1.2平面及其方程三版ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 平面及其方程平面及其方程 點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡.方程的概念方程的概念 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面的一般方程平面的一般方程 兩平面的夾角兩平面的夾角一、點(diǎn)的軌跡一、點(diǎn)的軌跡.方程的概念方程的概念 平面解析幾何把平面曲線當(dāng)作點(diǎn)的軌跡，平面解析幾何把平面曲線當(dāng)作點(diǎn)的軌跡，在空間解析幾何中，任何曲面或曲線都看作點(diǎn)的在空間解析幾何中，任何曲面或曲線都看作點(diǎn)的幾何軌跡。幾何軌跡。水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),

2、( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿(mǎn)滿(mǎn)足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿(mǎn)滿(mǎn)足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：曲面方程的概念曲面方程的概念以下給出幾例常見(jiàn)的曲面以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx

3、202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx 例例 2 2 求與原點(diǎn)求與原點(diǎn)O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為例例 3 3 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求線線段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.設(shè)設(shè)

4、),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡(jiǎn)得所求方程化簡(jiǎn)得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c以上幾例表明研究

5、空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（2 2已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量該平面的法線向量法線向量的特征：法線向量的特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量知知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有

6、00 nMM二、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的點(diǎn)法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程，不在平面上的平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程，上方程稱(chēng)為平面的方程，點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程，上方程稱(chēng)為平面的方程，平面稱(chēng)為方程的圖形平面稱(chēng)為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點(diǎn)已知點(diǎn)).,(000zyx例例 1 1 求求過(guò)過(guò)三三點(diǎn)點(diǎn))4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,

7、1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 015914 zyx由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 三、平面的一般方程三、平面的一般方程平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過(guò)平面通過(guò) 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面

8、；xoy類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論 情形情形. 下表給出幾種平面的特殊情況：下表給出幾種平面的特殊情況： 條件例子特點(diǎn)條件例子特點(diǎn) 1 D=0 Ax+By+Cz=0 平面過(guò)原點(diǎn)平面過(guò)原點(diǎn) 2 A，B，C 中有一個(gè)為中有一個(gè)為0 Ax+Cz+D=0 平面與平面與y軸平行軸平行 Ax+Cz=0 平面過(guò)平面過(guò)y軸軸 3 A，B，C 中有二個(gè)為中有二個(gè)為0 Ax+D=0 平面平行于平面平行于yoz坐標(biāo)面坐標(biāo)面 Ax=0 平面即為平面即為yoz坐標(biāo)面坐標(biāo)面例例 2 2 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx

9、和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 3 3 設(shè)設(shè)平平面面過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過(guò)原點(diǎn)知由平面過(guò)原點(diǎn)知, 0 D由由平平面面過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求

10、平面方程為解解例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍

11、圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個(gè)個(gè)單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱(chēng)為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱(chēng)為

12、兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 四、兩平面的夾角四、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 0

13、12)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點(diǎn)點(diǎn)，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|Pr|0

14、1PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公

15、式點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的位置特征）（注意兩平面的位置特征）五、小結(jié)五、小結(jié)思考題思考題 若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為為4 ，求求? k思考題解答思考題解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k一、一、 填空題：填空題：1 1、 平面平面0 CzByAx必通過(guò)必通過(guò)_， （其中（其中 CBA,不全為零） ；不全為零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x軸；軸；3 3、平面、平面0 CzBy_x軸；軸；4 4、通過(guò)點(diǎn)、通過(guò)點(diǎn))

16、1,0,3( 且與平面且與平面012573 zyx平平 行的平面方程為行的平面方程為 _ _；5 5、通過(guò)、通過(guò)),0,0()0,0()0,0,(cba、三點(diǎn)的平面方三點(diǎn)的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx與與xoy面的夾角余弦為面的夾角余弦為_(kāi) _ _，與，與yoz面的夾角余弦為面的夾角余弦為_(kāi)， 與與zox面的夾角的余弦為面的夾角的余弦為_(kāi)；練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并畫(huà)出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并畫(huà)出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三、三、 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn))2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三點(diǎn)的三點(diǎn)的 平面方程平面方程 . .四、四、 點(diǎn)點(diǎn))1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通過(guò)過(guò)Z軸軸和和點(diǎn)點(diǎn))2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求與與已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且與與 三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所構(gòu)構(gòu)成成的的四四面面