函數(shù)的單調(diào)性教學設計及點評

1、函數(shù)的單調(diào)性教學設計醴陵五中 張承一、教學內(nèi)容解析本節(jié)課內(nèi)容是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學人教A版必修1第一章集合與函數(shù)概念1.3函數(shù)的基本性質(zhì)中第1.3.1節(jié)單調(diào)性與最大（小）值的第一課時，本節(jié)教學內(nèi)容為函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的理論依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應用，因而函數(shù)單調(diào)性概念是中學數(shù)學中最重要的概念之一在研究單調(diào)性過程中，經(jīng)歷觀察圖象，描述函數(shù)圖象特征；結合圖、表，用自然語言描述函數(shù)圖象特征；用數(shù)學符號語言定義函數(shù)性質(zhì)的過程體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法加強“數(shù)”與“形”的結合，由

2、直觀到抽象；由特殊到一般為進一步學習函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)在對函數(shù)單調(diào)性的探究過程中，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力；讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程本節(jié)課的教學重點：形成增（減）函數(shù)形式化定義二、教學目標設置（一）學習目標1. 能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡單函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）.2. 通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，感悟數(shù)形結合的思想方法，培養(yǎng)觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高推理論證能力 3. 通過知識的探究過

3、程培養(yǎng)細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程（二）目標解析1能夠以具體的例子說明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；能夠舉例，并通過繪制圖形說明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個定義域上未必具有單調(diào)性，說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).對于一個簡單的函數(shù)能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù).2在探究函數(shù)單調(diào)性定義時，領悟到數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化思想、變化與對應思想，并能運用這些數(shù)學思想觀察、分析函數(shù)的圖象，探究、歸納、概括函數(shù)單調(diào)性的概念3通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納的認知過程，將函數(shù)圖象的

4、“上升”或“下降”這一特征能用該區(qū)間上“任意的，都有”的數(shù)學語言進行刻畫.從函數(shù)入手歸納函數(shù)單調(diào)性定義推廣到一般函數(shù)的單調(diào)性定義.培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高思維能力三、學生學情分析學生已有的認知基礎是，初中學習過函數(shù)的概念，初步認識到函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學模型，并且學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，能熟練的利用描點法畫出這些函數(shù)的圖象.進入高中以后又進一步學習了函數(shù)概念，認識到函數(shù)是兩個非空數(shù)集間的一種對應知道函數(shù)有三種表示方法，充分認識到一個函數(shù)中自變量與函數(shù)值的對應關系，可以利用圖象表示函數(shù)中函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律和性質(zhì).“圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)遞增的；圖象是下降的

5、，函數(shù)是單調(diào)遞減的”僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學生并不感到困難.困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性特征抽象出來，用數(shù)學的符號語言描述.即把某區(qū)間上“隨著的增大而增大”這一特征用該區(qū)間上“任意的，都有”進行刻畫.其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的教學中，通過一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體的函數(shù)圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，即“隨著的增大而增大”，初步提出單調(diào)遞增的說法，通過圖表觀察，提出猜想，經(jīng)歷討論、交流、驗證使學生克服思維障礙，經(jīng)歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識的過程教學難點：形成增（減）函數(shù)概念的過程中，如何從圖象升降的直觀認識過渡到

6、函數(shù)增減的數(shù)學符號語言表述，用定義證明函數(shù)單調(diào)性。四、教學策略分析為實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上我主要采取了以下的策略：（1）創(chuàng)設生活情境，找準切入點函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的模型，生活中很多運動變化的現(xiàn)象都值得去關注，讓學生通過觀察天津市某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調(diào)性直觀上的一種認識，并為概念的引入提供了必要性讓學生帶著問題（什么是函數(shù)的單調(diào)性？怎樣判定函數(shù)的單調(diào)性？）進入新課（2）探索概念階段，緊扣主線在函數(shù)圖象上“譜好”函數(shù)單調(diào)性教學的“三步曲”以學生熟悉的函數(shù)為例，讓學生從圖象上獲得“上升”“下降”的整體認識，初步認識函數(shù)單調(diào)性通過觀察函數(shù)的對應值表格

7、提出猜想，通過幾何畫板軟件加以驗證，用數(shù)學語言“隨著的增大而增大” 來描述 “函數(shù)的圖象在軸右側是上升的”，進一步認識函數(shù)單調(diào)性通過觀察、猜想、分析、驗證、證明的過程，從而用數(shù)學符號語言定描述函數(shù)在的單調(diào)性.最后通過類比，用數(shù)學符號語言定義一般函數(shù)的單調(diào)性（3）注重思想方法的培養(yǎng)從函數(shù)圖象的觀察出發(fā)，經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學符號語言，進而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程中，感悟數(shù)形結合思想、特殊到一般思想掌握通過觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法（4）注重數(shù)學應用意識的培養(yǎng)在整個教學過程中，通過溫度曲線

8、創(chuàng)設情境，找準切入點，進入新課在練習1（1）中，利用溫度曲線構造反例，幫助學生理解函數(shù)單調(diào)性中的“任意性”在歸納反思中，利用溫度曲線說明學習函數(shù)單調(diào)性知識具有實際意義五、教學過程（一）創(chuàng)設情境，引入新知我們知道，函數(shù)是研究事物運動變化規(guī)律的模型，生活中就有許多運動變化的現(xiàn)象是我們經(jīng)常關注的，如某日天津24小時的溫度曲線問題1：觀察圖形，你能得到什么信息？師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據(jù)學生回答的情況加以補充 【設計意圖】通過學生熟悉的實際問題引入課題為概念學習創(chuàng)設情境，拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學生求知欲，調(diào)動學生主體參與的積極性學生通過觀察天津市某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成

9、對單調(diào)性直觀上的一種認識（二）觀察探究，形成新知問題2：觀察函數(shù)，的圖象隨自變量的增大，是如何變化的？學生獲取函數(shù)的圖象升降特點后，教師以函數(shù)為例，初步認識函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)的圖象在軸左側隨著自變量增大而下降，我們說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；在軸右側隨著自變量增大上而升，就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)師生活動：教師引導，學生觀察圖象從左至右的變化情況，并回答問題【設計意圖】體會函數(shù)的圖象是上升的，函數(shù)的圖象在軸左側是下降的，在軸右側是上升的以函數(shù)的圖象為例，通過函數(shù)的圖象直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，初步認識函數(shù)單調(diào)性定義探究一：用數(shù)學符號語言定義增函數(shù)問題3：函數(shù)的圖象在軸右側是上升的，如何用數(shù)學語言來描述這種

10、“上升”？觀察表格，軸右側自變量值與對應的函數(shù)值的變化規(guī)律是怎樣的？教師提出問題后，組織學生填寫表格，觀察圖表-4-3-2-101234 師生活動：學生觀察函數(shù)圖象在軸右側是上升的，提出函數(shù)在區(qū)間上隨的增大而增大，在教師的幫助下，借助幾何畫板軟件加以驗證【設計意圖】觀察函數(shù)的圖象，用“在 隨的增大而增大”描述“圖象在軸右側是上升的”，進一步認識函數(shù)的單調(diào)性，從圖形的刻畫過渡到數(shù)量關系，即從圖形語言的表述過渡到數(shù)學語言的表述 問題4：如何用數(shù)學符號語言描述函數(shù)在 隨的增大而增大？師生活動：學生在教師的引導下，總結：函數(shù)，在區(qū)間上任取值，當時，都有就能說明函數(shù)在區(qū)間上隨的增大而增大；函數(shù)是增函數(shù).

11、引導學生觀察圖象，進行驗證，并通過作差比較，對函數(shù)在區(qū)間上當時，都有，給予證明經(jīng)歷上述觀察、猜想、分析、驗證、證明的過程，得到結論： 函數(shù)定義域為R，在上任意的的值，當時，都有我們就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【設計意圖】結合圖、表，學生在教師的引導，結合其初中的認知基礎，學生在教師的引導下，用數(shù)學符號語言“函數(shù)，在區(qū)間上任取兩個，當時，有”來描述“隨著的增大而增大”，學生經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語言到數(shù)學符號語言，進而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過程問題5：對于一般的函數(shù)定義域為I，在區(qū)間D上，我們應當如何給增函數(shù)下定義？引導學生給增函數(shù)下定義：一般地，設函數(shù)的定義域為：如果對于定義域內(nèi)的

12、某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)師生活動：學生思考、發(fā)言，教師補充、板書 【設計意圖】體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法問題6：類比增函數(shù)的定義，對于一般的函數(shù)，我們應當如何給減函數(shù)下定義？教師引導學生通過類比、觀察、驗證、交流后，得出減函數(shù)定義師生活動：小組討論，代表發(fā)言交流 【設計意圖】得出減函數(shù)定義，培養(yǎng)學生的類比能力練習1：判斷下列說法是否正確，說明理由：（1）某地0點溫度高于1點半的溫度，1點半的溫度高于5點的溫度，則該地0點至5點溫度一直在下降.（2）對于函數(shù)在其定義域內(nèi)有無窮多個值，滿足，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù).（3）對

13、于區(qū)間上的任意有，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增若不正確，請畫圖說明理由.師生活動：學生回答練習（1）后教師通過本節(jié)課開始的“某日天津24小時的溫度曲線”作為反例進行說明，練習（2）（3）學生通過作圖展示說明【設計意圖】通過辨析，學生進一步體驗到定義中的兩個自變量應該“任意”選?。ㄈ╈柟烫岣?，應用新知例1 下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？師生活動：學生觀察圖象，獨立完成，教師解答學生在解決問題過程中出現(xiàn)的問題如：單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；本題中，如果用并集符號，不符合單調(diào)性定義；本題中，區(qū)端點處有意義，那么區(qū)間開閉都可以【設計意圖】

14、學生能夠通過函數(shù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加深對函數(shù)單調(diào)性概念的理解例2：物理學中的玻意耳定律(為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積減小時，壓強將增大試用函數(shù)的單調(diào)性證明之師生活動：幫助學生分析例2，引導學生將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，解題過程由學生思考陳述，教師板書證明過程，師生共同總結用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟【設計意圖】利用單調(diào)性證明物理學中的玻意耳定律，學生感受到函數(shù)單調(diào)性的初步應用；教師引導下，學生熟悉用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟探究二：反比例函數(shù)的單調(diào)性問題7：畫出反比例函數(shù)的圖象，并說出函數(shù)的定義域是什么？它在定義域上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結論師生

15、活動：學生討論，代表發(fā)言，提出猜想，證明猜想【設計意圖】學生體會：通過數(shù)形結合思想的運用，觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)進行猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法（四）歸納反思，深化新知問題8：通過本節(jié)課學習，你有哪些收獲？師生活動：學生談本節(jié)課的學習感受，教師梳理、概括本節(jié)課主要的學習內(nèi)容，并揭示蘊涵的數(shù)學思想方法【設計意圖】使學生深切體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法（五）目標檢測1根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)2證明函數(shù)在上是減函數(shù)（六）布置作業(yè)：（1）基礎達標：教材中練習的第1、2題；求證：函數(shù)在區(qū)間上是減

16、函數(shù)（2）能力提升：研究函數(shù)的單調(diào)性（3）思考探究：函數(shù)定義域內(nèi)的某個區(qū)間D上任意兩個自變量的值，當時，都有，則函數(shù)在區(qū)間D上是 （填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”）教學點評點評人：劉家征（天津市第四中學）本節(jié)課的教學，較好的完成了三個教學目標。課堂教學始終以學生為中心，結合學生認知結構中的“最近生長點”一次函數(shù)和二次函數(shù)，尋找學生易于接受的思維模式，由感性感知“圖象由左向右是上升的，函數(shù)是單調(diào)遞增的”到理性思考 “隨著的增大而增大”，再到邏輯推理“任意的，都有”，很自然的突破引入“任意取兩個大小不等的”的教學難點，而單調(diào)性定義后面給出的三個辨析訓練，讓學生更加深刻的體會定義中“任意”的含義教學中增加且板書引導學生證