概率課件34隨機(jī)變量的函數(shù)

1、隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-223.4 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布 問題的由來問題的由來 很多實(shí)際問題中需要研究很多實(shí)際問題中需要研究以隨機(jī)變量為自以隨機(jī)變量為自變量的函數(shù)變量的函數(shù). 一般，若一般，若(X1 , X2 , Xn)是已知聯(lián)合分布是已知聯(lián)合分布的的n維隨機(jī)變量，則維隨機(jī)變量，則),(21nXXXhY 仍是隨機(jī)變量，其中仍是隨機(jī)變量，其中隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22.),(21元連續(xù)函數(shù)元連續(xù)函數(shù)是是nxxxhn問題問題如何確定隨機(jī)變量如何確定隨機(jī)變量Y的分布？的分布？ 基本思路基本思路 希望通過希望通過(X1 ,X2 ,Xn)的的已知已知分布

2、去確定分布去確定Y 的分布的分布.例例3.4.1例例3.4.2一一. .離散型隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布律離散型隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布律,.2 , 1, ipxXPii 離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的分布律為的分布律為隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22Y =g( X ) 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 則則 ()jjP YyP g Xy)(jiijyxgxS 其中其中,.2 , 1, jxXPjiSxi滿足滿足 g( xi ) =yj 的全體的全體 xi 構(gòu)成構(gòu)成的集合的集合隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22Z =G( X ,Y ) 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, , 則則),(kkzYXGPzZ

3、P ),(),(kjijikzyxGyxT 其中其中,.2 , 1,),( kyYxXPkjiTyxji例例 3.4.3二維離散型二維離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量(X , Y )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為,.2 , 1, ipyYxXPijji隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 定理定理3.4.1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X , Y )是離散型隨機(jī)變是離散型隨機(jī)變量量, X , Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,其分布律分別為其分布律分別為,.2 , 1 , 0)( kkpkXP,.2 , 1 , 0)( rrqrYP則則X+Y 的分布律為的分布律為例例3.4.4 ,.2 , 1 ,)()(0 mkmqkp

4、mYXPmk離散卷離散卷積公式積公式隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22結(jié)論結(jié)論 若若X1, X2 ,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,且且Xi B(1, p)則則 X1+ X2+.+ Xn B(n, p) 反之若反之若 X B(n, p) , 則存在則存在相互獨(dú)立相互獨(dú)立的的Xi B(1, p)，使使 X =X1+ X2+.+ Xn一般一般 1）隨機(jī)變量隨機(jī)變量X1，X2， ,X n相互獨(dú)立相互獨(dú)立；2）具有相同類型的分布具有相同類型的分布； 若若 nkkXY1隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 二項(xiàng)分布具有可加性二項(xiàng)分布具有可加性 泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性的分布除參數(shù)變化的分

5、布除參數(shù)變化, ,而分布類型不變而分布類型不變, ,稱分布稱分布具有具有可加性可加性. .教材教材P82頁例頁例3.4.3隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 )()()()(yxgxXYdxxfyXgPyF ., 0;)(),()(其他其他的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)yfxFyfYYY二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)及其概率密度二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)及其概率密度 1. 設(shè)設(shè)X 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量, ,若若Y= g(X)也是連也是連續(xù)型隨機(jī)變量，則續(xù)型隨機(jī)變量，則例例3.4.5例例3.4.6隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22總結(jié)總結(jié) 從分布函數(shù)定義出發(fā)從分布函數(shù)定義出發(fā)FY (y) =

6、PYy = P g(X)y 求解的關(guān)鍵求解的關(guān)鍵 解決問題解決問題的出發(fā)點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)將將g(X)y 轉(zhuǎn)換為關(guān)于轉(zhuǎn)換為關(guān)于 X 的不等式的不等式 當(dāng)當(dāng)g(x) 為單調(diào)遞增函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)時時yx= g 1(y) g(X)y = Xg 1(y) 從而從而 FY (y) = FX g 1(y) 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22當(dāng)當(dāng) g(x) 為單調(diào)遞減函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù) g(X)y = Xg 1(y) 有有 FY (y) = 1FX g 1(y) 定理定理:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 具有概率密度具有概率密度fX(x) - x0 (或或g(x)0 ) 則則Y= g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨

7、機(jī)變量,其概率密度為其概率密度為 .)()(),(),(max(,)(),(min(0)( 的的反反函函數(shù)數(shù)是是其其中中其其他他xgyyhxbgagbgagyyhyhfyfXY ，隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 2.求二維連續(xù)型隨機(jī)變量求二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X , Y) 的函數(shù)的函數(shù)Z = G (X , Y )的概率密度的概率密度 fz ( z )，一般方法一般方法1）先求出先求出 Z 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FZ ( Z )；2）對對FZ ( Z )微分得到微分得到 fz ( z )；FZ (z) = P Zz = P G( X, Y )z ),(: ),(),(zyxGyxdxdy

8、yxf例例3.4.7例例3.4.8隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22三三. .幾種特殊函數(shù)的分布幾種特殊函數(shù)的分布1. Z1 = max (X,Y )， Z2 = min (X ,Y ),max()(1zYXPzFZ ),(,zzFzYzXP 若若 X 與與 Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,有有)()()(1zFzFzFYXZ 又若又若 X 與與 Y 有有相同分布相同分布, ,即分布函數(shù)都為即分布函數(shù)都為F(x), 則則2)()(1zFzFZ 從而從而)()(2)(1zfzFzfZ 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22),min()(2zYzXPzYXPzFZ 或或,zYzXPzYPzXP

9、 思考思考 已推得已推得若若 X 與與Y 相互獨(dú)立且具有相同分布相互獨(dú)立且具有相同分布 )(2zfZ見教材見教材P86頁例頁例3.4.9 ，隨機(jī)系統(tǒng)的串并聯(lián)隨機(jī)系統(tǒng)的串并聯(lián).)()(1 2zfzF 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-222. .Z = X + Y 的分布的分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(x,y)(zYXPzFZ dxdyyxfzyx ),(dydxyxfyz ),(x+y = zxyo做積分變量變換做積分變量變換, ,令令 x = uy隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22dyduyyufz ),( zdudyyyuf),(dydxy

10、xfzFyzZ ),()(x = uy由連續(xù)型隨機(jī)變量定義由連續(xù)型隨機(jī)變量定義duufzFzzZ )()(得到公式得到公式dyyyzfzfz ),()(隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22類似可得類似可得 )(zfzdxxzxf ),(若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X, Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則則 )(zfzdyyfyzfYX)()( )(zfzdxxzfxfYX)()( 卷積卷積公式公式 例例 3.4.9正態(tài)分布的可加性正態(tài)分布的可加性見例見例3.4.11隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22解題步驟：解題步驟： 1）在在 XOZ平面上作出平面上作出 f (x , zx) 的非的非零區(qū)域零區(qū)域

11、 G；2）從區(qū)域從區(qū)域 G 中確定中確定 f z ( z )非零區(qū)間非零區(qū)間; ; 3）在在f z ( z )非零區(qū)間內(nèi)，逐段確定非零區(qū)間內(nèi)，逐段確定f z ( z )的表達(dá)式；的表達(dá)式；4）寫出寫出 f z ( z )的完整表達(dá)式的完整表達(dá)式. . 例例 3.4.10隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-223. .Z = X /Y 的分布的分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(x,y) zYXPzZF /xyozyx dyyyzfyzfz ),()(證證 . 0,; 0,/yyzxyyzxzyx dxdyzyxyxf /,隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May

12、-22做積分變量變換做積分變量變換, ,令令 x = yu , ,有有 例例 3.4.11dydxyxfdydxyxfzFzyzyZ 00),(),()(dyyyzfyxfz ),()( . 0,; 0,/yyzxyyzxzyxxyozyx 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 問題問題1 炮擊某一目標(biāo)炮擊某一目標(biāo)O , 已知彈著點(diǎn)已知彈著點(diǎn)(X ,Y )服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布. 點(diǎn)點(diǎn)( X ,Y ) 與目標(biāo)與目標(biāo)O 的距離的距離 22YXZ 服從什么分布服從什么分布? 問題問題2 由統(tǒng)計物理學(xué)由統(tǒng)計物理學(xué),氣體分子運(yùn)動速率服氣體分子運(yùn)動速率服從馬克斯維爾分布從馬克斯維爾分布.

13、. 0, 0;0, 0,)(22324xxexfxx分子運(yùn)動動能分子運(yùn)動動能 服從什么分布服從什么分布? ?221mv 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22例例3.4.1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有分布律具有分布律求求: Y = 2X 以及以及 Z = sin X 的分布律。的分布律。 解解. 首先由首先由 X 的可能取值確定的可能取值確定 Y 及及 Z 的取的取值值:Y = 2XXZ = sin X1 0 1 0隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22得到隨機(jī)變量函數(shù)得到隨機(jī)變量函數(shù) Y 及及 Z 的分布律為的分布律為:Y PY = yj Z 1 0 1PZ = zk 隨機(jī)變量的函數(shù)

14、隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 例例3.4.2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 具有分布具有分布函數(shù)函數(shù)FX(x)，試求，試求Y=X2 的分布函數(shù)的分布函數(shù).)(2yXPyYPyFY 000yyXyPy 0)()(00yyFyFyXX隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 例例3.4.3 設(shè)設(shè)(X ,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為X Y0103/103/1013/101/10 試求試求 1) sin X, 2) X +Y, 3) XY, 4) Max (X,Y)的分布律的分布律.解解:由由(X ,Y)的分布律得的分布律得隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 P3/103/103/10

15、1/10(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1) X01sin X0 sin1X+Y0112 XY0001Max (X,Y)0111隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22sinX0sin1P0.60.4X+Y012P0.30.60.1XY01P0.90.1Max (X,Y)01P0.30.7隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 例例3.4.4 設(shè)設(shè)X ,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且且XB(n1, p) , YB(n2, p) 則則 ),.,1 , 0(,)1 (111nkppCkXPknkkn 證證),.,1 , 0(,)1(222nrppCrYPrnrrn mkkmnkmkmnkn

16、kknppCppC02211)1 ()1 (X+YB(n1+ n2 , p) mkkmqkpmYXP0)()(隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22),.1 , 0(,)1 (212121nnmCppmnnmnnm 二項(xiàng)分布具有可加性二項(xiàng)分布具有可加性 mkkmnknmnnmCCpp02121)1 (求和為求和為mnnC21 mkkmnkmkmnknkknppCppC02211)1()1(隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22例例3.4.5 設(shè)設(shè)XN(0, 1) , 求求Y=X2 的概率密度的概率密度解解, 0)(, 02 yXPyFyY當(dāng)當(dāng),)(, 02yXyPyXPyFyY 當(dāng)當(dāng)y y

17、y=x2隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22)()(yFyfYY yydxex2221 yXyP )()(22)(22)(21 yeyeyy22121yey . 0,;0,)(22121yoyeyyfyY稱稱Y 服從自由度服從自由度為為1的的2分布分布隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 例例3.4.6 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 的概率密度為連續(xù)的概率密度為連續(xù)函數(shù)函數(shù) fX (x) , 求求: Y = a X+ b (a0) 的概率密度的概率密度 fY ( y)。 解解 當(dāng)當(dāng)a0 時時,)(ybaXPyFY 當(dāng)當(dāng)a0 時時,)(ybaXPyFY 對對 y 求導(dǎo)得到求導(dǎo)得到)(ab

18、yFabyXPX )(1abyFabyXPX 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22)(1)()(abyXfayFyfYY 特別當(dāng)特別當(dāng) XN( , 2), 則則X的線性函數(shù)的線性函數(shù)Y = a X+ b (a0) 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(a +b, a 2 2).)(1)(abyXYfayf 222)(21 abyea證證隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22Rxeaabay ,212222)(222)(21 abyea即即Y N(a +b, a 2 2).特別特別 XYba則則取取,1標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化變換變換隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 有有Y 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正

19、態(tài)分布 N(0, 1)，其概率密，其概率密度為度為結(jié)論結(jié)論: 正態(tài)分布的線性函數(shù)仍然正態(tài)分布的線性函數(shù)仍然 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布; Rxexx ,21)(22 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 例例3.4.7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為的概率密度為令令Y=X2, F(x, y)為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分的聯(lián)合分布函數(shù)布函數(shù).() 求求Y 的概率密度的概率密度fY(y);() 1,10;21( ),02;40,Xxfxx 其其他他。)4 ,21( F隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22分析分析 該題本質(zhì)上是求一個隨機(jī)變量的函數(shù)該題本質(zhì)上是求一個隨機(jī)變

20、量的函數(shù)分布和概率計算問題。分布和概率計算問題。解解 （I） 設(shè)設(shè)X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 yXyP 1）當(dāng)）當(dāng) y0, FY(y)=0;2）當(dāng)）當(dāng) 0y1, )(2yXPyYPyFY 00113( )244yYyFydxdxy 141隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-223）當(dāng)）當(dāng) 1y4, 4）當(dāng)）當(dāng) 4y, FY(y)=1;3,01;81( )( ),14;80,.YYyyfyFyyy 其其他他最后最后0101111( )2442yYFydxdxy 隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22（II） )4 ,21( F211,4,422P XYP XX 11, 22 222P XXPX

21、 2114121dx隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 例例3.4.8 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度為為: ., 0;0,2),()2(其它其它yxeyxfyx求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布函數(shù)和概率密度的分布函數(shù)和概率密度.解解 FZ(z)=PZ z = PX+2Y z zyxdxdyyxf2),(f(x,y)的的非零區(qū)域非零區(qū)域xyx+2y=z隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22xyx+2y=zf(x,y)的的非非0區(qū)域區(qū)域 ;0, 0z. 0,200)2(2 zdxdyezyxxz . 0,1; 0. 0zzeezzz . 0,;0, 0)()(zzezzFzfzZZ zyxdxdyyxf2),(隨機(jī)變量的函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)May-22 例例3.4.9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,均服從區(qū)均服從區(qū)間間(0, 1) 上的均勻分布上的均勻分布, 求求: