高一數(shù)學(xué)對數(shù)函數(shù)經(jīng)典題及詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)答案

1、高一數(shù)學(xué)對數(shù)函數(shù)經(jīng) 典練習(xí)題一、選擇題：此題共12小題，每題4分，共48分，在每題給出的四個選 項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1、3a2，那么log3 8 2log36用a表示 是B、5a 2C、3a (1 a)2D、 3a a2答案Ao/ 3a =2 a=log 3 2那么:log 3 8-2log36=log 323-2log 3(2*3) =3log 32-2log 32+log33 =3a-2(a+1) =a-22、2loga(M2N) logaM loga N，那么的值為(N14答案BoB、4C、 2log a (M-2N)=loga M+log a N, log a (M-2

2、N) 2=loga (MN，( M-2N)2 =MNM2 -4MN+4N2 =MN-5mn+4n2=0 (兩邊同除n2)瞪2-5 吟 +4=0,設(shè)2x -5 x+4=0(x-2*5 x+2：)- 2 + =0(x-9 =0(x- 5)x- 5 =53x= 2232m nmn又 2log a(M2N)loga Mloga N，看出 M-2N>0 M>0 N>0 m=1即M=N舍去,得M=4N即m=4 答案為:3、2 .y 1,x0, y 0,且 loga(1 x)n,那么logay等于A、 m答案Do,loga(1-x)=-n兩式相加得:loga (1+x)(1-x)=m-n/

3、 loga(1+x)=m loga 1/(1-x)=nloga(1-x 2)=m-n/ x 2+y2=1, x>0, y>0,y 2=1- x 2loga(y 2)=m-n/ 2loga(y)=m-nloga(y)= ； (m-n)4.假設(shè)x1 ,x2是方程lgx + (lg3 + lg2)lgx + lg3 lg2 = 0 的兩根,(A) . lg3 lg2 (B)(C)那么x1x 2的值是16(D)答案D方程 lg 2x+ (lg2+lg3把lgx看成能用X,這是二次方程。b lg X1 +lg X2 = - a)lgx+lg2lg3=0的兩根為x1>X2 ,注：ig2x

4、 即I2，這里可(Ig2+ig3 )16lg ( x1x lg ( X1 x x2 ) = -lg6=lgx21x2=6=-lg(2X 3)那么x1?x2的值為1。65、 Iog7【log 3(log2 x)那么1、3.3答案Clog 7【log 3(log 2X)】=0log 3(log 2x)=1log 2 x=3x=812x =82=23(2)=21_2 = 3=221_2° = 2 26.lg2= a, lg3= b,那么皿2lg15等于A.2a b1 a bB . a 2b1 a bC.2a1 abbD.a 2b1 a b答案Clg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg

5、2= 2a+blg15=lg 30 =lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1(注：lg10=1 )7、比值為(2a+b)/(1-a+b)函數(shù)y log2x d '' 3x 2的定義域是A2,1 U 1,3BC23，D答案A丄,1 U 1,23x20x lx 1y log(2x “3x2 的定義域是2x102x112答案為:2,1 U 1,3&函數(shù)ylog1 (x226x17的值域是)A、RB、8,C、,3D答案為：C ,y=(-,-3 :3,2/ x -6x+17=x 2-6x+9+8=(x-3)2+8 > 8 ,log 2 x單調(diào)

6、減log 2x單調(diào)減1log = log .L =(-1) log 2 = - log 2 ( -log i (x-3) 2+8單調(diào)減.,為減函數(shù)2 x2 -6x+17=x-3 2+8 ,x 取最小值時x-3 2+8 有最大值 x-3 2+8=0 最小,x=3, 有最大 值 8, log 1 x-32+8= log J 8= - log 2 8= -3,值域 y < -3 y=-,-3 :注：2Y=x -6x+17頂點坐標(biāo)為3, 8,這個Y為通用Y9、假設(shè)logm9 logn9 0，那么m,n滿足的條件是A mn1 B 、nm1 C 、0nm1 D、0mn1答案為：c對數(shù)函數(shù)的定義：一般

7、地，我們把函數(shù)y=logax a> 0，且a豐1叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是0, +8,值域是 R。對數(shù)函數(shù)的解析式：y=logax a> 0,且1 。對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于 0且不為1?【在一個普通對數(shù)式里 a<0,或=1的 時候是會有相應(yīng) b的值。但是，根據(jù)對數(shù)定義：log以a為底a的對數(shù)；如果a=1或=0那么 log以a為底a的對數(shù)就可以等于一切 實數(shù)比方log 11也可以等于2, 3, 4, 5,等等打 分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，當(dāng)x=9> 1時，對數(shù)值小于 0,所以得到 m與n都大于0小于1，又log nQVog n9,根據(jù)對數(shù)函

8、數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)?shù)讛?shù)小于1時，取相同的自變量，底數(shù)越大對數(shù)值越小，所以得到m大于n./ log n9 v 0, log n9 v 0,得到 0 v m< 1, 0v nv 1;又 log m9< log n9，得到 m> n,- m. n滿足的條件是0 v n v m< 1.lg 9注另解：/ log m3v 0, log n9v0,得到 0v mv 1, 0v n v 1 ;也可化成 Iogm9= g m , lg 9Jg9Jg91Iogn9= ,貝V lg m < lg n <0 由于 ©9 大于 0 二 lg m < lg n n<

9、m,0 v nv mv 1.證明：令loga6二A貝0二機兩邊取火為底H-J對數(shù):logr = logcvlogr = log b.loss ba,c均大于零且不等于1】10、0,2 U31,那么a的取值范圍是(i1 D220,- U -,33答案為：A.0<a<1時那么 loga(x)是減函數(shù),1=loga(a),2-loga-1,即loga(2/3)<loga(a) 2/3>a此時上面有0<a<1綜述得0<a<2/3a>1時那么loga(x)是增函數(shù)，loga(2<1(即 log a a) 2/3<a此時上面有a>1綜

10、述得取a>1有效。2 0<a< 3 ,a>1A y logjx 1)B2、y gjx2 12D y log 1 (x 4x 5)C ylog21x答案為:DAx+1在0,2 上是增函數(shù)1以2為底的對數(shù)就是一個減函數(shù)復(fù)合函數(shù)y就是個減函數(shù)。B X2 1在0,2 上遞增，但又不能取 <1的數(shù)，x<1不在定義域0,2 內(nèi)不對。 這種情況雖然是增，但0,2 內(nèi)含有<1的。1C X是減函數(shù)，以2為底的對數(shù)是個增函數(shù)， y為減函數(shù)2 1D與A相反，x2-4x+5=x-2 2+1,對稱軸為2,在0,2 上遞減，以2的對數(shù)也是遞減， 所以復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)12.函數(shù)y=

11、log 1 ax2+ 2x+ 1的值域為R,那么實數(shù)a的取值范圍是2A . a > 1B. 0w av 1C 0v av 1D. 0w a<1答案為：Co注：對數(shù)函數(shù)定義底數(shù)那么要>0且工1真數(shù)>0函數(shù)y=log 1 ax 2 +2x+1的值域為R ax 2 +2x+1 恒 >0,令 gx=ax 2 +2x+1,顯然函數(shù) gx=ax 2 +2x+1 是一個一元二次函數(shù)拋物線，要使gx即通用的Y恒>0,必須使拋物線開口向上，即a>0同時必須使> 0 保證拋物線始終在 x軸上方，且與x軸沒有交點，這也是不能為 0的 原因注：如 <0,拋物線可在

12、x軸下方，且與x軸有交點即b2 -4ac=4-4a > 0,解得av 1。那么實數(shù)a的取值范圍是0v av 1。說明：答案是0 v av 1,而不是0w aw 1。二、填空題：此題共4小題，每題4分，共16分，請把答案填寫在答題紙上1.一 log2313 計算：log 2.5 6.25 + lg + ln .e + 2= .100答案為：【注：自然常數(shù)e 約為2.71828 是一個無限不循環(huán)小數(shù)。是為超越數(shù)。ln就是以e為底的對數(shù)。In 1=0 , lne=1 。設(shè)21og23=x那么由指數(shù)式化為對數(shù)式可得：log 2 x= log 2 3 x=3.21。923=x,又x=3. 21O9

13、23 =3.】log 2.5 6.25 + Ig+ In100+ 21log2 3=log2.5 2.5 2 + |g103 + Ine °+2121og231=2+(-3)+2+23=2-3+2+6=1 1og232 ,2 1 1O923 =2IO922 1log 2 3,=21。9 2213=2切2； 3=2IO9 2 2 = 3 】14、函數(shù)y log(x_1)(3- x)的定義域是答案為:(2)要使原函數(shù)有意義，那么真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，底數(shù)不等于13x03 xx 10 x 1 1 x 3, x 2函數(shù)的定義域為(1, 2)U( 2, 3)。x 11 x 2215 lg 2

14、5 lg 2glg 50 (lg 2)。2lg25+lg2 lg50+ (lg2 )答案為：/ lg2+lg5=1, lg10=12Ig25+lg2 g50+(lg2)g50+lg2 lg2 =2lg5+lg2(lg50+lg2)=2lg5+lg2lg(502)2=2lg5+lg2 lg100=2lg5+lg2g10=2lg5+lg22lg10=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2lg10=216、函數(shù)f(x) lgx2 1 x是 (奇、偶)函數(shù)。答案為： x2 1 x第種解：.f(-x)=lg(x2 1 +x)=lg ( . x21 +x) * x? 1 x(x2 1 x) ( .

15、x2 1 =lgx2 1 xx) (. x2 1x2)=lg(x2 1) x2x2 1=lgx2 1 x(x21 -x ) = -f(x), f(-x) = -f(x)是奇函數(shù)1 2 1=lgx2 1 x =lg( x 1 -x)= -lg第種解：.f (-x ) +f (x) = lg( x21 +x)+ lg2 ; 2(X21 -x)=(x 1 -x ) = lg( 、x 1+x) f-x= -fx ，二 f x為奇函數(shù).三、解答題：此題共3小題，共36分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17y=log a2 ax在區(qū)間0, 1上是x的減函數(shù)，求 a的取值范圍.答案為：【對數(shù)函數(shù)含

16、義：一般地，如果 a a>0,且1的y次冪等于x,那么數(shù)y 叫做以a為底x的對數(shù)，記作logax=y，其中a叫做對數(shù)的 底數(shù),x叫做真數(shù)。y叫對數(shù)即 是冪。注意：負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)。底數(shù)a那么要>0且工1,真數(shù)x>0。并且，在比擬兩個函數(shù)值時：但1時如果底數(shù)a樣，真數(shù)x越大，函數(shù)值y越大。是增函數(shù)。0 a 1時如果底數(shù)a一樣，真數(shù)x越小，函數(shù)值y越大。是減函數(shù)。對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：關(guān)于X軸對稱：=1°軋 X心AJ丿="時以上要熟記】解題：T y=log a(2 ax)在區(qū)間0,1上是x的減函數(shù)，t a>0,真數(shù)(2-ax )已經(jīng)是減函數(shù) 了

17、，然后要使這個復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)，那么對數(shù)底a要是增函數(shù)，增減復(fù)合才得減，.由函數(shù)通用定義知要使函數(shù)成增函數(shù)必a>1。2又t函數(shù)定義域： 2-ax >0 得axv 2, / xv石:0,1 :區(qū)間內(nèi)2-ax遞減，當(dāng)x1(取最大時)a取最大時即-ax最大時，2-ax取得最小值，為2-a。2 2t x=1 t x v a 可得 > 1, a v 2. a的取值范圍1<a<2。18、函數(shù)f(x23)igx2又 a是對數(shù)的底數(shù) a > 0且a豐1。(1)求f (x)的定義域；(2)判斷f (x)的奇偶性。解題：【注：定義域沒有與原點對稱的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。如果定義域

18、是全體實數(shù)，那肯定就是關(guān)于原點對稱了，那就可能或奇或偶函數(shù)、既奇又偶函 數(shù)。如果定義域不是全體實數(shù)，比方是全體 正實數(shù)，那定義域在x軸的負(fù)半軸上都不能取值，當(dāng)然更談不上是對稱了。再比方定義域是全體 負(fù)實數(shù)，那定義域在x軸正半軸也不能取值， 所以定義域也不是關(guān)于原 點對稱。1舉個例子：f( x) = 1匚此題的定義域是x 1，那么如果定義域要是關(guān)于原點對稱，x也 -1。再舉個例子：f f x) =x的偶次方根，此題的定義域是 x非負(fù)，x非負(fù)這個取值，關(guān)于原點的 對稱區(qū)間是x非正(沒有)。所以兩個例子中的定義域都不是關(guān)于原點對稱的?！拷忸}：(即Y值的取值方向固定)(1 )設(shè) x2-3= t f t

19、 > -3 ), t f(x23)x2 3 f(t)=lgt 3t 3 >0, t>3x2 3 3(注：這里 x2非負(fù)),f (x)的定義域為3,(2)t f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱(x 2非負(fù))， f (x)為非奇非偶函數(shù)。19、函數(shù) f(x)2小 mx 8xlog 32x 1的定義域為R，值域為0,2，求m,n的值。解題:mx2 8x n , 、22,/f (x) =log 3X的定義域為 R,t x +1> 0，二 mx +8x+n > 0 恒成立.2 c0mx 8x nmx2 8x n令 y=x2 1函數(shù) f (x)的值域(即 log 3 x )為0

20、, 2,mx2 8x n 1 W y (即x2 1)W 9 o y(x2 2 2+1)=mx +8x+ nyx2+y -mx -8x -n=0(y-m)2?x -8x+y-n=0成立。T x R,可設(shè)y-m 工 0, /方程的判別式厶=64-4 (y-m) (y-n )匸=0-16 +(y-m) (y-n )0 即 y 2 -(m+r) y+mn-16w 0.y=i 和 y=9 是方程 y 2 - ( m+r) y+mn-16=0 的兩個根，m=10-n._b二 y 1 +y 2 = - a =m+n=10, y 1 +y2 = mn-16=9。(10-n) n-16=9210n-n-25=0

21、2n 2-10n +25=02(n_5)=25m=n=5假設(shè)y-m=0,即卩y=m=n=5時，對應(yīng)的x=0，符合條件。綜上可得，m=n=520.x滿足不等式 2log 1 x 2 +7log 1 x +3 < 0，求函數(shù)T2大值和最小值。換元法是必須要有的求多種方法。解題：第種解：設(shè)a = log 1 x，那么原不等式(x)=logxlog 2 2的最2log 1 x 2 +7log 1 x +3 < 0 可化為：2a 2 + 7a + 32 2a30a32a10a12a30a32a10a丄23 wlog 1 x2W 123log2xlog 2x12(a + 3) (2a + 1)

22、 w 03 w a w 23 w log 2x w -2無解3 a 舟3 log2 x 11 2 log2 x 3log2 x i解以上不等式的所有方法中，“因式分解法較為簡便xf (X) =log 2 4嘰芫(log2X-log 24)log 2 2)=(log 2x -2) x (log 2x -1)設(shè) m = log 2 x ,/ 12 w log 2x < 3(已證) m 1 ,3 于是問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)y = f(x) = ( m 2 ) x ( m 1 )的最大值和最小值.這是典型的“閉區(qū)間上的二次函數(shù)求最值問題y = f(x) = ( m 2 ) x ( m 1 )y =

23、f(x) = m 2 3m + 2 = m 2 - | m+9 - -4y = f(x) = (m f ) 2 4 其中 m 蘇3 考察二次函數(shù) y = f(x) = (m f ) 2 4b 3彳開口向上、對稱軸為 m = ya = 2、最小值為一4、關(guān)鍵是定義域為m £ ,3 .畫出二次函數(shù)y = f(x) = (m 3 ) 2 1的圖像，由圖知：對稱軸在定義域范圍之內(nèi)故當(dāng)m =號時，函數(shù)y = f(x)取到最小值一扌;當(dāng)m = 3時,函數(shù)y = f(x) 取到最大值,把m = 3代入二次函數(shù)表達式求得該最大值為: (3 3) 2 1= ( 6-3)2 1 = 9 1=224、22

24、4 44第種解：設(shè)a = log 1 x2那么原不等式22log 1 x +7log 1 x +3 w 0 可化為：2 22a2 + 7a + 3< 0 (這種根本化解要熟)(a + 3) (2a + 1)< 0二一3w a w 2(同上化得)- 3 W log i x W 舟(同上化得)21 1舟 w log 2 x < 3 log 2 22 w log 2x w log 2 2322 w x w 2 32 w x w 8 x , 2 ,8xXf (x) =log 2 4 log 2 2 =(log 2x log 2 4) x (log 2x log 2 2)2=(log

25、2 x 2) x (log 2x 1)= (log 2 x) 3 log 2 x + 2=(log2x 3)2 -4 + 2= (log2x |) 2 4 x ,2 ,8而 對稱軸3/2在定義域.2 ,8之內(nèi)。.當(dāng)x = 3時,f(x)有最小值扌; 當(dāng)x = 8時,f(x)有最大值，最大值為：(log 2 8 "I)? 4 =(3 2 ) 2 4 = 2.。21. x>0,y0,且 x+2y=1,求 g=log 1 (8xy+4y 2+1)的最小值2解題：第種解由x+2y=1,得：2y=1-x,222 8xy+4y +仁4x 2y+(2y)+仁 4x(1-x)+ (1-x)+1

26、22=4x-4x+1-2x+x+1=-3x 2 +2x+2= -3(x 2 - 2 x+ 1)+ 1 +2=-3(x- 92+7,當(dāng)x= 3時,有最大值：£ ,而y=log丄x在定義域上是減函數(shù)，2 當(dāng) x= 1 ,y=扌時，log 1 (8xy+4y 2 +1)有最小值：log 丄 7 =-log 2 7 - log 2 3 1 =log 2 3-log 2 7.'12第種解 x+2y=1,2222222 8xy+4y +1= x +4xy+4y +4xy-x +1= (x+2y) +4xy-x +1=1+4xy -x +1=-x+4xy+2= -x+4x( * -丄 x)

27、+ 2= -x 2 + 2x -2x2+2=-3x 2 +2x+2= -3(x3 x+ 9)+1 +21 2=-3(x-3 )當(dāng)x= 3時,有最大值:而y=log 1 x在定義域上是減函數(shù)，2當(dāng)x= 3 ,y= 3 時,log* (8xy+4y 2 +1)有最小值：log21丄 3 =-log 2 7 - log 2 3 =log 2 3-log 2 7.222.函數(shù)f(x)=10一1°-。10x 10 x(1)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性;(2)求f妝【注：反函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)(x A)的值域是C,假設(shè)找得到一個函數(shù) g(y)在每 一處g(y)都等于x,這樣的函數(shù) x= g(y)(y C)叫做函數(shù) y=f(x)(x A)的反函數(shù)，記作 y=f 1 (x)。反函數(shù)y=f 1 (x)的定義域、值域分別是函數(shù) y=f(x)的值域、定義域。一般地，如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f (x )相對應(yīng)，y=f (x),那么y=f (x )的反函數(shù) 為x=f 1(y)。存在反函數(shù)(默認(rèn)為單值函數(shù))的條件是 原函數(shù)必須是一一對應(yīng)的(不一定