ARMA--非平穩(wěn)序列的確定性分析

1、第七章非平穩(wěn)序列的確定性分析本章結(jié)構(gòu)n時(shí)間序列的分解n確定性因素分解n趨勢分析n季節(jié)效應(yīng)分析n綜合分析nX11過程4.1 時(shí)間序列的分解nWold分解定理nCramer分解定理Wold分解定理（1938）n對(duì)于任何一個(gè)離散平穩(wěn)過程 它都可以分解為兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)序列之和，其中一個(gè)為確定性的，另一個(gè)為隨機(jī)性的，不妨記作 其中： 為確定性序列， 為隨機(jī)序列， 它們需要滿足如下條件 （1） （2） （3）txtttVxtV t0jjtjt020, 1jj ), 0(2WNtstVEst , 0),(確定性序列與隨機(jī)序列的定義n對(duì)任意序列 而言，令 關(guān)于q期之前的序列值作線性回歸 其中 為回歸殘差序列

2、， 。 n確定性序列，若n隨機(jī)序列，若 tytytqtqttyyy1210t2)(qtVar2lim0qq)(lim2tqqyVarARMA模型分解ttBBx)()(確定性序列隨機(jī)序列Cramer分解定理（1961）n任何一個(gè)時(shí)間序列 都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項(xiàng)式?jīng)Q定的確定性趨勢成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即txtttx確定性影響隨機(jī)性影響taB)(djjjt0對(duì)兩個(gè)分解定理的理解nWold分解定理說明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機(jī)序列之和。它是現(xiàn)代時(shí)間序列分析理論的靈魂，是構(gòu)造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎(chǔ)。nCramer 分解定理是Wold分解定理

3、的理論推廣，它說明任何一個(gè)序列的波動(dòng)都可以視為同時(shí)受到了確定性影響和隨機(jī)性影響的綜合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機(jī)理就在于它所受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定的。 4.2確定性因素分解n傳統(tǒng)的因素分解n長期趨勢n循環(huán)波動(dòng)n季節(jié)性變化n隨機(jī)波動(dòng)n現(xiàn)在的因素分解n長期趨勢波動(dòng)n季節(jié)性變化n隨機(jī)波動(dòng)確定性時(shí)序分析的目的n克服其它因素的影響，單純測度出某一個(gè)確定性因素對(duì)序列的影響n推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關(guān)系及它們對(duì)序列的綜合影響). 4int. 3. 2. 1ISTersW剩余法（剔除直接法循環(huán)變動(dòng)分析法）溫特斯法（傅立葉法三角函數(shù)法法趨勢剔除

4、季節(jié)變動(dòng)分析季節(jié)變動(dòng)分析選點(diǎn)法三段求和法指數(shù)平滑法移動(dòng)平均法最小二乘法平均數(shù)法曲線趨勢變動(dòng)分析直線趨勢變動(dòng)分析趨勢變動(dòng)分析速度分析水平分析發(fā)展水平分析序法間方時(shí)析性分定列確計(jì)用于非線性模型參數(shù)估迭代法可變權(quán)數(shù)選點(diǎn)法固定權(quán)數(shù)選點(diǎn)法選點(diǎn)法曲線曲線如修正指數(shù)曲線曲線的模型參數(shù)主要用于估計(jì)一些增長三段求和法差分指數(shù)平法滑高次指數(shù)平滑法雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法單參數(shù)線性指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法二次移動(dòng)平均法一次移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法折扣最小二乘法普通最小二乘法最小二乘法分段平均法全列平均法平均數(shù)法isticGompertzHoltBrownyyyyiiitlog, , ,:min:min:22參數(shù)估

5、計(jì)方法法馬爾可夫分析法灰色預(yù)測法JenkinsBox隨機(jī)性時(shí)間序列分析方法4.3趨勢分析n目的n有些時(shí)間序列具有非常顯著的趨勢，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對(duì)序列的發(fā)展作出合理的預(yù)測 n常用方法n趨勢擬合法n平滑法趨勢擬合法n趨勢擬合法就是把時(shí)間作為自變量，相應(yīng)的序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時(shí)間變化的回歸模型的方法 n分類n線性擬合n非線性擬合線性擬合n使用場合n長期趨勢呈現(xiàn)出線形特征n模型結(jié)構(gòu))(, 0)(ttttIVarIEIbtax例4.1:擬合澳大利亞政府19811990年每季度的消費(fèi)支出序列 線性擬合n模型n參數(shù)估計(jì)方法n最小二乘估計(jì)n參數(shù)估計(jì)值2)

6、(, 0)(40,2 , 1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba擬合效果圖非線性擬合n使用場合n長期趨勢呈現(xiàn)出非線形特征 n參數(shù)估計(jì)指導(dǎo)思想n能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型，用線性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)n實(shí)在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 常用非線性模型模型變換變換后模型參數(shù)估計(jì)方法線性最小二乘估計(jì)線性最小二乘估計(jì)迭代法迭代法迭代法2ctbtaTtttabT ttbcaTtbcateTttbcaT122tt ttTTlnaalnbbln2ctbtaTttbaTt例4.2： 對(duì)上海證券交易所每月末上證指數(shù)序列進(jìn)行模型擬合 非線性擬合n模型n變換n參數(shù)估計(jì)

7、方法n線性最小二乘估計(jì)n擬合模型口徑2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTt擬合效果圖平滑法n平滑法是進(jìn)行趨勢分析和預(yù)測時(shí)常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，削弱短期隨機(jī)波動(dòng)對(duì)序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長期趨勢變化的規(guī)律 n常用平滑方法n移動(dòng)平均法n指數(shù)平滑法移動(dòng)平均法n基本思想n假定在一個(gè)比較短的時(shí)間間隔里，序列值之間的差異主要是由隨機(jī)波動(dòng)造成的。根據(jù)這種假定，我們可以用一定時(shí)間間隔內(nèi)的平均值作為某一期的估計(jì)值 n分類nn期中心移動(dòng)平均nn期移動(dòng)平均n期中心移動(dòng)平均為偶數(shù)，為奇數(shù)，nxxxxxnnxxxxxnxntnttntntntnttntntt)2121(

8、1)(12121222112112121tx2tx1tx1tx2tx52112ttttttxxxxxx5期中心移動(dòng)平均n期移動(dòng)平均tx1tx2tx3tx4tx51234ttttttxxxxxx)(111nttttxxxnx5期移動(dòng)平均移動(dòng)平均期數(shù)確定的原則n事件的發(fā)展有無周期性n以周期長度作為移動(dòng)平均的間隔長度 ，以消除周期效應(yīng)的影響n對(duì)趨勢平滑的要求n移動(dòng)平均的期數(shù)越多，擬合趨勢越平滑n對(duì)趨勢反映近期變化敏感程度的要求 n移動(dòng)平均的期數(shù)越少，擬合趨勢越敏感移動(dòng)平均預(yù)測)(121nlTlTlTlTxxxnxilxilxxilTilTilT,例4.3n某一觀察值序列最后4期的觀察值為：5，5.5

9、，5.8，6.2（1）使用4期移動(dòng)平均法預(yù)測 。（2）求在二期預(yù)測值 中 前面的系數(shù)等于多少？2Tx2TxTx例4.3解（1）（2） 在二期預(yù)測值中 前面的系數(shù)等于 45. 548 . 54 . 556 . 5416 . 542 . 68 . 54 . 554121123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx165指數(shù)平滑法n指數(shù)平滑方法的基本思想n在實(shí)際生活中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)大多數(shù)隨機(jī)事件而言，一般都是近期的結(jié)果對(duì)現(xiàn)在的影響會(huì)大些，遠(yuǎn)期的結(jié)果對(duì)現(xiàn)在的影響會(huì)小些。為了更好地

10、反映這種影響作用，我們將考慮到時(shí)間間隔對(duì)事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨時(shí)間間隔的增大而呈指數(shù)衰減。這就是指數(shù)平滑法的基本思想 n分類n簡單指數(shù)平滑nHolt兩參數(shù)指數(shù)平滑簡單指數(shù)平滑n基本公式n等價(jià)公式221)1 ()1 (ttttxxxx1)1 (tttxxx經(jīng)驗(yàn)確定n初始值的確定n平滑系數(shù)的確定n一般對(duì)于變化緩慢的序列， 常取較小的值n對(duì)于變化迅速的序列， 常取較大的值n經(jīng)驗(yàn)表明 的值介于0.05至0.3之間，修勻效果比較好。10 xx 簡單指數(shù)平滑預(yù)測n一期預(yù)測值n二期預(yù)測值n 期預(yù)測值l2211)1 ()1 (TTTTTxxxxx1111212)1 ()1 ()1 (TTTTTTTxxxx

11、xxx2,1lxxTlT例4.4n對(duì)某一觀察值序列 使用指數(shù)平滑法。 已知 ， ，平滑系數(shù) (1) 求二期預(yù)測值 。 (2)求在二期預(yù)測值 中 前面的系數(shù)等于多少？ tx10Tx5 .101Tx25. 02Tx2TxTx例4.4解（1）（2） 所以使用簡單指數(shù)平滑法二期預(yù)測值中 前面的系數(shù)就等于平滑系數(shù)3 .103 .1075. 025. 01211TTTTTTxxxxxx112)1 (TTTTxxxxTx25. 0Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑n使用場合n適用于對(duì)含有線性趨勢的序列進(jìn)行修勻 n構(gòu)造思想n假定序列有一個(gè)比較固定的線性趨勢 n兩參數(shù)修勻rxxtt11111)1 ()()(1 (ttttt

12、tttrxxrrxxx初始值的確定n平滑序列的初始值n趨勢序列的初始值10 xx nxxrn110Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測n 期預(yù)測值lTTlTrlxx例4.5n對(duì)北京市19782000年報(bào)紙發(fā)行量序列進(jìn)行Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑。指定5125910 xx4325231230 xxr15. 01 . 0例4.5平滑效果圖4.3 季節(jié)效應(yīng)分析【例4.6】以北京市1995年2000年月平均氣溫序列為例，介紹季節(jié)效應(yīng)分析的基本思想和具體操作步驟。 時(shí)序圖季節(jié)指數(shù)n季節(jié)指數(shù)的概念n所謂季節(jié)指數(shù)就是用簡單平均法計(jì)算的周期內(nèi)各時(shí)期季節(jié)性影響的相對(duì)數(shù) n季節(jié)模型ijjijISxx季節(jié)指數(shù)的計(jì)算n計(jì)算周期內(nèi)各

13、期平均數(shù)n計(jì)算總平均數(shù)n計(jì)算季節(jié)指數(shù)mknxxniikk, 2 , 1,1nmxxnimkik11mkxxSkk, 2 , 1,季節(jié)指數(shù)的理解n季節(jié)指數(shù)反映了該季度與總平均值之間的一種比較穩(wěn)定的關(guān)系n如果這個(gè)比值大于1，就說明該季度的值常常會(huì)高于總平均值n如果這個(gè)比值小于1，就說明該季度的值常常低于總平均值n如果序列的季節(jié)指數(shù)都近似等于1，那就說明該序列沒有明顯的季節(jié)效應(yīng) 例4.6季節(jié)指數(shù)的計(jì)算例4.6季節(jié)指數(shù)圖綜合分析n常用綜合分析模型n加法模型n乘法模型n混合模型ttttISTxttttISTx)()ttttttttITSxbITSxa例4.7n對(duì)1993年2000年中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額

14、序列（數(shù)據(jù)見附錄1.11）進(jìn)行確定性時(shí)序分析。(1)繪制時(shí)序圖(2)選擇擬合模型n長期遞增趨勢和以年為固定周期的季節(jié)波動(dòng)同時(shí)作用于該序列，因而嘗試使用混合模型（b）擬合該序列的發(fā)展)(ttttITSx(3)計(jì)算季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季節(jié)指數(shù)圖季節(jié)調(diào)整后的序列圖ttttITSx(4)擬合長期趨勢tTt93178.20522.1015(5)殘差檢驗(yàn)ttttITSx(6)短期預(yù)測 ( )tt lt lx lSTX-11過程n簡介nX-11過程是美國國情調(diào)查局編制的時(shí)間序列季節(jié)調(diào)整過程。它的基本原理就是時(shí)間