第2章-單樣本問(wèn)題2013解析

1、1第二章第二章 單樣本問(wèn)題單樣本問(wèn)題2主要內(nèi)容主要內(nèi)容 2.1 廣義符號(hào)檢驗(yàn)（廣義符號(hào)檢驗(yàn)（SIGN TEST） 及及 有關(guān)的置信區(qū)間有關(guān)的置信區(qū)間 2.2 Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)符號(hào)秩檢驗(yàn)，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì) 2.3 正態(tài)記分檢驗(yàn)正態(tài)記分檢驗(yàn) 2.4 Cox-Stuart 趨勢(shì)檢驗(yàn)趨勢(shì)檢驗(yàn) 2.5 關(guān)于隨機(jī)性的游程檢驗(yàn)關(guān)于隨機(jī)性的游程檢驗(yàn)3總體總體X，iid樣本樣本X1 , X2, , Xn，若若XN(. , .), 對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：0010H :H : 中心：中心：EX= ,VarX= 2未知，未知，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0HXtnt(n 1)s真

2、前面的學(xué)習(xí)已知，在正態(tài)前提下前面的學(xué)習(xí)已知，在正態(tài)前提下t分布效率最高，分布效率最高，但但t檢驗(yàn)并檢驗(yàn)并不穩(wěn)?。ǜ淖冋龖B(tài)前提時(shí)，效率變低，結(jié)果不準(zhǔn)不穩(wěn)?。ǜ淖冋龖B(tài)前提時(shí)，效率變低，結(jié)果不準(zhǔn)確確),在不知總體分布時(shí)，特別是小樣本時(shí)，應(yīng)用在不知總體分布時(shí)，特別是小樣本時(shí)，應(yīng)用t檢驗(yàn)就可檢驗(yàn)就可能有風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)就要考慮使用非參數(shù)方法。能有風(fēng)險(xiǎn)。這時(shí)就要考慮使用非參數(shù)方法。說(shuō)明：說(shuō)明：如果在基本前提變?nèi)鯐r(shí)，還可保持其效率，則為如果在基本前提變?nèi)鯐r(shí)，還可保持其效率，則為穩(wěn)健穩(wěn)健.有時(shí)，有時(shí)，EX不存在，但中位數(shù)總是存在的，中位數(shù)可以作為描述不存在，但中位數(shù)總是存在的，中位數(shù)可以作為描述中心位置的參數(shù)中心位

3、置的參數(shù).即即 中位數(shù)中位數(shù)中心位置的參數(shù)中心位置的參數(shù).本章工作：用非參數(shù)方法進(jìn)行本章工作：用非參數(shù)方法進(jìn)行 1.分布中心位置的參數(shù)的檢驗(yàn)、估計(jì)分布中心位置的參數(shù)的檢驗(yàn)、估計(jì). 2.樣本趨勢(shì)檢驗(yàn)樣本趨勢(shì)檢驗(yàn). 3.樣本隨機(jī)性檢驗(yàn)樣本隨機(jī)性檢驗(yàn).非參數(shù)方法往往非參數(shù)方法往往簡(jiǎn)單實(shí)用，更穩(wěn)健簡(jiǎn)單實(shí)用，更穩(wěn)健. 42.1 廣義符號(hào)檢驗(yàn)（廣義符號(hào)檢驗(yàn)（SIGN TEST） 及有關(guān)的置信區(qū)間及有關(guān)的置信區(qū)間5定義定義(總體中位數(shù)總體中位數(shù))：設(shè)：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量，M(或或Me)是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù).滿足：滿足：11(),()22P XMP XM則稱則稱M是一個(gè)中位數(shù)是一個(gè)中位數(shù)(總體

4、中位數(shù)總體中位數(shù))注意注意1：中位數(shù)恒存在：中位數(shù)恒存在.注意注意2：中位數(shù)未必唯一：中位數(shù)未必唯一.例例1： X 1 2 3 4 5P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.21(3)21(3)2P XP X所以所以3是一個(gè)是一個(gè)中位數(shù)中位數(shù)唯一唯一.例例2： X 1 2 3 4 5 6 7P11(),()22P XMP XM 任取任取M 2,31111111 36121212126所以所以M是一個(gè)中位數(shù)是一個(gè)中位數(shù)無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多個(gè)6注意注意3：對(duì)連續(xù)分布，使：對(duì)連續(xù)分布，使1()( )2MF Mf x dx 則稱則稱M是一個(gè)中位數(shù)是一個(gè)中位數(shù)(總體中位數(shù)總體中位數(shù))注意注意4：對(duì)于對(duì)稱分布，

5、則：對(duì)于對(duì)稱分布，則M即分布中心即分布中心.位置參數(shù)位置參數(shù).的的M即是一個(gè)中位點(diǎn)即是一個(gè)中位點(diǎn)(中位數(shù)中位數(shù))定義定義(總體總體 分分位數(shù)位數(shù))：設(shè)：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是一個(gè)隨機(jī)變量， 是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù).滿足：滿足：(),()1P XP X則稱則稱 是是X的一個(gè)的一個(gè) 分分位數(shù)位數(shù)(總體總體 分分位數(shù)位數(shù))7一、廣義符號(hào)檢驗(yàn)一、廣義符號(hào)檢驗(yàn)總體連續(xù)，總體連續(xù)， 分分位數(shù)是位數(shù)是 ， iid樣本樣本X1 , X2, , Xn 0010H :qH :q 0q 已知1. () , ()1iiP XP X對(duì)線性符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量：對(duì)線性符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量：01() ()nnniiiSaRI Xq 0011

6、 ()(0)nniiiiSI XqI Xq 符符號(hào)號(hào)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量=大于大于q0 的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)=正號(hào)的個(gè)數(shù)正號(hào)的個(gè)數(shù)0011 ()(0)nniiiiSI XqI Xq =小于小于q0 的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)=負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)( )1, nai 時(shí)時(shí) 記記當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，(1)SSnnSSnn 應(yīng)應(yīng)在在 附附近近，即即應(yīng)應(yīng)在在附附近近應(yīng)應(yīng)在在1-1- 附附近近，即即應(yīng)應(yīng)在在附附近近80010H :qH :q 0q 已知當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，(1)SSnnSSnn 應(yīng)應(yīng)在在 附附近近，即即應(yīng)應(yīng)在在附附近近應(yīng)應(yīng)在在1-1- 附附近近，即即應(yīng)應(yīng)在在附附近近當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，(1)SSnnSSn

7、n 應(yīng)應(yīng)比比 偏偏小小，即即比比偏偏小小應(yīng)應(yīng)比比1-1- 偏偏大大，即即應(yīng)應(yīng)比比偏偏大大q0 1- (1)HSnSn 0 0故故若若取取值值比比偏偏小小，比比偏偏大大時(shí)時(shí)，懷懷疑疑() ()sSsS設(shè)設(shè)的的觀觀察察值值 或或?qū)崒?shí)現(xiàn)現(xiàn)值值的的觀觀察察值值 或或?qū)崒?shí)現(xiàn)現(xiàn)值值nss + +() () pP SspP SsHp0 0當(dāng)當(dāng) 小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕00() , ()1iiP XqP Xq當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，0:iAXqSnA 成成功功，則則可可視視為為 重重貝貝努努里里試試驗(yàn)驗(yàn)中中 發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)( , ) , ( ,1)SB nSB n 故故同同理理90010H :qH :q 0q

8、 已知(1)HSnSn 0 0故故若若取取值值比比偏偏小小，比比偏偏大大時(shí)時(shí)，懷懷疑疑() () pP SspP Ss，Hp0 0當(dāng)當(dāng) 小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕, ( , ), ()KSKB npP Ks 取取則則當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，( , ) , ( ,1)SB nSB n 0()(1)siin inipP SsC 0 () =(1)(1)niin in kn kknni sk n spP SsCkniC 令令0 (1)() sn kkkkn knnnkCCssnCP Ss = =且且Hp0 0當(dāng)當(dāng) 過(guò)過(guò)小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕100010H :qH :q 0q 已知當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，(1)S

9、SnnSSnn 應(yīng)應(yīng)在在 附附近近，即即應(yīng)應(yīng)在在附附近近應(yīng)應(yīng)在在1-1- 附附近近，即即應(yīng)應(yīng)在在附附近近當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，(1)SSnnSSnn 應(yīng)應(yīng)比比 偏偏大大，即即比比偏偏大大應(yīng)應(yīng)比比1-1- 偏偏小小，即即應(yīng)應(yīng)比比偏偏小小q0 1- (1)HSnSn 0 0故故若若取取值值比比偏偏大大，比比偏偏小小時(shí)時(shí)，懷懷疑疑2. , ( , ), 1(1)KSKB npP Ks 取取則則()1()1(1)pP SsP SsP SsHp0 0當(dāng)當(dāng) 過(guò)過(guò)小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕()P Ks 110010H :qH :q 0q 已知當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，(1)SSnnSSnn 應(yīng)應(yīng)在在 附附近近，即即

10、應(yīng)應(yīng)在在附附近近應(yīng)應(yīng)在在1-1- 附附近近，即即應(yīng)應(yīng)在在附附近近當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，(1)(1)SnSnSnSn 比比偏偏大大時(shí)時(shí)，比比偏偏小小比比偏偏小小時(shí)時(shí)，比比偏偏大大3. , ( , )KSKB n 取取則則2min (), 1(1)pP KsP KsHp0 0當(dāng)當(dāng) 過(guò)過(guò)小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕說(shuō)明：說(shuō)明：1.在所有樣本點(diǎn)都不等于在所有樣本點(diǎn)都不等于q0時(shí)，時(shí)，n就等于樣本容量。就等于樣本容量。2.如果有些樣本點(diǎn)等于如果有些樣本點(diǎn)等于q0，那么這些樣本點(diǎn)就不參加統(tǒng)計(jì)，那么這些樣本點(diǎn)就不參加統(tǒng)計(jì)推斷（因?yàn)樗鼈儗?duì)判斷分位點(diǎn)在哪里不起作用），應(yīng)該把推斷（因?yàn)樗鼈儗?duì)判斷分位點(diǎn)在哪里不起作用），應(yīng)

11、該把它們從樣本中除去，這時(shí)，它們從樣本中除去，這時(shí)，n就小于樣本量了。就小于樣本量了。3.對(duì)于連續(xù)變量，樣本點(diǎn)等于對(duì)于連續(xù)變量，樣本點(diǎn)等于q0的可能很小。的可能很小。23頁(yè)表格頁(yè)表格12特別，特別， =0.5時(shí)，時(shí)， =M e ，這時(shí)，這時(shí)0M 已知1. 當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，122SSnSSnn、均均應(yīng)應(yīng)在在附附近近，即即、均均應(yīng)應(yīng)在在附附近近0010:eeHMMHMM 當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，22nnSS比比偏偏小小，比比偏偏大大min, ()ksspP Kk 取取01111 () =( ) ( )=( ) ( )2222nniin ininn knnni si sk n spP SsC

12、CkniC 令令01 ( )2sn kknknnnkCCssnC = =且且Hp0 0當(dāng)當(dāng) 過(guò)過(guò)小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕00111() =( ) ( )=( )222ssiin ininniiP SsCC 1( , )2KB nM0 Me2121()() P SsP Ssk對(duì)稱kkkn () = () = ()()s d spP SkP nSnkP SkP Sk 130M 已知2. 當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，122SSnSSnn、均均應(yīng)應(yīng)在在附附近近，即即、均均應(yīng)應(yīng)在在附附近近0010:eeHMMHMM 當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，SS、總總有有一一個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)大大，一一個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)小小 2 ()pP Kk Hp

13、0 0當(dāng)當(dāng) 過(guò)過(guò)小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕M0 Me2121同上同上.0M 已知3. 0010:eeHMMHMM 23頁(yè)表格頁(yè)表格1400.2510.25H :64H :64ss=28,=43=28,=40515H64H64.0101故故時(shí)時(shí), ,拒拒絕絕：，認(rèn)認(rèn)為為：成成立立P25例例1. 解：解： (71,0.25)KB1(1)1(281)1(27)0.00515pP KsP KP K 01H :M 64H :M 64ss=28,=43=28,=43P25例例1. 解：解： (71,0.5)KB()(28)0.04796pP KkP K 0.04796H64H64.MM 0

14、101故故時(shí)時(shí), ,拒拒絕絕：，認(rèn)認(rèn)為為：成成立立min ,28ks s n比較小時(shí)，可用二項(xiàng)分布的公式計(jì)算精確概率，比較小時(shí)，可用二項(xiàng)分布的公式計(jì)算精確概率，但當(dāng)?shù)?dāng)n較大時(shí)，精確計(jì)算概率太麻煩，所以在大樣本時(shí)做近似計(jì)算較大時(shí)，精確計(jì)算概率太麻煩，所以在大樣本時(shí)做近似計(jì)算. =0.01=0.0515H0真即真即 (0,1)(1)nKEKKnZNVarKn 充充分分大大1(2.67)10.99620.0038p 連續(xù)性修正：連續(xù)性修正： 3. 大樣本近似大樣本近似. ( , )KB n 時(shí)時(shí)H0真：真： 0.5(0,1)(1)nKnZNn 充充分分大大( )1( )KnpzKnpz 值值 值值

15、1280.5714P252.12.67137144 例例與精確概率與精確概率0.00515相比，相比，誤差較小誤差較小.16nn22(0,1)nn /24nKKZN充充分分大大 =0.5時(shí)，時(shí)， 11( ) ( )1 22nnnninESaiai : , KSS 211var()( ) ( )1 44nnnninSa ia i P17： 1 ( , ), , 224nnKB nEKVarK 或或因?yàn)橐驗(yàn)镹(0,1)為連續(xù)分布，為連續(xù)分布， B(n,0.5)為離散分布，為離散分布，所以進(jìn)行連續(xù)性修正所以進(jìn)行連續(xù)性修正.n0.52n4KZ 22nKnK 1280.5712P252.11.6671/

16、2 例例( 1.66)1(1.66)10.95150.0485p 與精確概率與精確概率0.04796相比，誤差較小，更方便相比，誤差較小，更方便.有時(shí)，用不用連續(xù)性修正，對(duì)結(jié)果影響不大有時(shí)，用不用連續(xù)性修正，對(duì)結(jié)果影響不大.17二、基于符號(hào)檢驗(yàn)的中位數(shù)置信區(qū)間二、基于符號(hào)檢驗(yàn)的中位數(shù)置信區(qū)間參數(shù)中：參數(shù)中：T1= T1(X1 , X2, , Xn), T2= T2(X1 , X2, , Xn), 12()1P TT1( ;,)1nP cSXXkS樞軸變量樞軸變量非參數(shù)中：非參數(shù)中：(1)(2)( )( )( )ijnXXXMXX 1( )2( )( )( ), ijijTXTXP XMX (

17、)1( )P AP A 利利用用計(jì)計(jì)算算( )( ),ijXXM有有時(shí)時(shí)，( () )可可能能不不含含. .M （ ）( ) iX( ) jX（ ）( ) iX( ) jXM ( )( )( )( ) 1ijijP XMXP XMP XM 1-P nMiP nMn j 個(gè)個(gè)觀觀察察值值中中小小于于 的的少少于于個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)觀觀察察值值中中大大于于 的的不不多多于于個(gè)個(gè)（）( ) iX( ) jXM 1- P SiP Sn j 11P SiP Sj SSn 1P iSj ii-1 j-1 j 111111=( ) (1)=222jjjkkn kknnnk ik ik iP SkCC ( ) iX(

18、) jX對(duì)對(duì)(X(i) ,X(j)而言，前面有而言，前面有i個(gè)觀察值，后面有個(gè)觀察值，后面有n-j+1個(gè)個(gè)觀察值，觀察值，i n-j+1時(shí)，區(qū)間時(shí)，區(qū)間(X(i) ,X(j)關(guān)于關(guān)于M非對(duì)稱非對(duì)稱.18考慮對(duì)稱區(qū)間考慮對(duì)稱區(qū)間(X(k) ,X(n-k+1),k=1,2, , 212nnnn 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)(1)X(3)X(2)X(4)X(5)X(6)X偶數(shù)個(gè)偶數(shù)個(gè)如如(1)632 k=1,2,3.k=1時(shí)時(shí):(X(1) ,X(6)k=2時(shí)時(shí):(X(2) ,X(5)k=3時(shí)時(shí):(X(3) ,X(4)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)個(gè)如如(2)7132 k=1,2,3.k=1時(shí)時(shí):(X(1) ,X(7)k=2

19、時(shí)時(shí):(X(2) ,X(6)k=3時(shí)時(shí):(X(3) ,X(5)11max 1 (k=12n 時(shí)時(shí)）( )(1) kn kP XM X (1)X(3)X(2)X(4)X(5)X(6)X(7)X11100111 2 1 1 2122kkhhnnnnhhP SkCC ,1 111ik jn kP SkP Sn k ( )kX(1)kX ()n kX (1)n kX 01( , )2HSB n 對(duì)稱 這時(shí)置信區(qū)間最大，是這時(shí)置信區(qū)間最大，是(X(1) ,X(n),k=1.P31.例例2.2)19在求置信區(qū)間時(shí)，人們既希望置信度大，又希望置信區(qū)間小在求置信區(qū)間時(shí)，人們既希望置信度大，又希望置信區(qū)間小.對(duì)

20、稱區(qū)間：對(duì)稱區(qū)間：在本例中，可以選擇在本例中，可以選擇k=6,即即22個(gè)企業(yè)的納稅額的中個(gè)企業(yè)的納稅額的中位數(shù)的置信度為位數(shù)的置信度為98.3%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(X(6) ,X(17)=(2.10,6.10).非對(duì)稱區(qū)間：非對(duì)稱區(qū)間： 如果不強(qiáng)求對(duì)稱性，可能會(huì)得到置信度相同的如果不強(qiáng)求對(duì)稱性，可能會(huì)得到置信度相同的寬度更窄的區(qū)間寬度更窄的區(qū)間.2| 1P ZZ 對(duì)對(duì)(X(k) ,X(n-k+1)中的中的k，n充分大時(shí)充分大時(shí):大樣本近似：大樣本近似：0n0.52(0,1)n /2HKZN 真真22n0.52 1n/2KP ZZ 22nnnn0.50.5 12222PZKZ 12nn0.

21、522KZ 取取2012nn0.522KZ 取取如在例如在例2.1中，如果中，如果 =0.05，查表得，查表得0.02521.96,ZZ 而而n=71有有171710.5 1.96 26.742622K 取中位數(shù)取中位數(shù)M的的95%的置信區(qū)間在第的置信區(qū)間在第26個(gè)和第個(gè)和第(71-26+1=)46個(gè)個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量之間，即順序統(tǒng)計(jì)量之間，即(X(26) ,X(46)=(60.8,77.9).也就是說(shuō)：正態(tài)近似也就是說(shuō)：正態(tài)近似的世界大城市的花費(fèi)指數(shù)的中心位置的世界大城市的花費(fèi)指數(shù)的中心位置的置信度為的置信度為95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(60.8,77.9).若利用二項(xiàng)分布進(jìn)行精確計(jì)算若利用二

22、項(xiàng)分布進(jìn)行精確計(jì)算，則得到置信度為，則得到置信度為0.9680728的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為(X(27) ,X(45)=(62.7,77.7).作業(yè)作業(yè)211. 僅使用了僅使用了Xi-M0的符號(hào)，未使用的符號(hào)，未使用|Xi-M0|的大小的大小2. 當(dāng)總體分布為連續(xù)、對(duì)稱時(shí)，這一信息未被利用，這導(dǎo)致當(dāng)總體分布為連續(xù)、對(duì)稱時(shí)，這一信息未被利用，這導(dǎo)致 符號(hào)檢驗(yàn)的效率不高符號(hào)檢驗(yàn)的效率不高.當(dāng)總體分布為連續(xù)、對(duì)稱時(shí)，比符號(hào)檢驗(yàn)效率更高的檢驗(yàn)當(dāng)總體分布為連續(xù)、對(duì)稱時(shí)，比符號(hào)檢驗(yàn)效率更高的檢驗(yàn)Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)符號(hào)秩檢驗(yàn) .Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)符號(hào)秩檢驗(yàn) 將各觀察值距離中心的遠(yuǎn)近位置考慮進(jìn)

23、去了，將各觀察值距離中心的遠(yuǎn)近位置考慮進(jìn)去了，所以比符號(hào)檢驗(yàn)更有效所以比符號(hào)檢驗(yàn)更有效.符號(hào)檢驗(yàn)的局限性：符號(hào)檢驗(yàn)的局限性：222.2 Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)，符號(hào)秩檢驗(yàn)，點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)23對(duì)稱分布對(duì)稱分布： 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(x),x (- ,+), 若對(duì)任意若對(duì)任意x (- ,+)，F(xiàn)(-x)=1F(x)成立，成立， 則稱則稱F(x)關(guān)于關(guān)于0對(duì)稱對(duì)稱,也稱也稱X關(guān)于關(guān)于0分布對(duì)稱分布對(duì)稱. 定義定義：設(shè)：設(shè)X是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若X- 關(guān)于關(guān)于0分布對(duì)稱分布對(duì)稱 則稱則稱F(x) (或或X)關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱. F(x+

24、 )=1F(x - ).注意：連續(xù)、對(duì)稱的總體分布的對(duì)稱點(diǎn)是中位數(shù)，注意：連續(xù)、對(duì)稱的總體分布的對(duì)稱點(diǎn)是中位數(shù)， 等于均值，只有唯一一個(gè)等于均值，只有唯一一個(gè).前提：總體具有連續(xù)、對(duì)稱分布前提：總體具有連續(xù)、對(duì)稱分布0.524一、一、Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)符號(hào)秩檢驗(yàn) 0010H :M MH :MM1. Wilcoxon符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量01 (0)niiiWR I XM Wilcoxon符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量01 (0)niiiWR I XM 若若H0 ：M=M0不真，不真，00,MMWWMMWW 假假設(shè)設(shè)這這時(shí)時(shí)大大，小小 這這時(shí)時(shí)小小，大大010200| |iinRXMXMXM

25、XM 在在、 、中中的的秩秩若若H0：M=M0為真，為真，WW與與應(yīng)應(yīng)接接近近M0 MMM00WWH、過(guò)過(guò)大大或或過(guò)過(guò)小小時(shí)時(shí)拒拒絕絕(1)(1)012 , 022(1)2n nn nWnWn nWW 0min(,),WWWWH 小小時(shí)時(shí)拒拒絕絕250010H :M MH :M M當(dāng)當(dāng)H1 ：MM0為真時(shí)，為真時(shí)，當(dāng)當(dāng)H0：M M0為真時(shí)，為真時(shí)，W 取取值值較較大大0WH 取取值值很很小小時(shí)時(shí)拒拒絕絕W 取取值值偏偏小小P34 P34 例例2.32.338頁(yè)表格頁(yè)表格26定義定義：設(shè)：設(shè)X為一為一隨機(jī)變量，若對(duì)某一對(duì)稱區(qū)間隨機(jī)變量，若對(duì)某一對(duì)稱區(qū)間(-h,h)(h0)內(nèi)的任意內(nèi)的任意t，et

26、X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(etX )存在存在(即即E|etX |0)，都有，都有M MX X( () )= M MY Y( () )，則，則X,Y具具有相同的分布有相同的分布推論推論：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X1 ,X2 ,Xn互相互相獨(dú)立，則獨(dú)立，則11( )( )nkkknXXkMM 28(1)1 22n nW 可可取取值值0 0, ,， ，(1)20( )()n ntWtkkWkMtE eep 0 (0) iiR I XM iR 0 (0)jDjI XM, ij X jDX X1 X2 X3 X4 1 3 6 2|Xi| 1 3 6 2Ri+ 1 3 4 2001 (0)1 (0)02jj

27、DDP I XMP I XM當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)為真時(shí)12341,4,2,3DDDD 00 (0) 0 1 (0)111( )()(1)222DjDjt jI XMt jt jt jjI XMMtE eeee 1,2,jn 0(0)jDI XM隨隨機(jī)機(jī)變變量量1,2,jn 為獨(dú)立隨機(jī)變量之和為獨(dú)立隨機(jī)變量之和0011 (0) =(0)jnniiDijWR I XMjI XM相互獨(dú)立相互獨(dú)立290 (0)11111( )( )(1)(1)22Djnnnt jt jjI XMnWjjjMtMtee (1)2201(1)2(1)(1)(1)n nnn nxxxbb xbx (1)22012(1)2n nt

28、ttn naa ea eae (1)22012(1)21()2n ntttn nnbb eb ebe (1)(1)222012(1)02( )()n nn nttWtkttkn nWkMtE eeppp ep epe kkpa (1)0,1 22n nk ， ，（惟一性定理）（惟一性定理）：若隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量X,Y的的矩母函數(shù)矩母函數(shù)MX(t)和和MY(t)都都存在存在，且對(duì)任意，且對(duì)任意t(-h,h)(h0)，都有，都有MX(t)= MY(t)，則則X,Y具有相同的分布具有相同的分布.30P35 P35 例：（從表格上一段開(kāi)始，例：（從表格上一段開(kāi)始，表格表格表格下一段）表格下一段）知道

29、了分布就可以相應(yīng)地求出知道了分布就可以相應(yīng)地求出p值，從而得到檢驗(yàn)的拒絕域值，從而得到檢驗(yàn)的拒絕域.當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，可用正態(tài)近似：很大時(shí)，可用正態(tài)近似：當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)為真時(shí)WW d d= =均為對(duì)稱分布均為對(duì)稱分布.01 (0)niiiWR I XM 11111(1)( ) =(12)()2224nnnniin nESaiinEW 2222211111(1)(21)var()( ) = (12)=()44424nnnniin nnSa iinVarW 1() (0)nnniiiSaRI X ( ),naii 則則1(0)niiiR I XW n(n+1)4(0,1)n(n+1)(2n+1)24n

30、WZN 充充分分大大當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)為真時(shí)()pP Ww ()( )pP Zzz P36 P36 例例31Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)為什么要求總體分布連續(xù)、對(duì)稱呢？符號(hào)秩檢驗(yàn)為什么要求總體分布連續(xù)、對(duì)稱呢？0 (0) iiR I XM R=(R1 , R2,Rn) ，R分布與總體分布分布與總體分布F(x)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)1,2,in 的分布一般與總體分布的分布一般與總體分布F(x)有關(guān)有關(guān)當(dāng)當(dāng)F(x)連續(xù)、對(duì)稱時(shí)連續(xù)、對(duì)稱時(shí)，此時(shí)可證：，此時(shí)可證：0(0) iiI XMX與與獨(dú)獨(dú)立立 iiRX 而而僅僅依依賴賴于于012, (0) 1,2,inI XMinRRR即即. .與與獨(dú)獨(dú)立立0 (0) iiR

31、I XM 所所以以1,2,in 的分布的分布與總體分布與總體分布F(x)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). W 的的分分布布 P()Wk 1( )2nnCk( )1,2, nCkkn其其中中是是和和數(shù)數(shù)恰恰為為 的的的的子子集集的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù). .32二、基于二、基于Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間符號(hào)秩檢驗(yàn)的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間 對(duì)樣本對(duì)樣本X1 , X2, , Xn做做walsh平均可以利用更多的樣本信息：平均可以利用更多的樣本信息：對(duì)樣本對(duì)樣本X1 , X2, , Xn做做walsh平均后，樣本容量擴(kuò)大了，成為平均后，樣本容量擴(kuò)大了，成為2ijXXwalshijn 平平均均：，1 12(1)2nn nnC

32、 個(gè)個(gè)自身平均的個(gè)數(shù)任取兩個(gè)做平均的個(gè)數(shù)0010H :H : , 總體的對(duì)稱中心為總體的對(duì)稱中心為 00()#2ijXXWijn ，1 1(1)2n n 可可用用這這個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)做做檢檢驗(yàn)驗(yàn)：這時(shí)統(tǒng)計(jì)量為這時(shí)統(tǒng)計(jì)量為基于樣本基于樣本X1 , X2, , Xn的的 Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量符號(hào)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量下頁(yè)證明下頁(yè)證明33 設(shè)樣本設(shè)樣本X1 , X2, , Xn iid ，總體分布關(guān)于，總體分布關(guān)于0 對(duì)稱對(duì)稱.即：即：W+是是walsh平均值中符號(hào)為正的個(gè)數(shù)平均值中符號(hào)為正的個(gè)數(shù).#02ijXXWijn ，1 1說(shuō)明：如果說(shuō)明：如果X1 , X2, , Xn iid,總體分布關(guān)于總體

33、分布關(guān)于 0 對(duì)稱，這時(shí)對(duì)稱，這時(shí)定理定理：Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量符號(hào)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W+可以表示為可以表示為證明證明：記：記Xi1 , Xi2, , Xip 為為p個(gè)正的樣本點(diǎn)，個(gè)正的樣本點(diǎn)， 以原點(diǎn)為中心，以原點(diǎn)為中心， Xi1為半徑，畫閉區(qū)間為半徑，畫閉區(qū)間 I1 =Xi1 ,Xi1 , Xi1絕對(duì)值的秩絕對(duì)值的秩Ri+ 等于在閉區(qū)間等于在閉區(qū)間 I1中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù). 注意到：注意到： I1中的樣本點(diǎn)和中的樣本點(diǎn)和Xi1 構(gòu)成的平均值都大于構(gòu)成的平均值都大于0. 將這個(gè)過(guò)程對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)重復(fù)一遍，就得到了所有的秩和，將這個(gè)過(guò)程對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)重復(fù)一遍，就得到了所有的

34、秩和， 這些秩和恰好為這些秩和恰好為walsh平均值中大于平均值中大于0的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù).00()#2ijXXWijn ，1 134 X1 X2 X3 X4 1 4 7 5 Xi M0 : 1 6 5 3|Xi M0 | : 1 6 5 3 Ri+ : 1 4 3 2如如M0=2W+ =3+2=5 2walsh平均：平均： 2ijXXij ，：1 4 7 5 4 3 6 32 12324 1 3 4 5 6 7 32 1232升冪排列：升冪排列：5個(gè)，個(gè)，W+ =500()#2ijXXWMMijn ，1 1M0=22352ijXXmedianijn ，1 1對(duì)稱中心對(duì)稱中心 可用可用walsh平均

35、值的平均值的中位數(shù)估計(jì)，中位數(shù)估計(jì)，稱為稱為L(zhǎng)H估計(jì)估計(jì)將將 個(gè)個(gè)walsh平均值按升冪排列，設(shè)為：平均值按升冪排列，設(shè)為：點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)(1)2n n (1)(2)()(1) , 2Nn nWWWN 則則 的的(1 ) 置信區(qū)間為：置信區(qū)間為： W( k+1 ) ,W( N-k）)(1)()(1)() 1kN kkN kP WWP WP W 111P WkP WkP WkP WNk112 P WkP WkP Wk1 WWN W 對(duì)對(duì)稱稱分分布布P40 P40 例例36區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)則則 的的(1 )=0.95的的 置信區(qū)間為：置信區(qū)間為： W( k+1 ) ,W( N-k)

36、)= W( 10 ) ,W( 46) )=8.02,12.73)P40 P40 例例, ,在在P34P34例例2.32.3中，中，n=10walsh平均值平均值(1)2n n = =5 55 5個(gè)個(gè)1 =0.95 , =0.052 = =0 0. .0 02 25 50.025P Wk 查表得查表得k=9N-k=55-9=46作業(yè)作業(yè)372.3 正態(tài)記分檢驗(yàn)正態(tài)記分檢驗(yàn)38 秩本身在沒(méi)有結(jié)時(shí)是有窮個(gè)自然數(shù)的排列，當(dāng)秩本身在沒(méi)有結(jié)時(shí)是有窮個(gè)自然數(shù)的排列，當(dāng)H0為真時(shí)為真時(shí)它的分布是均勻分布。自然我們會(huì)想到用其他分布的樣本體現(xiàn)它的分布是均勻分布。自然我們會(huì)想到用其他分布的樣本體現(xiàn)來(lái)代替秩。如用正態(tài)

37、分布。來(lái)代替秩。如用正態(tài)分布。正態(tài)記分檢驗(yàn)的基本思想就是：首先將升冪排列的秩正態(tài)記分檢驗(yàn)的基本思想就是：首先將升冪排列的秩Ri 用升冪用升冪排列的正態(tài)分位點(diǎn)排列的正態(tài)分位點(diǎn) 來(lái)替代，來(lái)替代，1()1iRn 一、正態(tài)記分檢驗(yàn)的基本思想一、正態(tài)記分檢驗(yàn)的基本思想 1(), 1,2,iP Rkknn (均勻分布均勻分布)(), 1,2,ikP Rkknn R, 1,2,kkknn 的的分分位位點(diǎn)點(diǎn)從分位點(diǎn)的角度，從分位點(diǎn)的角度，1,2, ,n是其是其n 個(gè)分位點(diǎn)個(gè)分位點(diǎn).線性秩統(tǒng)計(jì)量線性秩統(tǒng)計(jì)量秩本身的和秩本身的和秩的函數(shù)的和秩的函數(shù)的和39二、線性符號(hào)正態(tài)記分秩統(tǒng)計(jì)量及正態(tài)記分檢驗(yàn)二、線性符號(hào)正態(tài)

38、記分秩統(tǒng)計(jì)量及正態(tài)記分檢驗(yàn)01() (0)nnniiiSaRI XM 1.7P17線性符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量：線性符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量：0011( )1,() (0)(0)nnnnniiiiiaiSaRI XMI XMS則則若若若若0011( ),() (0)(0)nnnnniiiiiiaiiSaRI XMR I XMW則則符號(hào)統(tǒng)計(jì)量符號(hào)統(tǒng)計(jì)量Wilcoxon符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量符號(hào)秩統(tǒng)計(jì)量更一般的更一般的線性秩統(tǒng)計(jì)量：線性秩統(tǒng)計(jì)量：其中其中( )na 記記分分0() (0)niiaRI XM 符符號(hào)號(hào)記記分分1()( )nnniniSaR ci 1()(),1iniRaRn 取取( )1,nci 時(shí)時(shí)11()1nin

39、iRSn 為為正態(tài)記分線性秩統(tǒng)計(jì)量正態(tài)記分線性秩統(tǒng)計(jì)量4011()1niniRSn 為為正態(tài)記分線性秩統(tǒng)計(jì)量正態(tài)記分線性秩統(tǒng)計(jì)量0(1)( ) , ( )0nnnaanan 約定約定而而112iRn 時(shí)時(shí)1()01iRn 改進(jìn)為改進(jìn)為(1)12(1)2inRn 11()()22ininRaRn 取取計(jì)算計(jì)算|Xi-M0|, i=1,2, ,n. 由小到大排列后由小到大排列后|Xi-M0|的秩為的秩為Ri+ (取值取值1,2, ,n) .符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)0001 0 ()1 0iiiXMsign XMXM 符號(hào)秩符號(hào)秩000 0 () 0iiiiiiRXMR sign XMRXM 0(1)( )

40、 , ( )0nnnaanan 既既能能保保證證41H0 ：M =M0為真時(shí)為真時(shí)101()()( )()22inininRaRCisign XMn 取取，0001 0 ()1 0iiiXMsign XMXM 符號(hào)正態(tài)記分符號(hào)正態(tài)記分101()()22iiinRSsign XMn 線性符號(hào)正態(tài)記分秩統(tǒng)計(jì)量：線性符號(hào)正態(tài)記分秩統(tǒng)計(jì)量：10111()()22nniniiiinRSSsign XMn 011()1( 1)022iEsign XM 220002220 ()()()11()1( 1)122iiiiVar sign XME sign XMEsign XME sign XM 因?yàn)闃颖疽驗(yàn)闃颖?/p>

41、X1 , X2, , Xn ，所以，所以sign(Xi-M0), i=1,2, ,n. iid420()0iEsign XM0 ()1iVar sign XM因?yàn)闃颖疽驗(yàn)闃颖綳1 , X2, , Xn ，所以，所以sign(Xi-M0), i=1,2, ,n. iid所以所以1011()()022niniinRESEsign XMn 1201122111 () ()221()22niniinniiiinRVar SVar sign XMnnRsn H0 ：M =M0為真為真,n很大時(shí)，近似有很大時(shí)，近似有21(0,1)varnnnnniiSESSTNSs 將將Sn標(biāo)準(zhǔn)化得到標(biāo)準(zhǔn)化得到正態(tài)記分檢

42、驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量正態(tài)記分檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量430M 已知1. 當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，nnSTST、 均均應(yīng)應(yīng)在在它它們們的的期期望望附附近近，即即、 均均應(yīng)應(yīng)在在0 0附附近近當(dāng)當(dāng)H0不真時(shí)，不真時(shí)，0010:HMMHMM nST、 均均遠(yuǎn)遠(yuǎn)離離0 0|HnST0 0當(dāng)當(dāng)| | |、| |偏偏大大時(shí)時(shí)，拒拒絕絕|H ,TT0 0當(dāng)當(dāng)| |大大時(shí)時(shí)，拒拒絕絕的的值值遠(yuǎn)遠(yuǎn)離離0 0. . 2 (| | |)21(| |)pP Ttt 0M 已知2. 0010:HMMHMM M0 0M 已知3. 0010:HMMHMM 當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，nST、 取取值值偏偏大大當(dāng)當(dāng)H0不真時(shí)，不真時(shí)， ()( )pP T

43、tt MnST、 取取值值偏偏小小當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，nST、 取取值值偏偏大大當(dāng)當(dāng)H0不真時(shí)，不真時(shí)，nST、 取取值值偏偏小小 ()1()1( )pP TtP Ttt 4401:8:8HMHM 當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，nST、 取取值值偏偏大大當(dāng)當(dāng)H0不真時(shí)，不真時(shí)，nST、 取取值值均均應(yīng)應(yīng)在在0 0附附近近 ()1()1( )pP TtP Ttt P43 : P43 : （P34)P34)例例2.32.3的正態(tài)記分檢驗(yàn)的正態(tài)記分檢驗(yàn)15.414066nniiSs 211.913559nniiSts 1( )0.02783824pt M0 =8 M01:12.5:12.5HMHM 當(dāng)

44、當(dāng)H0不真時(shí)，不真時(shí)，nST、 取取值值偏偏小小 ()( )pP Ttt 14.934602nniiSs 211.744096nniiSts ( )0.04057115pt MM0 =12.5當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，nST、 取取值值均均應(yīng)應(yīng)在在0 0附附近近45 s=function(i,n)si=qnorm(n+1+i)/(2*n+2);list(si) s(1:10,10)1 1 0.1141853 0.2298841 0.3487557 0.4727891 0.6045853 6 0.7478586 0.9084579 1.0968036 1.3351777 1.6906216P43:

45、 （P34)例例2.3的正態(tài)記分的正態(tài)記分46三、記分函數(shù)三、記分函數(shù)an ()的選擇的選擇1()1iRn 11()22inRn 分位點(diǎn)分位點(diǎn)Ri代之以代之以，由于總體不同，所以不能用同一個(gè)工具對(duì)不同總體由于總體不同，所以不能用同一個(gè)工具對(duì)不同總體.充分利用已知信息，正確的選擇記分函數(shù)，檢驗(yàn)效果會(huì)更好充分利用已知信息，正確的選擇記分函數(shù)，檢驗(yàn)效果會(huì)更好.正態(tài)分布，用正態(tài)記分函數(shù)更好正態(tài)分布，用正態(tài)記分函數(shù)更好其它分布，用其它比如基于秩的記分函數(shù)其它分布，用其它比如基于秩的記分函數(shù)特別：樣本量很大時(shí)，由大數(shù)定律、中心極限定理知道，特別：樣本量很大時(shí)，由大數(shù)定律、中心極限定理知道，可以近似為正態(tài)分

46、布，這時(shí)用正態(tài)記分檢驗(yàn)更好可以近似為正態(tài)分布，這時(shí)用正態(tài)記分檢驗(yàn)更好.P44上面上面L+2表表作業(yè)作業(yè)472.4 Cox-Stuart 趨勢(shì)檢驗(yàn)趨勢(shì)檢驗(yàn)48人們經(jīng)常要人們經(jīng)常要研究研究某項(xiàng)發(fā)展的趨勢(shì)是遞增，遞減，還是大致持平。某項(xiàng)發(fā)展的趨勢(shì)是遞增，遞減，還是大致持平。類似于前面的檢驗(yàn)，這里有三種假設(shè)：類似于前面的檢驗(yàn)，這里有三種假設(shè)： 1、 H0 ：無(wú)增長(zhǎng)趨勢(shì)：無(wú)增長(zhǎng)趨勢(shì) H1 ：有增長(zhǎng)趨勢(shì)：有增長(zhǎng)趨勢(shì) 2、 H0 ：無(wú)減少趨勢(shì)：無(wú)減少趨勢(shì) H1 ：有減少趨勢(shì)：有減少趨勢(shì) 3、 H0 ：無(wú)趨勢(shì)：無(wú)趨勢(shì) H1 ：有增長(zhǎng)或減少趨勢(shì)：有增長(zhǎng)或減少趨勢(shì)設(shè)獨(dú)立觀測(cè)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)設(shè)獨(dú)立觀測(cè)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)X

47、1 , X2, , Xn分別來(lái)自分布為分別來(lái)自分布為F(x i )的總體，而總體分布的總體，而總體分布F(x)關(guān)于關(guān)于0 對(duì)稱對(duì)稱. 其中其中 i 位置參數(shù)位置參數(shù)=中位數(shù)中位數(shù)即即012112: nnHH 012112:nnHH 012112:, 不不全全相相等等nnHH 49進(jìn)行這些檢驗(yàn)進(jìn)行這些檢驗(yàn),可以把每一個(gè)觀察值和后面的另一個(gè)觀察值配對(duì)比較；可以把每一個(gè)觀察值和后面的另一個(gè)觀察值配對(duì)比較；即對(duì)獨(dú)立觀測(cè)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)即對(duì)獨(dú)立觀測(cè)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)X1 , X2, , Xn ，合理選擇合理選擇 c ,得到成對(duì)數(shù)據(jù)得到成對(duì)數(shù)據(jù)(X1 , X1+ c ), ( X2, X2+ c ), , (

48、Xn c , Xn )然后看增長(zhǎng)的對(duì)子和減少的對(duì)子各有多少來(lái)判斷總的趨勢(shì)然后看增長(zhǎng)的對(duì)子和減少的對(duì)子各有多少來(lái)判斷總的趨勢(shì)因?yàn)橄噜彅?shù)據(jù)難以區(qū)分小的誤差，而間隔太大，成對(duì)數(shù)據(jù)又太少，因?yàn)橄噜彅?shù)據(jù)難以區(qū)分小的誤差，而間隔太大，成對(duì)數(shù)據(jù)又太少，信息不足，所以一般選信息不足，所以一般選n n2cn1 n2 如如果果 是是偶偶數(shù)數(shù)如如果果 是是奇奇數(shù)數(shù)數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)：數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)：c nn =c1 n 如如果果 是是偶偶數(shù)數(shù)如如果果 是是奇奇數(shù)數(shù)0 ,0 0 ii ciii ciii cii cXXDXXDXXXX令令則則i=1,2, ,n . 500 ,0 0 ii ciii ciii cii cXXDXXDX

49、XXX令令則則i=1,2, ,n . 0#0 iiiDSDsignD0#0() iiiDSDsignD01(,)2 HSB n真真01(,)2 HSB n真真S偏小時(shí)偏小時(shí)有減少趨勢(shì)有減少趨勢(shì)S+偏小時(shí)偏小時(shí)有增長(zhǎng)趨勢(shì)有增長(zhǎng)趨勢(shì)012:nH 為真時(shí)，對(duì)為真時(shí)，對(duì)iid樣本樣本X1 , X2, , Xn12ijijP XXP XX 1002iiP DP DS+ + S = n 一般不考慮一般不考慮差為零的數(shù)對(duì)差為零的數(shù)對(duì)2nESES 0iii ciii cDXXDXX ，即即前項(xiàng)大于后項(xiàng)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)前項(xiàng)大于后項(xiàng)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)前項(xiàng)小于后項(xiàng)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)前項(xiàng)小于后項(xiàng)的數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)510121121. :n

50、nHH 即：即： H0 ：無(wú)增長(zhǎng)趨勢(shì)：無(wú)增長(zhǎng)趨勢(shì) H1 ：有增長(zhǎng)趨勢(shì)：有增長(zhǎng)趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，2nS 取取值值應(yīng)應(yīng)在在附附近近當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，SH 0 0當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕 ()pP Sk S 取取值值偏偏小小Sk 的的觀觀察察值值0121122. :nnHH 即：即： H0 ：無(wú)減少趨勢(shì)：無(wú)減少趨勢(shì) H1 ：有減少趨勢(shì)：有減少趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，2nS 取取值值應(yīng)應(yīng)在在附附近近當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，SH 0 0當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕 ()pP Sk S 取取值值偏偏小小Sk 的的觀觀察察值值520121123. :,nnHH 不不全全相相等等即：即：

51、H0 ：無(wú)趨勢(shì)：無(wú)趨勢(shì) H1 ：有增長(zhǎng)或減少趨勢(shì)：有增長(zhǎng)或減少趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)H0為真時(shí)，為真時(shí)，2nSS 、取取值值應(yīng)應(yīng)在在附附近近當(dāng)當(dāng)H1為真時(shí)，為真時(shí)，Kmin, SS 取取HK0 0當(dāng)當(dāng) 很很小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕SS、取取值值總總有有一一個(gè)個(gè)偏偏大大，另另一一個(gè)個(gè)偏偏小小kK 的的觀觀察察值值 2 ()pP Kk 01(,)2HKB n 真真若樣本量若樣本量n太小，即信息量不足，則太小，即信息量不足，則n會(huì)很小，檢驗(yàn)效果不佳，會(huì)很小，檢驗(yàn)效果不佳，所以所以 n不能太小不能太小. 【P47表格表格】53 Hp 0 0故故時(shí)時(shí), ,拒拒絕絕P44例例2.4. 天津機(jī)場(chǎng)旅客吞吐量天津機(jī)場(chǎng)旅客吞吐量 n

52、=108, c=n/2=54, n =545454540 1 0#0()16iiiiiiiDiXXSDsignDsign XX 5454540 10#0()38iiiiiiiDiXXSDsignDsign XX H0 ：無(wú)增長(zhǎng)趨勢(shì)：無(wú)增長(zhǎng)趨勢(shì) H1 ：有增長(zhǎng)趨勢(shì)：有增長(zhǎng)趨勢(shì)01(,)2 HSB n真真SH 0 0當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)，拒拒絕絕16545401 (16)( )0.0019191332iipP SC ，認(rèn)為有增長(zhǎng)趨勢(shì)，認(rèn)為有增長(zhǎng)趨勢(shì).作業(yè)作業(yè)542.5 關(guān)于隨機(jī)性的游程檢驗(yàn)關(guān)于隨機(jī)性的游程檢驗(yàn)55一個(gè)可以屬性總體，如按性別區(qū)分的人群，按產(chǎn)品是否有毛病一個(gè)可以屬性總體，如按性別區(qū)分的人群

53、，按產(chǎn)品是否有毛病區(qū)分的總體等等，隨機(jī)從中拍取一個(gè)樣本，樣本也可以分為兩區(qū)分的總體等等，隨機(jī)從中拍取一個(gè)樣本，樣本也可以分為兩類；類型類；類型I和類型和類型E。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，總假設(shè)樣本數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，總假設(shè)樣本X1 , X2, , Xn iid，但實(shí)際中，樣本有時(shí)，但實(shí)際中，樣本有時(shí)帶有系統(tǒng)性的差異，樣本的產(chǎn)生是否具有隨機(jī)性是需要討論的帶有系統(tǒng)性的差異，樣本的產(chǎn)生是否具有隨機(jī)性是需要討論的.56對(duì)二元數(shù)據(jù)樣本對(duì)二元數(shù)據(jù)樣本0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0定義定義 游程游程(run): 在一個(gè)兩種類型的符號(hào)在一個(gè)兩種類型的符號(hào)(如

54、如0與與1)的有序排列中，的有序排列中， 相同符號(hào)相同符號(hào)(0或或1)連續(xù)出現(xiàn)的段連續(xù)出現(xiàn)的段.游程長(zhǎng)度游程長(zhǎng)度: 每一個(gè)游程所包含的符號(hào)的個(gè)數(shù)每一個(gè)游程所包含的符號(hào)的個(gè)數(shù),稱為游程的長(zhǎng)度稱為游程的長(zhǎng)度.游程個(gè)數(shù)游程個(gè)數(shù): 在一個(gè)兩種類型的符號(hào)在一個(gè)兩種類型的符號(hào)(如如0與與1)的有序排列中，的有序排列中， 游程的總個(gè)數(shù)游程的總個(gè)數(shù). 記為記為R .R =13m0的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)記記n1的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)m=14n=12N=m+n數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù) N=2657m0的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)n1的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)N=m+n數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)R游程個(gè)數(shù)游程個(gè)數(shù)簡(jiǎn)單性質(zhì)：簡(jiǎn)單性質(zhì)：1、 2 R 2min(m,n)+

55、1. 2、 0的游程數(shù)與的游程數(shù)與1的游程數(shù)至多相差的游程數(shù)至多相差1. 3、 0與與1的不同排列可以有相同的游程數(shù)的不同排列可以有相同的游程數(shù).如如0 1 0 1 10 1 1 0 1 說(shuō)明：若游程為說(shuō)明：若游程為 0000000111111(游程的長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)游程的長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng))、 或或01010101(游程總數(shù)過(guò)多表明游程長(zhǎng)度很短游程總數(shù)過(guò)多表明游程長(zhǎng)度很短)、 周期性或等距等都可能懷疑其隨機(jī)性周期性或等距等都可能懷疑其隨機(jī)性.注意：游程的總數(shù)注意：游程的總數(shù)R過(guò)大或過(guò)小，都意味樣本可能非隨機(jī)產(chǎn)生過(guò)大或過(guò)小，都意味樣本可能非隨機(jī)產(chǎn)生. 而是系統(tǒng)性作用而是系統(tǒng)性作用. 58H0 ：樣本是隨機(jī)產(chǎn)生的

56、：樣本是隨機(jī)產(chǎn)生的H1 ：樣本是非隨機(jī)產(chǎn)生的：樣本是非隨機(jī)產(chǎn)生的選用選用R為統(tǒng)計(jì)量，取為統(tǒng)計(jì)量，取c 1 、 c 2使使12P(Rc )P(Rc )2 若若R c 1或或R c 2可以拒絕可以拒絕H0 ，認(rèn)為樣本是非隨機(jī)產(chǎn)生的，認(rèn)為樣本是非隨機(jī)產(chǎn)生的.反之，若反之，若c 1 R c 2 ,則接受則接受H0 ，認(rèn)為樣本是隨機(jī)產(chǎn)生的，認(rèn)為樣本是隨機(jī)產(chǎn)生的.下面，關(guān)鍵是下面，關(guān)鍵是=？ c 1 =？，？， c 2 =？?jī)煞N方法：精確計(jì)算兩種方法：精確計(jì)算(小樣本小樣本)與近似計(jì)算與近似計(jì)算(大樣本大樣本)對(duì)給定的顯著性水平對(duì)給定的顯著性水平 ，精確計(jì)算：精確計(jì)算： 首先，要找首先，要找R的概率分布，

57、并可以將有關(guān)的概率求出，的概率分布，并可以將有關(guān)的概率求出， 列表表示有關(guān)的臨界值列表表示有關(guān)的臨界值c 1 =？，？， c 2 =？59證明：在一個(gè)容量為的樣本中，個(gè)、個(gè)排列的總方式為證明：在一個(gè)容量為的樣本中，個(gè)、個(gè)排列的總方式為首先，要找首先，要找R的概率分布的概率分布.假設(shè)假設(shè)m與與n固定，即固定，即 N=m+n 固定固定.1. R為偶數(shù)時(shí)：為偶數(shù)時(shí)：1111N2P(2 )kkmnmCCRkC nNNmCC R2k時(shí)，時(shí)，0的游程數(shù)與的游程數(shù)與1的游程數(shù)均為的游程數(shù)均為k，由于一個(gè)游程至少由一個(gè)由于一個(gè)游程至少由一個(gè)0或一個(gè)或一個(gè)1組成，組成， 為為得到得到k個(gè)個(gè)0的游程的游程，只需在

58、，只需在m個(gè)個(gè)0之間的之間的m-1個(gè)空隙中任意插入個(gè)空隙中任意插入k-1個(gè)隔板即可，有個(gè)隔板即可，有Cm-1k-1種，種， 為為得到得到k個(gè)個(gè)1的游程的游程，只需在，只需在n個(gè)個(gè)0之間的之間的n-1個(gè)空隙中任意插入個(gè)空隙中任意插入k-1個(gè)隔板即可，有個(gè)隔板即可，有Cn-1k-1種，種， 0游程與游程與1游程的位置可以互換，故游程的位置可以互換，故0、1游程的次數(shù)排列方式：游程的次數(shù)排列方式：11112kkmnCC種種1111N2P(2 )kkmnmCCRkC 故故60證明：在一個(gè)容量為的樣本中，個(gè)、個(gè)排列的總方式為證明：在一個(gè)容量為的樣本中，個(gè)、個(gè)排列的總方式為首先，要找首先，要找R的概率分布

59、的概率分布.假設(shè)假設(shè)m與與n固定，固定，N=m+n固定固定.2. R為奇數(shù)時(shí)：為奇數(shù)時(shí)：111111NP(21)kkkkmnmnmCCCCRkC nNNmCC R2k+1時(shí)，時(shí)，0的游程數(shù)與的游程數(shù)與1的游程數(shù)只能相差的游程數(shù)只能相差1，若若0的游程數(shù)為的游程數(shù)為k，則，則1的游程數(shù)為的游程數(shù)為k+1， 為為得到得到k個(gè)個(gè)0的游程的游程，只需在，只需在m個(gè)個(gè)0之間的之間的m-1個(gè)空隙中任意插入個(gè)空隙中任意插入k-1個(gè)隔板即可，有個(gè)隔板即可，有Cm-1k-1種，種， 為為得到得到k+1個(gè)個(gè)1的游程的游程，只需在，只需在n個(gè)個(gè)0之間的之間的n-1個(gè)空隙中任意插入個(gè)空隙中任意插入k個(gè)隔板即可，有個(gè)隔

60、板即可，有Cn-1k種，種， 排列方式為：排列方式為：111kkmnCC 種種故故111kkmnCC 種種若若0的游程數(shù)為的游程數(shù)為k+1，則，則1的游程數(shù)為的游程數(shù)為k，類似有，類似有 111111NP(21)kkkkmnmnmCCCCRkC 最后查分位數(shù)表求最后查分位數(shù)表求 p 值值.61mnmCkmC111knC111knkmCCmnmknkmknkmCCCCCkRp111111)12(先在先在m+n個(gè)抽屜里隨機(jī)選擇個(gè)抽屜里隨機(jī)選擇m個(gè)，有個(gè)，有種方法。種方法。如果游程數(shù)為奇數(shù)如果游程數(shù)為奇數(shù)R=2K1，這意味著：，這意味著： 1、必定有、必定有k+1個(gè)由個(gè)由“1”構(gòu)成的游程和構(gòu)成的游程