，零都存在，idvdudfC.R.方程方程(fngchng)的極坐標表示：的極坐標表示：dyxuiyudxyuixu)()()(idydxyuixuyuixudzdf故故

22、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 點可導點可導當考慮當考慮z沿徑向沿徑向(jn xin)和沿恒向趨于零時和沿恒向趨于零時，有，有vu1vu1第32頁/共75頁第三十三頁，共75頁。例：試推導例：試推導(tudo)極坐標下的極坐標下的C.R.方程：方程：方法方法(fngf)一：一：vu1vu1當分別考慮當分別考慮(kol)z沿徑向和沿恒向趨于零沿徑向和沿恒向趨于零時，時，iez ),(),()(ivuzf沿沿徑向趨于零徑向趨于零ieivuivudzdf),(),(),(),(lim0),(),(),(),(lim0iievvieuu第33頁/共75頁第三十四頁，共75頁。),(),(

23、),(),(lim0iievvieuudzdfieviu1)(沿沿恒向趨于零恒向趨于零),(),(),(),(lim0iieivvieiuudzdfieuiv1)1(vu1vu1第34頁/共75頁第三十五頁，共75頁。方法方法(fngf)二：二：從直角坐標從直角坐標(zh jio zu bio)關(guān)系出發(fā)關(guān)系出發(fā)sincosyxyyuxxuusincosyuxuyyvxxvvsincosyvxvsincosxvyvsincosxuyu第35頁/共75頁第三十六頁，共75頁。sincosxvyvusincosxuyuv同理同理)cossin(yuxuu)sincos(xvyvvvu1vu1第36頁

24、/共75頁第三十七頁，共75頁。)(2) 1(lim1210nnnzzzznnnz1nnz例：證明例：證明(zhngmng)f(z)=zn在復平面上每點在復平面上每點均可導均可導證：證：zzzznnz)(lim0第37頁/共75頁第三十八頁，共75頁。例：證明例：證明(zhngmng)f(z)=z*在復平面上均不可導在復平面上均不可導證：證：zzzzz*0)(limzzz*0limzzyx*00lim1lim00yyyxzzyx*00lim1lim00 xxyx第38頁/共75頁第三十九頁，共75頁。求導法則求導法則(fz)(fz)dzdwdzdwwwdzd2121)(dzdwwdzdwwww

25、dzd122121)()(21wwdzddzdwdwwdFwFdzd)()(222121wwwww第39頁/共75頁第四十頁，共75頁。例：證明例：證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復平面在復平面(pngmin)上解上解析析 ，且，且f(z)=f(z)。1.4 1.4 解析解析(ji x)(ji x)函數(shù)函數(shù)若若w=f(z)是在是在z0點及其鄰域上處處點及其鄰域上處處(chch)可導，稱可導，稱f(z)在在z0解析解析若若w=f(z)是是在在區(qū)域區(qū)域 B上任意點可導，稱上任意點可導，稱f(z)在在區(qū)域區(qū)域 B 解析解析證：證：yevyeuxxsin,cosyexuxcosyeyuxs

26、inyexvxsinyeyvxcosyieyezfxxsincos)( )(zf滿足滿足C.R.條件條件且一階偏導連續(xù)且一階偏導連續(xù) 第40頁/共75頁第四十一頁，共75頁。1、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù) 在復平面定義一個在復平面定義一個(y )函數(shù)，滿足下列函數(shù)，滿足下列3個個條件條件:i） f(z)在復平面在復平面(pngmin)內(nèi)處處解析；內(nèi)處處解析； 我們已經(jīng)證明我們已經(jīng)證明f(z)=ex(cosy+isiny)在復平面上解析在復平面上解析，f(z)=f(z)，且且當當Im(z)=0時，時， f(z)=ex。 故定故定義該函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，記作：義該函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，記作：ii） f(z)=f(z

27、)iii）當當Im(z)=0時，時， f(z)=ex,其中其中x=Re(z)sin(cosexpyiyezx等價于：等價于：xez |exp|kyzArg2)(exp第41頁/共75頁第四十二頁，共75頁。)exp(expexp2121zzzz)sin(cos)sin(cosexpexp22112121yiyeyiyezzxx)sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx)sin()cos(cos212121yyiyyexx)exp(21zz 用用ez代替代替expz，但沒有冪的意義，僅僅，但沒有冪的意義，僅僅(jnjn)是符號，是符號，因

28、此：因此：)sin(cosyiyeexz特別特別(tbi)：當：當x=0，有：有：yiyeiysincos此函數(shù)的周期為此函數(shù)的周期為2i，因：，因：zizizeeee22第42頁/共75頁第四十三頁，共75頁。2、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)：我們我們(w men)把滿足方程把滿足方程: ew=z 的函數(shù)的函數(shù) w=f(z) 稱為對數(shù)函稱為對數(shù)函數(shù)數(shù)ivuw令令：則則：iez iivuee所以所以(suy)：lnuv因此因此：iArgzzw|ln為多值函數(shù)，記：為多值函數(shù)，記：iArgzzLnz|lnArgz取主值取主值argz，則：，則：zizzarg|lnln其它各支為：

29、其它各支為：,.)2, 1( ,2lnkkizLnz當當z=x0時，主值時，主值lnz=lnx即為實變函數(shù)即為實變函數(shù)第43頁/共75頁第四十四頁，共75頁。例：求例：求Ln2, Ln(-1)以及以及(yj)與它們相應的主與它們相應的主值值L Ln2=ln2+n2=ln2+i i2 2k k, k=0, k=0、1 1、22，主值為主值為ln2ln2kiiLn21ln) 1() 12(ki主值為主值為ln(-1)=iln(-1)=i不難證明不難證明(zhngmng)：,2121LnzLnzzLnz2121LnzLnzzzLn例例：kiiArgLn24|4|ln22,.)21, 0( ,222k

30、kiLn又又：222222LnLnLnLn)22arg|2|(ln2mii,.)21, 0( ,42ln2mmi第44頁/共75頁第四十五頁，共75頁。解析性：解析性：就主值而言，由反函數(shù)的求導法則就主值而言，由反函數(shù)的求導法則(fz)，可，可知：知：zdwdedzzdw11ln第45頁/共75頁第四十六頁，共75頁。3、冪函數(shù)：冪函數(shù)：定義定義(dngy)：sLnzsez 1）當）當s為整數(shù)為整數(shù)(zhngsh)時：時：)2(arg|lnkzizssLnzseezksizizse2)arg|(lnksizizsee2)arg|(lnsLnze為單值函數(shù)為單值函數(shù)(hnsh)，否則為多，否則為

31、多值函數(shù)值函數(shù)(hnsh)。 2）當）當s=p/q時時, (p和和q為互質(zhì)的整數(shù)，且為互質(zhì)的整數(shù)，且q0)，則具有，則具有q個值，個值，k可取可取0,1,2,（q-1）zzz.3）當）當s=1/n時：時：nLnznnzez11第46頁/共75頁第四十七頁，共75頁。解析性解析性：)()(lnznnez)ln(lnzneznzneznlnznzn1nzn同理可得同理可得：1111)(nnznz例例：求：求21ii和和的值的值1221Lne22kie)22sin()22cos(kikiLniiei )22(kiiie)22(ke,.)2, 1(k,.)2, 1(k第47頁/共75頁第四十八頁，共7

32、5頁。4、三角函數(shù)、三角函數(shù)(snjihnsh)和雙曲函和雙曲函數(shù)：數(shù)：yiyeiysincosyiyeiysincos由此可得：由此可得：2cosiyiyeeyieeyiyiy2sin推廣推廣(tugung)到復數(shù)，到復數(shù)，定義：定義：2cosizizeezieeziziz2sin為周期函數(shù)為周期函數(shù)(zhu q hn sh)，周期為周期為2：2)2cos()2()2(zizieez222iziizieeee2izizeezcos同理：同理：zzsin)2sin(容易推出：容易推出：zzcos)cos(zzsin)sin(第48頁/共75頁第四十九頁，共75頁。解析性：解析性：)2()(co

33、sizizeez2izizieieieeiziz2zsin同理：同理：zzcos)(sin還可得：還可得：zizeizsincos 許多實數(shù)三角函數(shù)的公式許多實數(shù)三角函數(shù)的公式(gngsh)在復數(shù)領域也成立，在復數(shù)領域也成立，例：例：212121sinsincoscos)cos(zzzzzz212121sincoscossin)sin(zzzzzz1cossin22zz由此得：由此得：iyxiyxiyxzsinsincoscos)cos(cosiyxiyxiyxzsincoscossin)sin(sin第49頁/共75頁第五十頁，共75頁。由定義由定義(dngy)，當，當z=iy時：時：2co

34、syyeeiychyieeiyyy2sin2yyeeiishyxshyixchyiyxzsincos)cos(cosxshyixchyiyxzcossin)sin(sin其它三角函數(shù)其它三角函數(shù)(snjihnsh)的定的定義如下：義如下：zztgzcossinzzctgzsincoszzcos1sec zzsin1csc 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)(hnsh)的定的定義如下：義如下：2zzeechz2zzeeshz為周期函數(shù)為周期函數(shù),周期為周期為2i, chz為為偶函數(shù)，偶函數(shù)，shz為奇函數(shù)為奇函數(shù)shzchz )(chzshz )(第50頁/共75頁第五十一頁，共75頁。5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)

35、(snjihnsh)：設：設：wzcos那么稱那么稱w為為z的反余弦的反余弦(yxin)函數(shù)，函數(shù)，記作：記作：zArcwcos由：由：)(21cosiwiweewz得得eiw的二次方程的二次方程(r c fng chng)：0122iwiwzee它的根為它的根為：12zzeiw兩端取對數(shù)，得兩端取對數(shù)，得：)1(cos2zziLnzArc由于由于：12zz與與12zz互為倒數(shù)，故互為倒數(shù)，故)1(cos2zziLnzArc為多值函數(shù)為多值函數(shù)另另：)1(sin2ziziLnzArcizizLnArctgz1121第51頁/共75頁第五十二頁，共75頁。例例1：求：求|sin|sinz z|

36、|的值的值cos)(sin)(21xeeixeeyyyy212222cos)(sin)(21|sin|xeexeezyyyy21222222cos)2(sin)2(21xeexeeyyyy)cos(sin2)(212222xxeeyyxshyixchyiyxzcossin)sin(sin2cos2sinyyyyeexieex解：解：第52頁/共75頁第五十三頁，共75頁。2sin)(21xeeyy0cos)(21xeeyy0cos xkx224yyee例例2：求方程：求方程(fngchng) sinz=2解：解：2cos)(sin)(21sinxeeixeezyyyy第53頁/共75頁第五十四

37、頁，共75頁。4yyee0142yyee)32ln( y0142yyee或或)32ln( yiyxzkx22)32ln(22ik第54頁/共75頁第五十五頁，共75頁。解析解析(ji x)函數(shù)的性函數(shù)的性質(zhì)：質(zhì)： 1、若函數(shù)、若函數(shù)(hnsh)f(z)=u+iv在區(qū)域在區(qū)域B上解析，上解析，則：則： u(x,y)=C1 v(x,y)=C2 ( C1, C2為常數(shù)為常數(shù)(chngsh)是是B上兩組正交曲線簇。上兩組正交曲線簇。證：證： 曲線曲線 u(x,y)=C1 v(x,y)=C2 的斜率分別為：的斜率分別為：yxuuk1yxvvk2由柯西由柯西-黎曼方程得：黎曼方程得：)/()/(21yxy

38、xvvuukk)/()/(yyyyvuuv1故正交故正交第55頁/共75頁第五十六頁，共75頁。 2、后面可證在某區(qū)域上的解析函數(shù)、后面可證在某區(qū)域上的解析函數(shù)(hnsh) ，在該區(qū)域上，在該區(qū)域上有任意階導數(shù)。有任意階導數(shù)。由由C.R.條條件件(tiojin)yvxuxvyu前一式對前一式對x 求導，后式對求導，后式對y 求導，相加求導，相加02222yuxu同理同理02222yvxv0)(2222uyx0)(2222vyxu(x,y)和和v(x,y)都滿足都滿足(mnz)二維二維 Laplace 方方程程又特別稱為又特別稱為共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù)第56頁/共75頁第五十七頁，共75頁。令

39、：令：kzjyix稱為梯度稱為梯度(t d)(gradient)矢量矢量二維二維)()(kzjyixkzjyix222222zyx222222yx三維三維kzfjyfixffLaplace 方程方程(fngchng)表示為：表示為：2222223zyx02 u02 v第57頁/共75頁第五十八頁，共75頁。例例1：研究：研究(ynji)函數(shù)函數(shù)f(z)=|z|2的解析的解析性性解解：zzzzzzfzzfzz20200000|lim)()(limzzzzzzzz*)*)(lim00000)*(lim000zzzzzz當當z0=0時，這個時，這個(zh ge)極限是零。極限是零。當當z00時，令時

40、，令z0+z沿直線沿直線(zhxin)y-y0=k(x-x0)趨于趨于z0yixyixzz *xyixyi11ikik11由于由于k的任意性，此式趨于一個的任意性，此式趨于一個不確定的數(shù)，故極限不存在。不確定的數(shù)，故極限不存在。因此，因此， f(z)=|z|2在在z=0處可導，而處可導，而在其它點都不可導，故處處不解析。在其它點都不可導，故處處不解析。第58頁/共75頁第五十九頁，共75頁。例例2：如果：如果w=u(x,y)+iv(x,y)為解析函數(shù)為解析函數(shù)(hnsh)，那么它一定，那么它一定能單獨用能單獨用z來表示。來表示。證證：如果如果(rgu)把把*)(21zzx*)(21zziy帶入

41、帶入),(),(yxivyxuw那么那么w可看作是可看作是z和和z*的函數(shù)，只要的函數(shù)，只要(zhyo)證明證明0*zw)*()*(*zyyvzxxvizyyuzxxuzw)2121()2121(yvixviyuixu)(21)(21yuxviyvxu0第59頁/共75頁第六十頁，共75頁。若給定一個二元調(diào)和函數(shù)，可利用若給定一個二元調(diào)和函數(shù)，可利用(lyng)C.R.條件，求另一條件，求另一共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：共軛調(diào)和函數(shù)，方法如下：C.R.條件條件(tiojin)yvxuxvyu上式為全微分上式為全微分(wi fn)，因為，因為dyyvdxxvdv設已知設已知 u(x,y)， 求求v(

42、x,y)dyxudxyudv2222)(xuyuyuy)(xux第60頁/共75頁第六十一頁，共75頁。方法一、曲線方法一、曲線(qxin)積分法（全微分的積分與路經(jīng)無關(guān)積分法（全微分的積分與路經(jīng)無關(guān)）方法方法(fngf)二、湊全微分二、湊全微分顯式法顯式法方法方法(fngf)三、不三、不定積分法定積分法例：已知解析函數(shù)實部例：已知解析函數(shù)實部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解：解：故故u為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)222yu222xu第61頁/共75頁第六十二頁，共75頁。u(x,y)=x2-y2xxu2yxv2dyyvdxxvdv方法方法(fngf)一、曲線積分法一、曲線積分法yyu

43、2xyv2xdyydx22)0 ,(x),(yxxy),()0 , 0()22(yxxdyydxv第62頁/共75頁第六十三頁，共75頁。Cxy 2)0 ,(x),(yxxyCxdyydxvyx),()0 , 0()22(Cxdyydxxdyydxyxxx),()0 ,()0 ,()0 , 0()22()22(第63頁/共75頁第六十四頁，共75頁。方法方法(fngf)二、湊全微二、湊全微分顯式法分顯式法Cxyv 2xdyydxdv22)2(yxdCxyv 2)2()(22CxyiyxzfiCz 2u(x,y)=x2-y2第64頁/共75頁第六十五頁，共75頁。方法方法(fngf)三、不三、不

44、定積分法定積分法例例2：已知解析：已知解析(ji x)函數(shù)函數(shù)f(z)的虛的虛部部22),(yxxyxv求實求實(qish)部部u(x,y)和這個解析函數(shù)和這個解析函數(shù)改用極坐標改用極坐標)cos1 (cosv2sin22sin21v2cos2v按照柯西按照柯西-黎曼方程黎曼方程2cos21u2sin2u)(2cos21fdu)(2cos2f)( 2sin2fu得得：0)( fCf)(第65頁/共75頁第六十六頁，共75頁。Cu2cos2Cyxx222sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(cos2Cz 2第66頁/共75頁第六十七頁，共75頁。例例3：已知解析：已知解析(ji x)函

45、數(shù)函數(shù)f(z)實部實部 求求 v(x,y)解：解：化為極坐標求解化為極坐標求解(qi ji)uv10)(,)(22222fyxyxu),(),()(ivuzf42222sincosu2)2cos(3)2sin(2uv2)2cos(2dvdvdv第67頁/共75頁第六十八頁，共75頁。dddv23)2cos(2)2sin(2)2sin(2dCv2)2sin(),(),()(ivuzf2)2cos(uiCizf)2sin()2cos(1)(2iCezfi221)(iCz210)(f0C21)(zzf第68頁/共75頁第六十九頁，共75頁。1.5 1.5 平面平面(pngmin)(pngmin)標量場標量場 在物理及工程中常常要研究各種各樣的場，如電磁場、聲場等，這些(zhx