1.2常系數(shù)非齊次線性方程ppt課件

1、第九節(jié)第九節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程 一、一、 型型 二、二、 型型 三、小結(jié)三、小結(jié))()(xPexfmx xxPxxPexfnlx sin)(cos)()( )(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程對應齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu), yYy 常見類型常見類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點：如何求特解？難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法方法：待定系數(shù)法.)()(xPexfmx 一、 型設非齊方程特解為設非齊方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)(

2、)()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設設是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設設;)(xmexQy ;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可設可設綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設設 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性微分方程微分方程k是

3、重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.)(2xmexQxy 特別地特別地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設設代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1型型

4、二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP ,)()(xiexPqyypy 設設,)(1ximkeQxy 利用歐拉公式利用歐拉公式,)()(xiexPqyypy 設設,)(2ximkeQxy ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多項式，次多項式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根 ii

5、k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是是單單根根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy （取虛部）（取虛部）例例2 2.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos2

6、1xCxCY 作輔助方程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixeBAxy 設設代入輔助方程代入輔助方程 13034ABAi,9431iBA ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實部）（取實部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的的實實部部和和虛虛部部分分別別是

7、是xiAe 例例4 4 一鏈條懸掛在一釘子上，啟動時一端離開釘一鏈條懸掛在一釘子上，啟動時一端離開釘子子8m 8m 另一端離開釘子另一端離開釘子12m 12m ，分別在以下兩種情況，分別在以下兩種情況下求鏈條滑下來所需要的時間：下求鏈條滑下來所需要的時間： （1 1若不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦力；若不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦力； （2 2若摩擦力為若摩擦力為1m1m長的鏈條的重量長的鏈條的重量. .解解 (1)(1)以釘子處為原點以釘子處為原點, s , s 軸豎直向下，設在軸豎直向下，設在t t 時刻，鏈條較長一段下垂時刻，鏈條較長一段下垂s ms m，且設鏈條的密度均，且設鏈條的密度均勻分

8、布為勻分布為 ，則向下拉鏈條下滑的作用力為，則向下拉鏈條下滑的作用力為 gsgsgsf )10(2)20( 得得微微分分方方程程初初始始問問題題于于是是由由maf 0)0(,12)0()10(22022sssgdtsd 方程的標準形式為方程的標準形式為gsgdtsd 1022特征方程及特征根為特征方程及特征根為10, 0102, 12grgr tgtgeCeCs1 . 021 . 01 10a, 0* 代入原方程得代入原方程得，則，則設設ssas101 . 021 . 01 tgtgeCeCs代入初始條件得代入初始條件得101 . 01 . 0 tgtgees即即 15252ln102ssgt

9、當當s =20m s =20m 時，鏈條全部滑下，需時時，鏈條全部滑下，需時 )(625ln10sgt ggsgsf )20()2(gsgs05. 110 同理可解得同理可解得)(322419ln10sgt 例例5 設函數(shù)設函數(shù) 連續(xù)，且滿足連續(xù)，且滿足)(x xxxdttxdtttex00)()()( 求求)(x 解解 對積分方程兩邊求導對積分方程兩邊求導 xxdttex0)()( 再求導得再求導得xexx )()( 初始條件為初始條件為1)0(,1)0( 特征方程和特征根為特征方程和特征根為irr 2, 12,01xCxCxsincos)(21 由于自由項由于自由項1,)( xexf不是特

10、征根，故設不是特征根，故設xxaexxaex )()(,)(* 解得解得 a =1/2a =1/22/sincos)(21xexCxCx 再代入初始條件可得再代入初始條件可得)sin(cos21)(xexxx 三、小結(jié)三、小結(jié)可以是復數(shù)）可以是復數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)只含上式一項解法：作輔助方程只含上式一項解法：作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實部或虛部特解的實部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解

11、.思考題思考題寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考題解答思考題解答設設 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二二、 求求下下列列各各微微分分方方

12、程程滿滿足足已已給給初初始始條條件件的的特特解解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .練練 習習 題題三、三、 含含源源在在CLR,串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中, ,電動電動E勢為勢為的電源對的電源對電電充充電電容容器器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微微法法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,歐歐1000 R, ,試求合上開試求合上開后后關(guān)關(guān) K的電的電及及流流)(ti)(tuc電壓電壓 . .四、四、 設設)(x 函函數(shù)數(shù)連續(xù)連續(xù), ,且滿足且滿足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .練習題答案練習題答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ； 4 4、212cos10121 xeCeCyxx. .