第28講 本構(gòu)方程

1、2022-5-101金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第二十八講第二十八講Lesson Twenty-Eight張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學(xué)金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-5-102第十二章 變形力學(xué)方程主要內(nèi)容Main Contento力平衡微分方程 o屈服條件 o應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程

2、o等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 o平面變形和軸對稱變形 2022-5-10312.3 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程o塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程本構(gòu)方程或或物理方程物理方程。zxyzxyzyxijijf,2022-5-10412.3.1 彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形的特點(diǎn)彈性變形的特點(diǎn)o應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合全量應(yīng)變主軸重合o彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程無關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)

3、一的單值關(guān)無關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)系系o彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比小于泊松比小于0.52022-5-105o虎克定律虎克定律o廣義虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量：彈性模量v：泊松比：泊松比xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量剪切模量)1 (2EG2022-5-106zyxxE1由由xzyxxE1mxEE31mE21mxE1則則xmmxEE31mmE21而而xmxmxGE211即即2022-5-107o同理同理ymymyGE211zmymzGE211所以廣義虎克定律

4、可寫成求和約定的形式所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式 ijmijijEG2121jijiij , 0 , 1克羅內(nèi)克兒記號克羅內(nèi)克兒記號 2022-5-108o彈性變形的比列及差比形式彈性變形的比列及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx212022-5-109廣義虎克定律的矩陣形式廣義虎克定律的矩陣形式zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1 ( 0 0 0 0 00 )1 ( 0 0 0 00 0 )1 ( 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 112022-5-101012.3.2 塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)

5、系塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形的特點(diǎn)塑性變形的特點(diǎn)o體積不變，泊松比體積不變，泊松比v=0.5v=0.5o應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系 o全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重合合 o塑性變化不可逆塑性變化不可逆無單值一無單值一一對應(yīng)關(guān)系一對應(yīng)關(guān)系與加載路徑有與加載路徑有關(guān)關(guān) o對于應(yīng)變硬化材料，卸載后的對于應(yīng)變硬化材料，卸載后的屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高2022-5-1011應(yīng)變增量與小變形及大變形的關(guān)系應(yīng)變增量與小變形及大變形的關(guān)系o應(yīng)變增量應(yīng)變增量 與小變形與小變形 數(shù)值大小處于同一數(shù)值大小處于同一數(shù)量級，都屬于無窮小量；數(shù)量級，都

6、屬于無窮小量；o大變形是對應(yīng)變增量進(jìn)行積分獲得的大變形是對應(yīng)變增量進(jìn)行積分獲得的ddd2022-5-1012塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系o增量理論增量理論 PrantlReuss理論理論 LevyMises理論理論 o全量理論全量理論 Hencky小變形理論小變形理論 2022-5-1013PrantlReuss理論理論基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o o 應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系塑性應(yīng)變增量塑性應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸一致主軸與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變增量各分量在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變增量各分量與該與該瞬時(shí)瞬時(shí)相應(yīng)

7、的各偏差應(yīng)力分量成比例相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例2022-5-1014數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 dddddddzxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpijdd2022-5-1015對對PR理論的解釋理論的解釋 o應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸重合的含義：若在應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸重合的含義：若在某一方向加載某一方向加載 ，則在該方向必產(chǎn)生，則在該方向必產(chǎn)生o應(yīng)力與應(yīng)變增量分配關(guān)系的含義：把塑性應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)變增量分配關(guān)系的含義：把塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力在數(shù)學(xué)上聯(lián)系起來變增量與應(yīng)力在數(shù)學(xué)上聯(lián)系起來 o 是一個非零非負(fù)的瞬時(shí)比例系數(shù)，是一個非零非負(fù)的瞬時(shí)比例系數(shù)， 時(shí)，時(shí)，表示彈性變形，表示彈性變形

8、， 時(shí)，無實(shí)際情況與其時(shí)，無實(shí)際情況與其對應(yīng)。對應(yīng)。11dd0d0d2022-5-1016PrantlReuss方程方程o總的應(yīng)變增量是彈性與塑性變形增量之和，總的應(yīng)變增量是彈性與塑性變形增量之和，即即 pijeijijdddddEdGijijmij)2121(pmijpijeijpijeijijdddddd而而0pzpypxpmddddmijijddd又又2022-5-1017ddGdijijij21 該式稱為該式稱為PrantlReuss方程，建立了方程，建立了偏差變形增量與偏差應(yīng)力之間的關(guān)系偏差變形增量與偏差應(yīng)力之間的關(guān)系 2022-5-1018適用范圍適用范圍 o該理論適用于彈塑性問題

9、，即塑性變形很小，該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，與彈性變形處于同數(shù)量級，而不能忽略彈性與彈性變形處于同數(shù)量級，而不能忽略彈性變形。變形。2022-5-1019LevyMises理論理論o基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o o 應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)變增量應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸一致主軸與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，應(yīng)變增量應(yīng)變增量各分量與該各分量與該瞬時(shí)瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例塑性塑性2022-5-1020數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx或或ijijdd

10、2022-5-1021對對LM理論的說明理論的說明o與與PrantlReuss理論相比，理論相比， LevyMises理理論只適用于大塑性變形問題；論只適用于大塑性變形問題；o又稱為又稱為LevyMises流動法則流動法則；o同樣用于應(yīng)變速率同樣用于應(yīng)變速率 ijijijijddtddtd2022-5-1022)(mxxxddd)(31(zyxxd)(2132zyxd)(2132xzyydd)(2132yxzzddxyxyddyzyzddzxzxdd2022-5-1023全量理論全量理論 o全量理論建立了全應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系。其中全量理論建立了全應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系。其中比較由影響的是比較由影響的是

11、Hencky小變形理論。小變形理論。2022-5-1024加載條件加載條件 o簡單加載簡單加載 在加載過程中，應(yīng)力張量各分量按同樣的在加載過程中，應(yīng)力張量各分量按同樣的比例增加，也稱為比例加載。即比例增加，也稱為比例加載。即 。例：。例： 0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，則，則簡單加載的特點(diǎn)：加載過程中，應(yīng)力主軸不動。簡單加載的特點(diǎn)：加載過程中，應(yīng)力主軸不動。 o復(fù)雜加載：加載過程中各應(yīng)力分量之間無規(guī)律可循。復(fù)雜加載：加載過程中各應(yīng)力分量之間無規(guī)律可循。 2022-5-1025Hencky小變形理論小變形理論基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系 塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸一致。主軸與應(yīng)力主軸一致。o應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變各分量與該各分量與該瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例。瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例。 2022-5-1026數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2022-5-1027o總的變形ijijmijpijeijijEG)2121(2022-5-1028小變形理論用于大變形小變形理論用于大變形o對于大塑性變形，僅用于對于大