2015年高考理科數(shù)學(xué)新課標全國1卷逐題解析

1、2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國卷1(解析版)1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足*=i,則|z|=()1 -z(A)1(B)&(C)察(D)2【答案】A【解析】由1一z=i得,z=i=(1+i)(1-i)=i,故憶|=1,故選A.1-z1i(1i)(1-i)考點：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的模等2 .sin200cos10o-cos1600sin10o=()(C)【答案】D1，【解析】原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=,故選D.2考點：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式3 .設(shè)命題p：三nwN,n2>2n，則一p為()(A)VnN,n2>2n(B)3nN

2、,n2<2n(C)-nN,n2.2n(D)nN,n2=2n【答案】C【解析】p:VnwN,n2<2n,故選c.考點：本題主要考查特稱命題的否定4 .投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為()(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D0.312【答案】A【解析】根據(jù)獨立重復(fù)試驗公式得，該同學(xué)通過測試的概率為C；0.62m0.4+0.63=0.648,故選A.考點：本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率公式與互斥事件和概率公式25 .已知M(%,y0)是雙曲線C:x一y2=1上的一點，

3、Fi,F2是C上的兩個焦點，若2TIMF1MF2<0,則y0的取值范圍是().3-3、，6/.3、3、(A)(-,)(B)(-,)3366（C）（一涯，涯）（D）（一亞，蟲）3333【答案】AX22-*【解析】由題知Fi（-73,0）,F2（/3,0）,胃y0=1,所以MFi*MF2=(-73-X0,-yo)(m-%,-y0)=X2+y；-3=3y2-1<0,解得故選A.考點：雙曲線的標準方程；向量數(shù)量積坐標表示；一元二次不等式解法6.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米圖

4、，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有（）（A）14斛【答案】B(B)22斛(C)36斛(D)66斛【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r,則1M2M3r=8=r=16,所以米堆的體積43為14考點：13()25=33320,320320,故堆放的米約為320+1.6222,故選B.圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式7.設(shè)D為AABC所在平面內(nèi)一點(A)?1-14rAD=AB-AC(B)-11-fAD=-AB-4-fAC(C)AD=4r1-AB-AC(D

5、)t4rAD=AB-3由題-1AB+-AC,故選33A.rAD=ACCD=ACBC3考點：平面向量的線性運算8.函數(shù)f（x）=cos（8x十中）的部分圖像如圖所示，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（13(A) (k,k：一)，kZ4413(C)(k,k-),kZ4413(B) (2k,2k二一),kZ4413(D)(2k,2k),kZ44【答案】D【解析】由五點作圖知,1+4+4Ji一23二，解得co=n，邛=2所以f(x)=cos(nx+三)，441一3一令2kn<nx十一<2kn十兀，k匚Z,解得2k-一<xv2k十一，k=Z,故單調(diào)減區(qū)44413同為(2k2k+)k匚Z,故選

6、D.44考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)9.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01,則輸出的n=()(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】C1 一一m【解析】執(zhí)仃第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S=0.52 2>t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第2次,執(zhí)行第3次,執(zhí)行第4次,執(zhí)行第5次,執(zhí)行第6次,S=S-m=0.25,m=m=0.125,n=2,S=0.25>t=0.01,是，循環(huán)，mS=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125>t=0.01,是，循環(huán)，S=S-m=0.0625,m=m=0.03125

7、,n=4,S=0.0625>t=0.01,是，循環(huán)，2S=S-m=0.03125,m=m=0.015625,n=5,S=0.03125>t=0.01,是，循環(huán)，mS=S-m=0.015625,m=y=0.0078125,n=6,S=0.015625>t=0.01,是，循環(huán),執(zhí)行第,m7次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125>t=0.01,否,輸出n=7,故選C.考點：本題注意考查程序框圖10. (x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()(A)10(B)20(C)30(D)60【答案】C【解析】在(x2+x+y

8、)5的5個因式中，2個取因式中x2剩余的3個因式中1個取x,其余因式取y,故x5y2的系數(shù)為C；C1C；=30,故選C.考點：本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數(shù)【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項展開式式某一項的系數(shù)問題，先分析該項的構(gòu)成，結(jié)合所給多項式，分析如何得到該項，再利用排列組知識求解.11.圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20n,則r=()俯吼圖(A)1(B)2(C)4(D)8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾

9、何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為1,222,2-父4燈+nrM2r+nr+2父2r=5nr+4r=16+20n,解得r=2,故選b.考點：簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式12.設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x1)ax+a,其中a1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)0,則a的取值范圍是()(A)-旦，1)(B)-錯誤！未找到引用源。，-錯誤！未找到引用源。)(C)2e4錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。)(D)錯誤！未找到引用源。，1)【答案】D【解析】設(shè)g(x)=ex(2x-1),y=axa,由題知存在唯一的整數(shù)小,

10、使得g(x0)在直線y=axa的下方.x一1,.1.因為g(x)=e(2x+1),所以當x<一時，g(x)<0,當xA時，g(x)>0,所221.,4以當x=-2時，g(x)max=-2e,當x=0時，g(0)=-1,g(1)=3e>0，直線y=ax-a恒過(1,0)斜率且a,故3-a>g(0)=-1,且g(-1)=-3e之一a-a,解得一&a<1,故選d.2e考點：本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題13.若函數(shù)f(x)=xln(x+4a+x2)為偶函數(shù)，則a=【答案】1【解析】由題知y=ln(x+Ja+x2)是奇函數(shù),所以l

11、n(x+Ja+x2)+ln(_x+Q,a+x2)22、=ln(a+xx)=lna=0,解得a=i.考點：函數(shù)的奇偶性22xy14.一個圓經(jīng)過橢圓一+工=1錯誤！未找到引用源。的三個頂點，且圓心在x軸的164正半軸上，則該圓的標準方程為【答案】(x3)2丫2=空243【斛析】設(shè)圓心為(a,0),則半徑為4一a,則(4一a)之=a?+2之，解得a=,故232225圓的方程為(x-3)2寸上.24考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標準方程x-1-015.若x,y滿足約束條件x-y<0,錯誤！未找到引用源。則且錯誤！未找到引xx+y-4W0用源。的最大值為【答案】3【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，

12、由斜率的意義知，上是可行域內(nèi)一點與原x點連線的斜率，由圖可知，點A(1,3)與原點連線的斜率最大，故衛(wèi)的最大值為3.考點：線性規(guī)劃解法16.在平面四邊形ABCM,/A=ZB=ZC=75,BC=2則AB的取值范圍是【答案】（娓丘,76+72）【解析】如圖所示，延長BACD交于E,平移AD,當A與D重合與E點時，AB最長，BCBE在4BCE中，/B=/C=75,/E=30,BC=2,由正弦定理可得=,即sinZEsinZC2BEo=解得BE=J6+拒，平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時sin30sin75與AB交于F,在BCF中，/B=/BFC=75,/FCB=30,由正弦定理知，BFsin

13、.FCBBCsin.BFC一BF2,即=o,解得BF=J6一衣，所以AB的取值sin30sin75o范圍為（岳叵,J6+J2）考點：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想17.（本小題滿分12分）Sn為數(shù)列an的前n項和.已知an>0,a2+an=錯誤！未找到引用源。.（I）求an的通項公式；（n）設(shè)bn=1錯誤！未找到引用源。，求數(shù)列Jbn的前n項和.anan111【答案】（I）2n+1（n）64n6【解析】試題分析：（I）先用數(shù)列第n項與前n項和的關(guān)系求出數(shù)列an的遞推公式，可以判斷數(shù)列an是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列an的通項公式；（n）根據(jù)（i）數(shù)列bn的通項公式，再用拆項消

14、去法求其前n項和.試題解析:(I)當n=1時，a；+2al=46+3=4a1+3,因為an>0,所以&=3,2，anan48n+3-4Sn-3=4an,即(anan)(anHn)2a必為aan>0,所以anan)=2,所以數(shù)列an是首項為3,公差為2的等差數(shù)歹U,所以&=2n+1；(H)由(I)知,-11/11bn=()，(2n1)(2n3)22n12n3所以數(shù)列bn前n項和為,11111b2HIbn=()()-III-(2355712n12n3"I14n6考點：數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法18.如圖，四邊形ABC的菱形，

15、/ABC=120,E,F是平面ABC胴一側(cè)的兩點，BE1平面ABCDDU平面ABCDBE=2DFAE±EC.B（I）證明：平面AECL平面AFC;（n）求直線AE與直線CF所成角的余弦值【答案】（I）見解析（n）【解析】試題分析：（I）連接BD設(shè)BmAC=G連接EGFGEF,在菱形ABCDK不妨設(shè)GB=1易證EGLAC,通過計算可證EGLFG根據(jù)線面垂直判定定理可知EG,平面AFG由面十x，十x一八，T-L一心面垂直判定定理知平面AFCL平面AEC（n）以G為坐標原點，分別以GB,GC的萬向為X軸，y軸正方向，|GB|為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz,利用向量法可求出異面直線

16、AE與CF所成角的余弦值.試題解析：（I）連接BD,設(shè)BDHAC=G連接EGFGEF,在菱形ABCD43,不妨設(shè)GB=1由/ABC=120,可得AG=GC=3.由B已平面ABCDAB=B（M知，AE=EC又A已EC,，EG=翼,EGLAC,在RtEBG中，可得-,2BE=72,故DF=-,在RtFDG中，可得fg6FG-.在直角梯形BDFE中,由BD=2BE=72,DF=g可得EF=3后,EG2+FG2=EF2,EGLFG,.A6FG=GEGL平面AFCEG=WAEC；平面AFC1平面AEC.(n)如圖，以G為坐標原點，分別以GB,GC的方向為x軸，y軸正方向，|GB|為單位長度，建立空間直角

17、坐標系G-xyz，由(I)可得A(0,-V3,0),E(1,0,72),f（1,0,遮），c（0,73,0）,.ae=（1,V3,72）,cf=（-1,-73,）.1022TTAECF故cos：AE,CF=T-|AE|CF|3所以直線AE與CF所成的角的余弦值為考點：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力x(單位：千元)19.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)白影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.620wo-540-*$

18、20500h*AWjI上二,LJlL_l*11兒4K0Uit3H40423464x505254%T/t4x4y1Tw8工(xi-x)2i=48/I22(wi-w)i=48Z(xi-x)(Yi-y)i8工(wi-w)(Yi-y)i=146.656.36.8289.81.61469108.8+»18表中Wi=R,w=-ZWi8y,（I）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dJX哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（n）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（出）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)

19、（n）的結(jié)果回答下列問題：（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？（ii）年宣傳費x為何值時，年利率的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)（u1,v1）,（u2,v2）,（un,vn）,其回J13線v=ot+Pu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：理£（%一二）（專一力.八一日p-,a=v-flu£佃-以尸【答案】（I）y=c+d4適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x的回歸方程類型；（n）y=100.668、x（m）46.24【解析】試題分析：（I）由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（n）令w=Jx,先求出建立y關(guān)于w的線性回歸方程，即可y關(guān)于x的回歸方

20、程；（出）（i）利用y關(guān)于x的回歸方程先求出年銷售量y的預(yù)報值，再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤z的預(yù)報值；（ii）根據(jù)（n）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值，列出關(guān)于x的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用.試題解析:(I)由散點圖可以判斷，y=c+dJX適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x的回歸方程類型.(n)令w=JX,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于8_108.8i=6816x(Wi-w)(yi-y)d=-/一、2、(w-w)i4C=y-dw=563-68X6.8=100.6.y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,.y關(guān)于x的回歸

21、方程為y=100.6+68jX.(m)(i)由(n)知，當x=49時，年銷售量y的預(yù)報值y=100.6+68屈=576.6,Z=576.60.2-49=66.32.(ii)根據(jù)(n)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值Z=0.2(100.6+68西-x=-x+13.64+20.12,當4=曳6=6.8,即x=46.24時，Z取得最大值.2故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.12分考點：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進行預(yù)報預(yù)測；應(yīng)用意識x220.(本小題滿分12分)在直角坐標系xoy中，曲線C：y=7與直線y=kx+a(a>0)交與M,N兩點，(I)當k=0時，分別求C在

22、點M和N處的切線方程；(n)y軸上是否存在點巳使彳導(dǎo)當k變動時，總有/OPMgOPN說明理由.【答案】(I)Taxya=0或>/ax+y+a=0(n)存在【解析】試題分析：(I)先求出M,N的坐標，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.(n)先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將y=kx+a代入曲線C的方程整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標和P點坐標，利用設(shè)而不求思想，將直線PMPN的斜率之和用a表示出來，禾1J用直線PMPN的斜率為0,即可求出a,b關(guān)系，從而找出適合條件的P點坐標.試題解析：(I)由題設(shè)可得M(2ja,a),N(2&,a),或M(225a，N(2ja,a).y=1x,故

23、y='在x=2J2a處的到數(shù)值為RC在(2J2a,a)處的切線方程為24y-a=Va(x-2>/),即Tax-y-a=0.2故丫='在x=-2j2a處的到數(shù)值為-石C在(-2j2a,a)處的切線方程為4y-a=-何十2病，即axya=0.故所求切線方程為-y_a=0或jax+y+a=0.(n)存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P(0,b)為復(fù)合題意得點，M(xi,yi),N(x2,y2),直線PMPN的斜率分別為Kk.將y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0.x1x2=4k,x1x2-4a.,&k2,yb.y2,=2kxix2(a-b)(xix2)=kl

24、g)x1x2x1x2當b=-a時，有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補,故/OPM=OPN所以P(0,a)符合題意.考點：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運算求解能力3121.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x+ax+,g(x)=-lnx.4(I)當a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；(n)用min(m,n)表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x>0),討論h(x)零點的個數(shù).335一3【答案】(i)a=一；(n)當a>或aM時，h(x)由一個手點；當a=或44445,、53.a=一二時，h(x)有兩個零

25、點；當一二Ma<二時，h(x)有三個零點.444【解析】試題分析：(I)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點的方程組，解出切點坐標與對應(yīng)的a值；(n)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將x分為x>1,x=1,0<x<1研究h(x)的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對a再分類討論.試題解析：(I)設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(x0,0),則f(x0)=0,f'(x0)=0,31八何Xoa%一=0即423x0a=03因此，當a=時，x軸是曲線y=f(x)的切線.4(n)當xw(1,/)時，g(x)=_lnx<0,從而h(x)=minf(x),g(x)<g(x)<

26、;0,h(x)在(1,+8)無零點5一一5一當x=1時，右a之一一，則f0=a+0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=14455是h(x)的零點；若a,則f(1)=a+，h(1)=minf(1),g(1)=f(1)<0,44故x=1不是h(x)的零點.當xw(0,1)時，g(x)=lnx>0,所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點個數(shù)(i)若aW4或a20,則f'(x)=3x2+a在(0,1)無零點，故f(x)在(0,1)單1.5一一倜，而f(0)=,f(1)=a+,所以當aE3時，f(x)在(0,1)有一個零點；當44a20時，f(x)在(0,1)無

27、零點.(ii)若3<a<0,則f(x)在(0,單調(diào)遞減，在(J-1,1)單調(diào)遞增,故當x=/a時，f(x)取的最小值，最小值為f(J|)=2a-1+1.若f(,/一亙)>0,即一令<a<0,f(x)在(0,1)無零點.'，34若f(J-)=0,即a=一4,則f(x)在(0,1)有唯一零點;若f(</-)<0,即3<a由于f(0)=,f(1)=a+',所以當,344453一一.5<a<時，f(x)在(0,1)有兩個手點；當一3<aM時，f(x)在(0,1)444有一個零點.10分一35.一35.綜上，當a>或

28、2<時，h(x)由一個零點；當a=或2=時，h(x)有4 4445 3兩個奪點；當<a<時，h(x)有二個零點.6 4考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想22.(本題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖，AB是0。的直徑，AC是Oq的切線，BC交00于E.(I)若D為AC的中點，證明：DE是0。的切線；(n)若OA=73CE,求/ACB的大小.【答案】(I)見解析(n)60°【解析】試題分析：(I)由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，AE!BC,AC!AB,由直角三角形中線性質(zhì)知DE=DCOE=OB利用等量代換可證/DEC吆OEB

29、=90,即/OED90°,所以DE是圓O的切線；(II)設(shè)CE=1,由OA=J3CE得，AB=2j3,設(shè)AE=X,由勾股定理得BE=#2X2,由直角三角形射影定理可得AE2=CEBE,列出關(guān)于x的方程,解出X,即可求出/ACB的大小.試題解析：(I)連結(jié)AE,由已知得，AE±BC,AC!AB,在RtAEC中，由已知得DE=DC/DEC=zDCE連結(jié)OE/OBE=ZOEB/ACB吆ABC=90,.DEC+OEB=90,，/OED=90,DE是圓O的切線.(n)設(shè)CE=1,ae=x,由已知得AB=2j3,BE=Jl2-x2,由射影定理可得，AE2=CEBE,X2=J12-X2,解得X=>/3,.ZACB=60°考點：圓的切線判定與性質(zhì)；圓周角定理；直角三角形射影定理23.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程22在直角坐標系XOy中，直線C1:X=-2,圓C2：(X-1)+(y2)=1，以坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(I)求C1,C2的極坐標方程；(n)若直線C3的極坐標方程為8=工(PwR),設(shè)C2與C3的交點為M,N,