高等代數(shù)--第六章 線性空間ppt課件

1、第六章第六章 線性空間線性空間n1 線性空間的定義線性空間的定義n2 維數(shù)維數(shù)基和坐標(biāo)基和坐標(biāo)n3 線性子空間線性子空間n4 映射映射線性空間的同構(gòu)線性空間的同構(gòu)n5 線性空間上的函數(shù)線性空間上的函數(shù)1 線性空間的定義線性空間的定義n例題n線性空間的定義n線性空間的性質(zhì)例題n線性空間是線性代數(shù)最根本的概念之一。這一節(jié)我們來引見它的定義，并討論它的一些最簡單的性質(zhì)。線性空間也是我們碰到的第一個籠統(tǒng)的概念。n例1 在解析幾何中，我們討論過三維空間中的向量。向量的根本屬性是可以按平行四邊形規(guī)律相加，也可以與實數(shù)作數(shù)量乘法。n例例2 為了解線性方程組，我們討論過以為了解線性方程組，我們討論過以n元有序

2、數(shù)組元有序數(shù)組 作為元素的作為元素的n維維向量空間。對于它們，也有加法和數(shù)量乘向量空間。對于它們，也有加法和數(shù)量乘法，那就是：法，那就是：n例例3 對于函數(shù)，也可以定義加法和函數(shù)對于函數(shù)，也可以定義加法和函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘法。譬如說，思索全體定與實數(shù)的數(shù)量乘法。譬如說，思索全體定義在區(qū)間義在區(qū)間a,b上的延續(xù)函數(shù)。我們知道，上的延續(xù)函數(shù)。我們知道，延續(xù)函數(shù)的和是延續(xù)函數(shù)，延續(xù)函數(shù)與實延續(xù)函數(shù)的和是延續(xù)函數(shù)，延續(xù)函數(shù)與實數(shù)的數(shù)量乘積還是延續(xù)函數(shù)。數(shù)的數(shù)量乘積還是延續(xù)函數(shù)。),(21naaa),(),(),(22112121nnnnbabababbbaaa).,(),(2121nnkakakaaa

3、aknnR12,|nniRa aaaR1212,nnna aab bbR 1212,nna aab bbkR12,nkka kakanR實實 維向量空間維向量空間 在第二章，有向量的加法 數(shù)乘： 任取 那么 對于加法、數(shù)乘封鎖，且滿足八條()()()kkk()klkl()()klk l1nRn(1) (2) (3) 有零向量 (4) 有負(fù)向量(5) (6) (7) (8) 那么稱 是數(shù)域 R 上的 維向量空間 nnF12,|nniFa aaaF1212,nnna aab bbF 1212,nna aab bbkF12,nkka kakanF數(shù)域數(shù)域 F F上的上的 維向量空間維向量空間 在數(shù)域

4、F上，類似可以定義有向量的加法 數(shù)乘： 任取 那么 對于加法、數(shù)乘封鎖，且滿足八條()()()kkk()klkl()()klk l1nFn(1) (2) (3) 有零向量 (4) 有負(fù)向量(5) (6) (7) (8) 那么稱 是數(shù)域 F 上的 維向量空間 從這些例子我們看到，所思索的對象雖然完全不同，但是它們有一個共同點，那就是它們都有加法和數(shù)量乘法這兩種運算。當(dāng)然，隨著對象不同，這兩種運算的定義也是不同的。為了抓住它們的共同點，把它們一致同來加以研討，我們引入線性空間的概念。當(dāng)我們引入籠統(tǒng)的線性空間的概念時，也必需選定一個確定的數(shù)域作為根底 定義1 設(shè) V 是一個非空集合，F(xiàn) 是一個數(shù)域.

5、在集合 V 的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做加法； 這就是說，給出了一個法那么，對于 V 中的恣意兩個元素 與 ，在 V 中都有獨一的一個元素 與它們對應(yīng)， 稱為 與 的和，記為線性空間的定義線性空間的定義 在數(shù)域 F 與 V 集合的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法:對于數(shù)域 F 中任一數(shù) k 與 V 中任一元素 ，在 V中都有獨一的一個元素 與它們對應(yīng)， 稱為 k與 的數(shù)量乘積，記為 k假設(shè)加法與數(shù)量乘法滿足下述法那么，那么V稱為數(shù)域F上的線性空間。加法滿足下面四條規(guī)那么： 1) 2) 3) 在V中有一個元素0，對于V中任一元 素 都有 (具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素)； 4)

6、對于V中每一個元素 ,都有V中的元素 ， 使得 ( 稱為 的負(fù)元素)。;);()(00 5) 6)數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)那么： 7) 8) 在以上規(guī)那么中，k,l 等表示數(shù)域 F 中的恣意數(shù)； 等表示集合 V 中的恣意元素。 .)(kkk,1.)()(kllk;)(lklk數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)那么： 由定義，幾何空間中全部向量組成的集合是一個實數(shù)域上的線性空間。 例例4 全體實函數(shù)，按函數(shù)的加法和數(shù)與全體實函數(shù)，按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個實數(shù)域上的函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個實數(shù)域上的線性空間。線性空間。下面再來舉幾個例子。例5 數(shù)域F上一元多項式環(huán)Fx，按通常的多項式加法

7、和數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成一個數(shù)域F上的線性空間.假設(shè)只思索其中次數(shù)小于n的多項式，再添上零多項式也構(gòu)成數(shù)域F上的一個線性空間，用Fxn表示.例6 元素屬于數(shù)域 F 的mn矩陣，按矩陣的加法和矩陣與數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域F 上的一個線性空間，用Fmn表示.例7 數(shù)域F按照本身的加法與乘法，即構(gòu) 成一個本身上的線性空間。 線性空間的元素也稱為向量. 當(dāng)然，這里所謂向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多。線性空間有時也稱為向量空間。以下我們經(jīng)常是用小寫的希臘字母 代表線性空間V中的元素，用小寫的拉丁字母 代表數(shù)域F中的數(shù) , , ,k l p 1.零元素是獨一的。 假設(shè)01，02是線性空間V中的兩個元

8、素。我們來證01=02。 由于01、 02是零元素，所以 01+02 =01， 01+02 =02 于是 01=01 +02=02。 這就證明了零元素的獨一性。 線性空間的性質(zhì)線性空間的性質(zhì)2.負(fù)元素是獨一的。 這就是說，適宜條件 的元素 是被元素 獨一決議的。0 . 0, 0.0)()(0假設(shè) 有兩個負(fù)元素 與 ，那么向量 的負(fù)元素記為 。 利用負(fù)元素，我們定義減法如下：).(3. 我們先來證 這里應(yīng)該留意，等號 由于兩邊的“0代表不同的對象 兩邊加上 即得0000.1)01 (010. 004. 5 00k我們有兩邊加上 即得. 00) 11 () 1(1) 1(.) 1(.) 1(6.假

9、設(shè) ，那么 或者 . 假設(shè) ，于是一方面 而另一方面由此即得0k0k00k. 00)(11kkk.1)()(11kkkk. 0BACK2 維數(shù)維數(shù)基與坐標(biāo)基與坐標(biāo)n線性空間中向量的線性相關(guān)性線性空間中向量的線性相關(guān)性n線性空間的維數(shù)，基，坐標(biāo)線性空間的維數(shù)，基，坐標(biāo)n如何求線性空間的維數(shù)，基如何求線性空間的維數(shù)，基n如何求過渡矩陣如何求過渡矩陣n如何求向量的坐標(biāo)如何求向量的坐標(biāo)線性空間中向量的線性相關(guān)性線性空間中向量的線性相關(guān)性n定義定義2 n 設(shè)設(shè)V 是數(shù)域是數(shù)域F上的一個線性空間，上的一個線性空間， 是是V 中一組向量，中一組向量，n 是數(shù)域是數(shù)域F 中的數(shù)，那么向量中的數(shù)，那么向量稱為向

10、量組稱為向量組 的一個線性組合。有的一個線性組合。有時我們也說向量時我們也說向量 可以用向量組可以用向量組 線性表出線性表出) 1(,21rrrkkk,21r,21rrkkk2211,21r,定義3 設(shè) 是V中兩個向量組。假設(shè)(1)中每個向量都可以用向量組(2)線性表出，那么稱向量組(1)可以用向量組(2)線性表出。假設(shè)(1)與(2)可以相互線性表出，那么向量組(1)與(2)稱為等價的) 1 (,21r)2(,21r定義定義4 線性空間線性空間V中向量中向量稱為線性相關(guān)，假設(shè)在數(shù)域稱為線性相關(guān)，假設(shè)在數(shù)域F中有中有r個個不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) ，使，使 假設(shè)向量假設(shè)向量 不線性相關(guān)不線性相關(guān)

11、,就稱為線性就稱為線性無關(guān)。無關(guān)。 換句話說換句話說,向量組向量組 稱為線性無關(guān)稱為線性無關(guān),假假設(shè)等式設(shè)等式(3)只需在只需在 時才成立。時才成立。) 1(,21rrrkkk,21)3(02211rrkkkr,21r,21021rkkk定義定義5 向量組的一個極大線性無關(guān)組向量組的一個極大線性無關(guān)組設(shè) S 是線性空間 V 中一部分向量組組成的集合， 是S中的一組向量，假設(shè) 線性無關(guān)(2) S中其他向量可由 線性表示,那么稱 是 S 的一個極大線性無關(guān)組12,r12,r12,r12,r定義定義6 向量組的秩向量組的秩向量組一個極大線性無關(guān)組 那么 r 稱為向量組的秩只含零向量的向量組的秩為 0

12、12,r11122122ijaaVaRaaVR1112212210010000,00001001EEEEV例例1 1 設(shè)設(shè) 那么 對于矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成數(shù)域 上的線性空間. 是 的一個極大線性無關(guān)組4 F x31( )32f xxx22( )4fxx3( )fxx4( )5fx 例例2 2 問問 中的向量組 能否線性相關(guān)能否線性相關(guān) 以上定義是大家過去曾經(jīng)熟習(xí)的，不僅如此，在第三章中，從這些定義出發(fā)對n元數(shù)組所作的那些論證也完全可以搬到數(shù)域F上的籠統(tǒng)的線性空間中來并得出一樣的結(jié)論。 1.單個向量 是線性相關(guān)的充分必要條件是 。兩個以上的向量 線性相關(guān)的充分必要條件是其中有一個向量是其他向量的

13、線性組合。 2.假設(shè)向量組 線性無關(guān)，而且可以被 線性表出，那么 。0r,21r,21s,21sr 由此推出，兩個等價的線性無關(guān)的向量組，必定含有一樣個數(shù)的向量。 3.假設(shè)向量組 線性無關(guān)，但向量組 線性相關(guān)，那么 可以被 線性表出，而且表法是獨一的。對于n元數(shù)組所成的向量空間，有n個線性無關(guān)的向量，而恣意n+1個向量都是線性相關(guān)的。在一個線性空間中，終究最多能有幾個線性無關(guān)的向量，顯然是線性空間的一個重要屬性。我們引入r,21,21rr,21定義定義7 假設(shè)在線性空間假設(shè)在線性空間V中有中有n個線性無關(guān)個線性無關(guān)的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量，

14、那么量，那么V就稱為就稱為n維的；假設(shè)在維的；假設(shè)在V中可以找中可以找到恣意多個線性無關(guān)的向量，那么到恣意多個線性無關(guān)的向量，那么V就稱為就稱為無限維的。無限維的。 按照這個定義，幾何空間中向量所成的按照這個定義，幾何空間中向量所成的線性空間是三維的；線性空間是三維的；n元數(shù)組所成的空間是元數(shù)組所成的空間是n維的；維的；線性空間的維數(shù) 由一切實系數(shù)多項式所成的線性空間是無限維的，由于對于恣意的N，都有N個線性無關(guān)的向量 無限維空間是一個專門研討的對象，它與有限維空間有比較大的差別。在本課程中，我們主要討論有限維空間。 在解析幾何中我們看到，為了研討向量的性質(zhì)，引入坐標(biāo)是一個重要的步驟。對于有限

15、維線性空間，坐標(biāo)同樣是一個有力的工具。., 11Nxx 在n維線性空間V中，n個線性無關(guān)的向量 稱為V的一組基。設(shè) 是V中任一向量，于是 線性相關(guān)，因此 可以被基 線性表出：n,21n,21n,21,2211nnaaa其中系數(shù) 稱為 在基 下的坐標(biāo)，記為 naaa,21n,21),(21naaa基 坐標(biāo)例例1 在線性空間在線性空間 中，中，是是n個線性無關(guān)的向量，而且每一個次數(shù)小個線性無關(guān)的向量，而且每一個次數(shù)小于于n的數(shù)域的數(shù)域F上的多項式都可以被它們線性表上的多項式都可以被它們線性表出，所以出，所以 是是n維的，而維的，而 就是就是它的一組基。它的一組基。 在這組基下在這組基下,多項式多項

16、式 的坐標(biāo)就是它的系數(shù)的坐標(biāo)就是它的系數(shù) 。 12, 1nxxx1110)(nnxaxaaxf),(110naaa如何求坐標(biāo)12, 1nxxx nF x nF x假設(shè)在V中另外一組基那么按泰勒展開公式因此，f(x)在基 下的坐標(biāo)是.),),(, 1121nnaxax（.)()!1()()( )()(1)1(nnaxnafaxafafxf, , 21n).)!1()(,),( ),()1(nafafafn例例2 在在n維空間維空間Fn中，中，顯然顯然是一組基。對每一個向量是一組基。對每一個向量 ，都有都有所以所以 就是向量就是向量 在這組基下的坐在這組基下的坐標(biāo)。不難證明，標(biāo)。不難證明，) 1

17、, 0 , 0(01000121n），（），（),(21naaannaaa2211),(21naaa是 中n個線性無關(guān)的向量，在基 下，對于向量 ，有因此， 在基 下的坐標(biāo)為) 1 , 0 , 0(11011121n），（），（, , 21n),(21naaa.)(121211nnnaaaaa（, , 21n).,(1121nnaaaaanF例3 假設(shè)把復(fù)數(shù)域K看作是本身的線性空間，那么它是一維的，數(shù)1就是一組基； 假設(shè)看作是實數(shù)域上的線性空間，那么就是二維的，數(shù)1與i就是一組基。 維數(shù)是和所思索的數(shù)域有關(guān)的。在在n維線性空間維線性空間V中，向量中，向量 是是V的的一組基。一組基。設(shè)設(shè) 是是V

18、中任一向量，因此中任一向量，因此 可以被可以被基基 線性表出：線性表出：n,21n,211 122,nnxxx解方程組求出系數(shù)12,nx xx普通情況BACK3R1, 2,111,1,121,1,131,1,1例例4 4 試求試求 中向量中向量 在基 下的坐標(biāo)基變換與坐標(biāo)變換n基變換n坐標(biāo)變換基變換 過渡矩陣n在n維線性空間中，恣意n個線性無關(guān)的向量都可以取作空間的基。對不同的基，同一個向量的坐標(biāo)普通是不同的。 前面的例子曾經(jīng)闡明了這一點。如今我們來看，隨著基的改動，向量的坐標(biāo)是怎樣變化的。n設(shè) 與 是n維線性空間中兩組基，它們的關(guān)系是n,21, , 21n設(shè)向量在這兩組基下的坐標(biāo)分別是 與

19、，即如今找出 與 的關(guān)系。 .) 1 (,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaa),(21nxxx) , , (21nxxx) 2(22112211nnnnxxxxxx),(21nxxx) , , (21nxxx 為了寫起來方便，我們引入一種方式的寫法。把向量寫成nnxxx2211)3(,),(2121nnxxxn1可以寫成) 4 (.),() , , (2122221112112121nnnnnnnnaaaaaaaaannnnnnaaaaaaaaaA212222111211矩陣稱為由基 到 的過渡矩陣，它是可逆的。n,21, , 21n 在利用方式寫法

20、來作計算之前，我們首先指出這種寫法所具有的一些運算規(guī)律。 設(shè) 和 是V中兩個向量組，是兩個nn矩陣，那么n,21n,21)(),(ijijbBaA.),(),(),();)(,(),(),();)(,(),(221121212121212121AAABABAABBAnnnnnnnnn 如今回到本節(jié)所要處理的問題上來。由(2)有.) , , (2121nnxxx坐標(biāo)變換公式用4代入，得與3比較，由基向量的線性無關(guān)性，得.),(2121222211121121nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa)5(.2121222211121121nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx或者(5)與(

21、6)給出了在基變換(4)下，向量的坐標(biāo)變換公式。)6(.21121222211121121nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx.111011001),() , , (2121nn例例5 我們有我們有這里就是過渡矩陣。.111011001A.10000110001100011A因此也就是與3所得出的結(jié)果是一致的。,10000110001100012121nnxxxxxx)., 2(,111nixxxxxiiiBACK3R13,1,2 21,1,132,3,111,1,121, 2,332, 0,1例例6 6 在在 中, 求由基 到基 的過渡矩陣3 線性子空間n子空間的定義n有關(guān) n子空

22、間的交n子空間的和n維數(shù)公式n兩個子空間的直和n多個子空間的直和12(,)rL a子空間的定義定義定義9數(shù)域數(shù)域 F 上線性空間的一個非空上線性空間的一個非空子集合稱為的一個線性子空間或子集合稱為的一個線性子空間或簡稱子空間簡稱子空間. 假設(shè)對于的兩種運假設(shè)對于的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域算也構(gòu)成數(shù)域 F 上的線性空間上的線性空間. 下面我們來分析一下，一個非空子集合要滿足什么條件才干成為子空間。 設(shè)W是V的子集合。由于V是線性空間。所以對于原有的運算，W中的向量滿足線性空間定義中的規(guī)那么1),2),5),6),7),8)是顯然的。為了使W本身構(gòu)成一線性空間，主要的條件是要求W對于V中原有運算的封鎖性

23、，以及規(guī)那么3)與4)成立。如今把這些條件列在下面： 如何證明是子空間n1.假設(shè)假設(shè)W中包含向量中包含向量 ，那么，那么W就一定同時包含域就一定同時包含域F中的數(shù)中的數(shù)k與與 的數(shù)量乘積的數(shù)量乘積n2. 假設(shè)假設(shè)W中包含向量中包含向量 與與 ，那么，那么W就同時包含就同時包含 與與 的和的和 。n3. 0在在W中。中。n4. 假設(shè)假設(shè)W中包含向量中包含向量 ，那么，那么 也在也在W中中n不難看出不難看出3，4兩個條件是多余的，它們曾經(jīng)包含在兩個條件是多余的，它們曾經(jīng)包含在條件條件1中作為中作為k=0與與 1這兩個特殊情形。因此，我這兩個特殊情形。因此，我們得到們得到k 定理3 假設(shè)線性空間V的

24、非空子集合W對于V的兩種運算是封鎖的，也就是滿足上面的條件1，2，那么W就是一個子空間。 既然線性子空間本身也是一個線性空間，上面我們引入的概念，如維數(shù)、基、坐標(biāo)等。所以，任何一個線性子空間的維數(shù)不能超越整個空間的維數(shù)。例例1 在線性空間中，由單個的零向量所組成在線性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空間。間。例例2 線性空間線性空間V本身也是本身也是V的一個子空間。的一個子空間。 在線性空間中，零子空間和線性空間本身在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個子空間有時候叫做平凡子空間，而其這兩個子空間有時候叫做平凡子空間，而

25、其它的線性子空間叫做非平凡子空間。它的線性子空間叫做非平凡子空間。例例3 在全體實函數(shù)組成的空間中，一切的實在全體實函數(shù)組成的空間中，一切的實系數(shù)多項式組成一個子空間。系數(shù)多項式組成一個子空間。例例4 是線性空間是線性空間 的子空間。的子空間。 nF x F x例5 在線性空間 中，齊次線性方程組的全部解向量組成一個子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間。不難看出，解空間的基就是方程組的根底解系，它的維數(shù)等于n-r,其中 r為系數(shù)矩陣的秩。nF. 0, 0, 0321123221211312111nnnnnnnnnaaaaaaxaxaxanF121,0naaaWnF例例6 6 在在 中，

26、一切形如 的向量的集合 構(gòu)成 的一個子空間121121,1,nnnniVaaaaaaaaaRnR例例7 7 判別判別 能否構(gòu)成 的一個子空間 子空間 設(shè) 是線性空間V中的一組向量。不難看出，這組向量一切能夠的線性組合所成的集合是非空的，而且對兩種運算封鎖，因此是V的一個子空間，這個子空間叫做由 生成的子空間，記為 r,21rrkkk2211,21r,).,(21raL).,(21raL 由子空間的定義可知，假設(shè)V的一個子空間包含向量 ，那么就一定包含它們一切的線性組合，也就是說，一定包含 作為子空間。 在有限維線性空間中，任何一個子空間都可以這樣得到?，F(xiàn)實上，設(shè)W是V的一個子空間， W當(dāng)然也是

27、有限維的。設(shè) 是W的一組基，就有 r,21).,(21raLWr,21),(21raL 求 的維數(shù)和基定理4 1兩個向量組生成一樣子空間的充分必要條件是這兩個向量組等價。2 的維數(shù)等于向量組 的秩.證明 1設(shè) 與 是兩個向量組。假設(shè)那么每個向量 作為),(21raLr,21r,21s,21).,(),(2121srLaL), 2 , 1(rii),(21sL),(21raL中的向量都可以被 線性表出；同樣每個向量 作為 中的向量也都可以被 線性表出，因此這兩個向量組等價。 假設(shè)這兩個向量組等價，那么凡是可以被 線性表出的向量都可以被 線性表出，反過來也一樣，因此s,21), 2 , 1(sjj

28、),(21raLr,21,1r,2s,21).,(),(2121srLaL2設(shè)向量組 的秩是s, 而 是它的一個極大線性無關(guān)組，由于 與 等價，所以由定理1， 就是 的一組基，因此 的維數(shù)就是s.r,21s,21)(rs ,21r,s,21).,(),(2121srLaLs,21),(21raL),(21raLnF11, 0, 0e 20,1,0e 0, 0,1ne 12(,)nnFL eee21 (1,)nnF xLx xx例例8 8 在在中，取 , , 那么 例9 4F12,1,3,121, 2,0,131,1,3, 0 41,1,1,1例例10 10 在在 中, 求向量 張成的子空間的基

29、和維數(shù)基的擴(kuò)展基的擴(kuò)展定理定理5 設(shè)設(shè)W是數(shù)域是數(shù)域 F 上上n維線性空間維線性空間V的一個的一個m維子空間，維子空間， 是是W的一組基，那么這的一組基，那么這組向量必定可擴(kuò)展為整個空間的基。也就是說，組向量必定可擴(kuò)展為整個空間的基。也就是說，在在V中必定可以找到中必定可以找到n-m個向量個向量 使得使得 是是V的一組基。的一組基。證明證明 對維數(shù)差對維數(shù)差n-m作歸納法。當(dāng)作歸納法。當(dāng)n-m=0，定，定理顯然成立，由于理顯然成立，由于 曾經(jīng)是曾經(jīng)是V的基。的基。如今假定如今假定n-m=k時定理成立，我們思索時定理成立，我們思索n-m=k+1的情形。的情形。 既然既然 還不是還不是V的一組基，

30、它又是的一組基，它又是m,21nmm,21n,21m,21m,21線性無關(guān)的，那么在V中必定有一個向量 不能被 線性表出，把 添加進(jìn)去 必定是線性無關(guān)的。由定理4,子空間 是m+1維的。由于, 由歸納法假設(shè)， 的基 可以擴(kuò)展為整個空間的基。根據(jù)歸納法原理，定理得證。k1-1k1-m)-(n1)(m-nm,211m1m12,mm,1),(121mmaL),(121mmaL,211,mmBACK子空間的交1212( ,)(,)stL aL n子空間的交n求1212,VVVV 子空間的交10, ,aWa b cFcb2, ,0acWa b cFb120,0aWWa bFb例例 11 11 設(shè)設(shè) 那么

31、 2 2F定理定理6 假設(shè)假設(shè)V1，V2是線性空間是線性空間V的兩個子空的兩個子空 間，那么它們的交間，那么它們的交 也是也是V的子空間。的子空間。證明證明 首先，由首先，由 ，可知，可知 ， 因此因此 是非空的。其次是非空的。其次,假設(shè)假設(shè) , 即即 ，而且，而且 ，那么，那么 ， 因此因此 。對數(shù)量乘積。對數(shù)量乘積 可以同樣地證明。所以可以同樣地證明。所以 是是V的子空間。的子空間。210 ,0VV210VV 21VV 21VV 21,VV 1,V2,V,1V2V.21VV 21VV 1212( ,)(,)stL aL 求P344 習(xí)題8復(fù)習(xí)題A組 習(xí)題8復(fù)習(xí)題B組 習(xí)題1 由集合的交的定

32、義可以看出，子空間的交適宜以下運算規(guī)律： (交換律), (結(jié)合律)。 多個子空間的交定義： 它也是子空間。1221VVVV)()(321321VVVVVV,121isisVVVV 子空間的和n子空間的和n如何求1212( ,)(,)stL aL 子空間的和子空間的和定義定義11 設(shè)設(shè) 是線性空間是線性空間V 的子空的子空間間,所謂所謂 與與 的和的和,是指由一切能表是指由一切能表示成示成 ，而，而 的向量的向量組成的子集合，記作組成的子集合，記作12,VV21,11V22V.21VV 1V2V定理定理7 假設(shè)假設(shè) 是是V子空間子空間,那么它們的和那么它們的和 也是也是V的子空間的子空間21VV

33、 12,VV 子空間的和子空間的和證明證明 首先，首先， 顯然是非空的。其次，顯然是非空的。其次，假設(shè)假設(shè) 即即那么那么因此因此 同樣同樣 所以，所以， 是是V的子空間。的子空間。 21VV ,21VV .,221121221121VVVV).()(2211.,222111VV.21VV .2121VVkkk21VV n子空間的和適宜以下運算規(guī)律：n我們定義多個子空間的和n它是由一切表示成n 的向量組成的子空間。n關(guān)于子空間的交與和有以下結(jié)論：1.設(shè)V1，V2，W都是子空間，那么由 與 可推出 1VW ), 2 , 1(,21siViissiisVVVV121.結(jié)合律）。）（交換律），)(32

34、13211221VVVVVVVVVV2VW ;21VVW 而由 與 可推出2.對于子空間V1與V2，以下三個結(jié)論是等價的： 這些結(jié)論的證明留給讀者。例12 在三維幾何空間中，用V1表示一條經(jīng)過原點的直線，V2表示一張經(jīng)過原點而且與V1垂直的平面，那么， V1與V2的交是0，而V1與V2的和是整個區(qū)間。1VW 2VW .21VVW121211221). 2). 3).VVVVVVVV例例13 在線性空間在線性空間Fn中，用中，用V1 與與V2分別分別表示齊次方程組表示齊次方程組. 0, 0, 0321123221211312111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa. 0, 0

35、, 0321123221211312111ntnttnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbxb與的解空間。. 0, 0, 0, 03211121211132111312111ntnttnnnsnssnnxbxbxbxbxbxbxaxaxaxaxaxa那么的解空間。12VV就是例14 在一個線性空間V中，我們有).,(),(),(112121tstsLLLn定理定理7 維數(shù)公式假設(shè)維數(shù)公式假設(shè)V1，V2 是線是線性空間性空間 V 的兩個子空間，那么的兩個子空間，那么n 維維(V1)+維維(V2)=維維(V1 +V2)+維維( ).21VV n證明證明 設(shè)設(shè)V1，V2的維數(shù)分別是的維數(shù)分別是n1

36、,n2， 的維數(shù)是的維數(shù)是m,取取 的一組基的一組基n由定理由定理5，它可以擴(kuò)展成，它可以擴(kuò)展成V1的一組基的一組基n也可以擴(kuò)展成也可以擴(kuò)展成V2的一組基的一組基21VV .,21m.,1121mnm.,2121mnmn我們來證明，向量組n是V1 +V2的一組基。這樣， V1 +V2的維數(shù)就等于n1+n2-m,因此維數(shù)公式成立。n由于n所以n如今來證明向量組(1)是線性無關(guān)的。設(shè)) 1 (,211121mnmnm).,(),(2112121211mnmmnmLVLV).,(21112121mnmnmLVV. 02211111111mnmnmnmnmmqqppkkn令n由第一個等式 ，而由第二個

37、等式看出 于是 ，即 可以被 線性表示。令 n那么n由于 線性無關(guān),得 n 因此 .2211111111mnmnmnmnmmqqppkk;1V2V21VV m,21,2211mmlll. 0221111mnmnmmqqllmnm2,121mll1, 011mnqq0從而有由于 線性無關(guān)，又得這就證明了 線性無關(guān)，因此它是V1 +V2的一組基，故維數(shù)公式成立. 0111mnmppkkmnm1,110111111mnmnmmppkkmnmnm21,111n從維數(shù)公式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù)的和來得小，例如，在三維幾何空間中，兩張經(jīng)過原點的不同的平面之和是整個三維空間，而其維數(shù)之和卻等于4。由

38、此闡明這兩張平面的交是一維的直線。n普通地我們有n推論 假設(shè)n維線性空間V中兩個子空間V1 ,V2的維數(shù)之和大于n,那么V1 ,V2必含有非零的公共向量。n證明 由假設(shè) 維(V1 +V2)+維( )=維(V1)+維(V2)n.但因V1 +V2是V的子空間而有 所以 維( )0. 這就是說， 中含有非零向量。21VV 12(VV)n,維21VV 21VV BACK兩個子空間的直和子空間的直和的定義直和的充要條件直和補(bǔ)的存在性子空間直和的定義o子空間的直和是子空間的和的一個重要的特殊情形。o定義12 設(shè)V1，V2 是線性空間V的子空間，假設(shè)和V1+V2中每個向量 的分解式是獨一的，這個和就稱為直和

39、，記為221121,VV21VV 直和的充要條件直和的充要條件定理定理9 和和 是直和的充分必要條件是直和的充分必要條件 是等式是等式)2 , 1( ,021iVii只需在 全為零向量時才成立。i12VV證明 定理的條件實踐上就是：零向量的分解式是獨一的。因此這個條件顯然是必要的。下面來證這個條件的充分性。 設(shè) ，它有兩個分解式于是其中 。由定理的條件，應(yīng)有這就是說，向量 的分解式是獨一的。211VV ).2 , 1(,2121iViii. 0)()(2211)2 , 1( iViii)2 , 1(0iiiiin推論推論 和和V1+V2為直和的充分必要條件是為直和的充分必要條件是n證明證明 先

40、證條件的充分性。假設(shè)有等式先證條件的充分性。假設(shè)有等式n 那么那么 由假設(shè)由假設(shè)n 這就證明了這就證明了V1+V2是直和。是直和。n再證必要性。任取向量再證必要性。任取向量 于是零向量于是零向量可以表成可以表成n 由于是直和，所以由于是直和，所以 。這就證明了。這就證明了.021VV ).2 , 1(, 021iVii.2121VV . 021.21VV .,)(021VV0.021VV n定理定理10 設(shè)設(shè)V1，V2是是V的子空間，令的子空間，令W= V1+V2,那么那么 的充分必要條件為的充分必要條件為 維維(W)=維維(V1)+維維(V2). (1)n證明證明 由于由于 維維(W)+維維

41、(V1 V2)=維維(V1)+維維(V2)，(2) 而由前面定理而由前面定理8的推論知的推論知V1+V2為直和的充為直和的充要條件是要條件是 。所以維。所以維 也就是也就是 維維(W)=維維(V1)+維維(V2) 。21VVW.021VV 021）（VV n nFSTn nTSBFBBn nTTCFCC 例例1 1 證明證明 , ,其中其中 n直和補(bǔ)的存在性直和補(bǔ)的存在性n 定理定理11 設(shè)設(shè)U是線性空間是線性空間V的一個子的一個子空間，那么一定存在一個子空間空間，那么一定存在一個子空間W使使n證明證明 取取U的一組基的一組基 ，把它擴(kuò)，把它擴(kuò)展為展為V的一組基的一組基 。n 令令W即滿足要求

42、。即滿足要求。.WUVm,1nmm,11).,(1nmLW直和補(bǔ)是不獨一的直和補(bǔ)是不獨一的1112(,)mmnWL也是也是 U 的一個直和補(bǔ)的一個直和補(bǔ), 且且 1WW多個子空間的直和n多個子空間的直和的定義n等價條件v定義定義13 設(shè)設(shè) 都是線性空間都是線性空間v V的子空間，假設(shè)和的子空間，假設(shè)和 v 中每個向量中每個向量 的分解式的分解式sVVV,21sVVV21), 2 , 1(,21siViis是獨一的，這個和就稱為直和,記為.21sVVVn定理定理12 是是V的一些子空間，的一些子空間，下面這些條件是等價的。下面這些條件是等價的。n 1 是直和；是直和； 2零向量的表示法獨一；零向

43、量的表示法獨一； 3 ；n 4n這個定理的證明和這個定理的證明和s=2的情形根本一樣。的情形根本一樣。sVVV,21), 2 , 1(0siVVijji).()(iVW維維iVWBACKBACK12VVV11112VVV11122VVVV例例3 3 證明證明: : 假設(shè)假設(shè) 證明: 4 映射 線性空間的同構(gòu)同構(gòu)的定義同構(gòu)的定義同構(gòu)的性質(zhì)同構(gòu)的性質(zhì)同構(gòu)的運算同構(gòu)的運算同構(gòu)的條件同構(gòu)的條件映射n映射的定義n特殊的映射n一一對應(yīng)n逆映射n映射的乘法映射a 設(shè)M 與 N 是兩個集合，所謂集合 M 到集合N 的一個映射就是指一個法那么，它使 M 中每一個元素 都有 N 中一個確定的元素 與之對應(yīng)。假設(shè)映

44、射 使元素 與元素 對應(yīng), 那么就記為 aNMa( )aaa映射a 稱為 在映射 下的象，而 稱為 在映射 下的一個原象。 M到M本身的映射，有時也稱為到本身的變換。aaa例1 M是全體整數(shù)的集合，P是全體偶數(shù)的集合，定義這是M到 P 的一個映射。例2 M是數(shù)域 F 上全體 n 級矩陣的集合，定義這是M到 F 的一個映射。例3 M 是數(shù)域 F 上全體 n 級矩陣的集合，定義.,2)(Mnnn.|,|)(1MAAA2( ),.aaEaFE是n級單位矩陣，這是F到M的一個映射。例4 對于 定義 這是Fx到本身的一個映射。例5 設(shè)M, N是兩個非空集合，a0是N中一個固定的元素，定義即 把 M 的每

45、個元素都映到 , 這是 M 到 N 的一個映射。( ) ,f xF x).( )(xfxf.,)(0Maaa0a即 把每個元素都映到它本身，稱為集合M的恒等映射或單位映射，記為1M. 在不致引起混淆時，也可以簡單地記為1.例7 恣意一個定義在全體實數(shù)上的函數(shù) y=f(x)都是實數(shù)集合到本身的映射，因此，函數(shù)可以以為是映射的一個特殊情形。.,)(Maaa例例6 設(shè)設(shè)M是一集合，定義是一集合，定義映射的乘法。設(shè)映射的乘法。設(shè) 分別是集合分別是集合M到到N，N 到到 P的映射，乘積的映射，乘積 定義為定義為,),()(Maaa是 M 到 P 的一個映射例如，上面例2與例3中映射的乘積 就把每個n級矩

46、陣A映到數(shù)量矩陣|A|E，它是全體n級矩陣的集合到本身的一個映射。12又如，對于集合 M 到 N 的恣意一個映射 顯然都有 映射的乘法適宜結(jié)合律。設(shè) 分別是集合M到N，N到P，P到H 的映射，映射乘法的結(jié)合律就是.11MM,).()(等式是 M 到 H 的映射.即證明由定義 設(shè) 是集合M到N 的一個映射，我們用 代表M在映射 下象的全體，稱為M在映射 下的象集合。顯然.),)()()(Maaa對每個).()()(),()()()()(aaaaaa)(M()MN滿射映上的假設(shè) ，映射 就稱為映上的。 如例1、2、4、6中的映射， 是映上的。而例3中的映射當(dāng) 時那么不是映上的。 ()MN2n單射1

47、-1的假設(shè)在映射 下，M中不同元素的像也一定不同，即由 一定有 ，那么映射 就稱為1-1的。 21aa )()(21aa 如例1中 當(dāng) 時有 所以 是1-1的。同樣證明例3，6中的映射是1-1的，而例2，4中的映射那么不是。mnMmn,mn22 )()(mn 1-1的映上的映射稱為1-1對應(yīng)。如例1和例6中的映射都是1-1對應(yīng)。 1-1對應(yīng) 對于M到 N 的1-1 對應(yīng) 我們定義它的逆映射，記為 。顯然， 是 N 到M的一個1-1對應(yīng)，并且 不難證明，假設(shè) 分別是M到N，N到P的1-1對應(yīng)，那么乘積 就是M到P的一個1-1對應(yīng)。.)(,) (1aaaa當(dāng)1,111MM,11BACK線性空間的同

48、構(gòu)n線性空間同構(gòu)的定義n數(shù)域 F 上 n 維線性空間都與 同構(gòu)nF數(shù)域F上的 n 維線性空間n設(shè) 是線性空間V 的一組基，在這組基下，V 中每個向量都有確定的坐標(biāo)，而向量的坐標(biāo)可以看成 的元素。因此，向量與它的坐標(biāo)之間的對應(yīng)本質(zhì)上就是V 到 的一個映射。顯然，這個映射是1-1的與映上的，換句話說，坐標(biāo)給出了線性空間V與 的一個1-1對應(yīng)。這個對應(yīng)的重要性表如今它與運算的關(guān)系上。設(shè)n,21nFnFnFn即向量 的坐標(biāo)分別是n那么n于是向量 的坐標(biāo)分別是.2211nnbbb,2211nnaaa,),(),(2121nnbbbaaa.,)()()(2211222111nnnnnkakakakbaba

49、bak,).,(),(),(),(),(212121212211nnnnnnaaakkakakabbbaaabababa定義定義20 數(shù)域數(shù)域F上兩個線性空間上兩個線性空間V與與 稱稱為同構(gòu)的，假設(shè)由為同構(gòu)的，假設(shè)由V到到 有一個有一個1-1的映上的映上的映射的映射 ，具有以下性質(zhì)：，具有以下性質(zhì)： 其中其中 是是V中恣意向量，中恣意向量，k是是F中恣意數(shù)。中恣意數(shù)。這樣的映射這樣的映射 稱為同構(gòu)映射。稱為同構(gòu)映射。 ,),()()2);()()() 1kkVV 前面的討論闡明在前面的討論闡明在n維線性空間維線性空間V中取定中取定一組基后，向量與它的坐標(biāo)之間的對應(yīng)就一組基后，向量與它的坐標(biāo)之間

50、的對應(yīng)就是是V到到 的一個同構(gòu)映射。因此，數(shù)域的一個同構(gòu)映射。因此，數(shù)域F上上任一個任一個n維線性空間都與維線性空間都與 同構(gòu)。同構(gòu)。nFnF 同構(gòu)映射具有以下根本性質(zhì)：1. 在定義20的2)中分別取k=0,-1即得。2.3.V中向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是：它們的象 線性相關(guān)。 由于由).()(, 0)0(aa).()()()(22112211rrrrakakakakakakraaa,21)(,),(),(21raaa02211rrakakak 可得 反過來，由 有 由于 是1-1的，只需 ，所以 由同構(gòu)映射的性質(zhì)可以推知，同構(gòu)的線性空間有一樣的維數(shù)。0)()()(2211rrakaka

51、k0)()()(2211rrakakak. 0)(2211rrakakak0)0(02211rrakakakn5. 同構(gòu)映射的逆映射是同構(gòu)映射。n設(shè) 是線性空間V到 的同構(gòu)映射，顯然逆映射 是 到V 的一個1-1的映上的映射。我們來證 還適宜條件1,2。n 令 是 中恣意兩個向量，于是11,VVVn 兩邊用 作用，即得n 條件2)可以同樣地證明).() () () () (111111).() () (111n6. 兩個同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射n再設(shè) 和 分別是線性空間V到V和V到V的同構(gòu)映射，我們來證乘積 是V到V的一個同構(gòu)映射。n顯然 是1-1的映上的。由)()()(),()()()()

52、(kkk是同構(gòu)映射 性質(zhì)5，6闡明，同構(gòu)作為線性空間之間的一種關(guān)系，具有反身性、對稱性與傳送性。既然數(shù)域F上恣意一個n維線性空間都與Fn同構(gòu)，由同構(gòu)的對稱性與傳送性即得，數(shù)域F上恣意兩個n維線性空間都同構(gòu)。綜上所述，我們有定理定理13 數(shù)域數(shù)域F上兩個有限維線性空間同構(gòu)上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有一樣的維數(shù)。的充分必要條件是它們有一樣的維數(shù)。特別地，每一個數(shù)域特別地，每一個數(shù)域F上上 n 維線性空間都與維線性空間都與n 元數(shù)組所成的空間元數(shù)組所成的空間 同構(gòu)，而同構(gòu)的空同構(gòu)，而同構(gòu)的空間有一樣的性質(zhì)。由此可知，我們以前所間有一樣的性質(zhì)。由此可知，我們以前所得到的關(guān)于得到的關(guān)于

53、 n 元數(shù)組的一些結(jié)論，在普通元數(shù)組的一些結(jié)論，在普通的線性空間中也是成立的，而不用要一一的線性空間中也是成立的，而不用要一一重新證明。重新證明。nFBACKBACK線性空間上的函數(shù)n線性函數(shù)n雙線性函數(shù)n對稱雙線性函數(shù)n二次型函數(shù)線性函數(shù)VFfVFf)()()(fff)()(kfkf,VkFfV定義定義21 設(shè)設(shè) 是數(shù)域 上的一個線性空間，是到 的一個映射，假設(shè)滿足2式中 是 中恣意元素， 是 中恣意數(shù)，那么稱 為 上的一個線性函數(shù).1線性函數(shù)的性質(zhì)fV)()(,0)0(fffs,21sskkk2211)()()()(2211ssfkfkfkf(1) 設(shè)是上的線性函數(shù)，那么(2) 假設(shè)是的線

54、性組合：那么例題),(21nxxxXnF121()( ,)nf Xf x xxx例例1 是 中的向量.函數(shù) 也是一個線性函數(shù)也是一個線性函數(shù)例題AFnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211AnnaaaATr2211)(例例2 是數(shù)域上一個級矩陣，設(shè)那么的跡Fnn nF是上全體級矩陣構(gòu)成的線性空間上的一個線性函數(shù) 3.設(shè) 為一個線性函數(shù)， 為:f VF12,n V1 122,nnVkkk (),1,2,iifa in 的一組基，1122( )()()()nnfk fk fk f 那么1 122nnk ak ak a 即 f 可由V 的基的值確定而 為 V 的一組基.12,n 那

55、么 為線性函數(shù)，且:f VF1 122,nnVkkk 1( ),niiifk a 令(),1,2,iifa in 反之， 設(shè) 是 n 個數(shù)12,naaa是 到 F 的一個線性函數(shù).nF例例3 設(shè)設(shè)1212,(,)nnna aaFx xxF 1( )niifa 那么一組基， 是 上的一個線性函數(shù)，知 fV132312()1,(2)1,()3fff 求求1 12233().f xxx 解：解： 132312()()1()2 ()1()()3ffffff 1 12233123()473.f xxxxxx 所以所以 123()4()7()3fff 例4 設(shè) V 是數(shù)域 F上的 3 維線性空間, 是12

56、3,一個線性函數(shù)，知131312()(2)0,()1,fff求求 .f131312()()0()2 ()0()()1ffffff 解：解： 那么那么 1 12233,xxxV123()0()1()0fff 222( )().fx fx 例5 設(shè) V 是數(shù)域 F上的 3 維線性空間, 是V上的 f 1,2, .iifain ，為為V的一組基，的一組基，12,n 為 F中12, , ,na aa恣意 n 個數(shù). 那么存在獨一的V上線性函數(shù) f 使設(shè) 是數(shù)域 上的 維線性空間，映射VFn:f VVF 為 上的二元函數(shù).V,V 即對即對根據(jù) 獨一地對應(yīng)于 中一個數(shù) fF( ,) ,f 假設(shè)( ,)f

57、具有性質(zhì):11221122(1)( ,)( ,)( ,)fkkk fk f 11221122(2)(,)(,)(,)f kkk fk f 其中121212,V k kP 那么 稱為 上的一個雙線性函數(shù).( ,)f V 對于線性空間對于線性空間V 上的一個雙線性函數(shù)上的一個雙線性函數(shù)當(dāng)固定一個向量當(dāng)固定一個向量 (或或 )不變時，可以得出一不變時，可以得出一個線性函數(shù)個線性函數(shù).( ,)f 例例6. 線性空間線性空間 上的內(nèi)積即為一個雙線性函數(shù)上的內(nèi)積即為一個雙線性函數(shù). V:,( ,)( ,),f VVFfV 例例7. 上兩個線性函數(shù)上兩個線性函數(shù)V12,:,ffVF12:,( ,)( )(

58、)f VVFfff 定義證明: f 是V上的一個雙線性函數(shù). 1122121122( ,)( )()fkkffkk 1122( ,)( ,),k fk f 1122111222(,)()()f kkf kkf 11222(,)(,)k fk f 證：證： 例例8.設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上的上的 維線性空間，維線性空間，nFFn.n nAF 1122,nnxyxyXYVxy: fVVF令 那么 為 上的一個雙線性函數(shù).(,)f X YnF(,).TX YX AY(),ijn nAa 假設(shè)假設(shè) 11112121(,)nTnnnnnyaayf X YX AYxxxaay ,1nijiji ja x y

59、 那么那么 現(xiàn)實上，或是數(shù)域現(xiàn)實上，或是數(shù)域 上恣意上的上恣意上的 維線性維線性空間空間 上雙線性函數(shù)上雙線性函數(shù) 的普通方式的普通方式.FVn( ,)f 設(shè) 為數(shù)域 上線性空間V 的一組基，12,n F設(shè)121 12212()nnnnxxxxxx 12()nX 121 12212()nnnnyyyyyy 12()nY 那么11( ,)(,)(,),nniiiiijijijffxyfx x 1111nnnnaaAaa (,), ,1,2, ,ijijafi jn 令 1212( ,),nnyyfxxxAy 1111(,)(,).(,)(,)nnnnffAff 那么那么其中其中 設(shè)設(shè) 是數(shù)域是數(shù)域 上恣意上的上恣意上的 n 維線性維線性空間空間V上一個雙線性函數(shù)，上一個雙線性函數(shù)， 為為V的一組的一組基，那么矩陣基，那么矩陣( ,)f F12,n 111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)nnnnnnffffffAfff 稱為 在 下的度量矩陣.( ,)f 12,n 結(jié)論結(jié)論1 在給定基下在給定基下, 上全體雙線性函