時間序列數據的偽回歸問題

1、時間序列數據的時間序列數據的偽回歸問題偽回歸問題及其處理方法及其處理方法 長期均衡關系長期均衡關系 誤差修正回歸模型誤差修正回歸模型 運用平穩(wěn)時間序列數據的經典回歸分析是有效的，以往時間序列數據的計量回歸分析實際上隱含假設數據是平穩(wěn)的。 如果把非平穩(wěn)的時間序列當作平穩(wěn)序列，事實上會破壞古典線性回歸模型的基本假設，用這樣的模型進行回歸，得到的統(tǒng)計量都是失效的，分析、檢驗和預測結果都是無效的，對計量回歸分析的有效性有很大的影響。 非平穩(wěn)時間序列的另一個問題是，雖然這種時間序列事實上會破壞經典回歸分析的基礎和有效性，但根據分析結果并不一定能發(fā)現問題。 事實上，有時即使時間序列嚴重非平穩(wěn)，分析結果完全

2、無效，t、F、 等指標卻仍然很正常，模型的顯著性和擬合程度看起來都很好。這種問題通常稱為“偽回歸” 問題。2R1、利用非平穩(wěn)時間序列直接建模容易產生“偽回歸偽回歸”問題 如:印度人口印度人口中國中國 GDP物價指數物價指數個人收入水平個人收入水平個人收入水平個人收入水平物價指數物價指數 1、利用非平穩(wěn)時間序列直接建模容易產生“偽回偽回歸歸”問題 印度的人口增長比較快,中國的GDP增長也比較快,這兩個序列有著共同的趨勢,能否把這兩個序列建立一個模型。 印度人口印度人口中國中國 GDP 1、利用非平穩(wěn)時間序列直接建模容易產生“偽回歸偽回歸”問題個人收入水平個人收入水平物價指數物價指數 物價指數物價

3、指數個人收入水平個人收入水平 ？較為普遍的現象! 很多經濟時間序列都是非平穩(wěn)的（從直觀上看，隨著經濟的發(fā)展，多數經濟時間序列呈明顯的上升趨勢），而直接采用非平穩(wěn)時間序列建立回歸模型，很容易產生“偽回歸”問題。0200400600800100036384042444648505254CAPARn2、存在著因果關系的變量間建立的回歸預測模型的預測效果越來越差 我們建立的模型是一個均衡的模型，而實際情況不可能總是在均衡狀態(tài)下，實際往往會其均衡狀態(tài)而處于不均衡狀態(tài)。這時，則需要根據的不均衡程度的預測值。 利用非平穩(wěn)時間序列直接建模容易產生“偽回歸偽回歸”問題 存在著因果關系的變量間建立的回歸預測模型的

4、預測效果越來越差怎么辦? 檢驗是否存在長期穩(wěn)定的均衡關系, 誤差修正一、長期均衡關系一、長期均衡關系1. 1. 問題的提出問題的提出 經典回歸模型經典回歸模型（classical regression model）是建立在）是建立在穩(wěn)定數據變量基礎上的。穩(wěn)定數據變量基礎上的。 對于非穩(wěn)定變量，不能使用經典回歸模型，否則會出對于非穩(wěn)定變量，不能使用經典回歸模型，否則會出現現虛假回歸虛假回歸 (偽回歸偽回歸) 等諸多問題。等諸多問題。-4-20242004006008001000Z2 由于許多經濟變量是非穩(wěn)定的，這就給經典的回歸分析由于許多經濟變量是非穩(wěn)定的，這就給經典的回歸分析方法帶來了很大限制

5、。方法帶來了很大限制。 但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關系（但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關系（即它們之間即它們之間是是協整協整的的cointegration），則是可以使用經典回歸模型），則是可以使用經典回歸模型方法建立回歸模型的。方法建立回歸模型的。 例如，中國居民例如，中國居民人均消費水平與人均人均消費水平與人均GDPGDP變量變量之間的回之間的回歸預測模型要比歸預測模型要比ARMAARMA模型有更好的預測功能，模型有更好的預測功能，其原因在其原因在于于，從經從經濟理論上說，人均濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水決定著居民人均消費水平，而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關系。平，而且

6、它們之間有著長期的穩(wěn)定關系。 某些經濟變量間確實存在著長期均衡關系，這某些經濟變量間確實存在著長期均衡關系，這種均衡關系意味著經濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內種均衡關系意味著經濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以使其重新回到均衡狀態(tài)。使其重新回到均衡狀態(tài)。 2. 2. 長期均衡長期均衡式中式中: : t t是隨機擾動項是隨機擾動項。 該均衡關系意味著該均衡關系意味著: :給定給定X的一個值，的一個值，Y相應相應的均衡值也隨之確定為的均衡值也隨之確

7、定為0 0+ + 1 1X。 tttXY10假設假設X與與Y間的長期間的長期“均衡關系均衡關系”由式描述由式描述: （1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt -1； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt -1； 在時期t，假設X有一個變化量Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關系，則Y的相應變化量由式給出:tttvXY1式中，式中，v vt t= = t t- - t-1t-1。 n在在t-1期末，存在下述三種情形之一：期末，存在下述三種情形之一： 實際情況往往并非如此實際情況往往并非如此 如果如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即期末，發(fā)生了上述第二

8、種情況，即Y的值小于其均衡值，則的值小于其均衡值，則Y的變化往往會比第一的變化往往會比第一種情形下種情形下Y的變化的變化 Yt大一些；大一些； 反之，如果反之，如果Y的值大于其均衡值，則的值大于其均衡值，則Y的變的變化往往會小于第一種情形下的化往往會小于第一種情形下的 Yt 。 可見，如果可見，如果Yt= 0+ 1Xt+ t正確地提示了正確地提示了X與與Y間的長期穩(wěn)定的間的長期穩(wěn)定的“均衡關系均衡關系”，則意味著，則意味著Y對對其均衡點的偏離從本質上說是其均衡點的偏離從本質上說是“臨時性臨時性”的。的。 因此，因此，一個重要的假設就是一個重要的假設就是:隨機擾動項隨機擾動項 t必須是平穩(wěn)序列。

9、必須是平穩(wěn)序列。 顯然，如果顯然，如果 t有隨機性趨勢（上升或下降），有隨機性趨勢（上升或下降），則會導致則會導致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。積下來而不能被消除。 式式Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t中的隨機擾動項也被稱為中的隨機擾動項也被稱為非非均衡誤差均衡誤差（disequilibrium error），它是變量），它是變量X與與Y的一個線性組合：的一個線性組合： tttXY10(*) 因此，如果因此，如果Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t式所示的式所示的X與與Y間的長期均衡間的長期均衡關系正確的話

10、，（關系正確的話，（*）式表述的非）式表述的非均衡均衡誤差應是一平穩(wěn)誤差應是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期時間序列，并且具有零期望值，即是具有望值，即是具有0均值的均值的I(0)序列。序列。3.協整協整 從這里已看到從這里已看到，非穩(wěn)定的時間序列，它非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。 假設假設Yt= 0+ 1Xt+ t式中的式中的X與與Y是是I(1)序序列，如果該式所表述的它們間的長期均衡關列，如果該式所表述的它們間的長期均衡關系成立的話，則意味著由系成立的話，則意味著由非均衡誤差非均衡誤差（*）式）式給出的線性組合給出的線性組合是是I(0)序列序列。

11、這時我們稱變量。這時我們稱變量X與與Y是協整是協整的（的（cointegrated）。 檢驗變量之間的協整關系，在建立計量經檢驗變量之間的協整關系，在建立計量經濟學模型中是非常重要的。濟學模型中是非常重要的。 而且，從而且，從變量之間是否具有協整關系出發(fā)變量之間是否具有協整關系出發(fā)選擇模型的變量，其數據基礎是牢固的，其統(tǒng)選擇模型的變量，其數據基礎是牢固的，其統(tǒng)計性質是優(yōu)良的計性質是優(yōu)良的。tttGDPC10 建立回歸模型時建立回歸模型時, ,如如 只要變量選擇是合理的只要變量選擇是合理的( (具有長期穩(wěn)定的關系具有長期穩(wěn)定的關系, ,即協整關系即協整關系) )，隨機誤差項一定是，隨機誤差項一定

12、是“白噪聲白噪聲”（即均（即均值為值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機序列），模型參數有合，方差不變的穩(wěn)定隨機序列），模型參數有合理的經濟解釋。理的經濟解釋。 這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的，但卻這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的，但卻可以用經典的回歸分析方法建立回歸模型的原因?？梢杂媒浀涞幕貧w分析方法建立回歸模型的原因。 二、協整檢驗二、協整檢驗 為了檢驗兩變量為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協整，是否為協整，Engle和和Granger于于1987年提出兩步檢驗法，也稱為年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。檢驗。 第一步，用第一步，用OLS方法估計方程：方法估計方程： Yt= = 0 0+ +

13、1 1Xt+ + t t并計算非均衡誤差，得到：并計算非均衡誤差，得到： tttttYYeXY10稱為協整回歸稱為協整回歸( (cointegrating)或靜態(tài)回歸或靜態(tài)回歸( (static regression) )。第二步第二步, ,檢驗檢驗 的單整性的單整性, ,如果如果 是穩(wěn)定的序列是穩(wěn)定的序列, ,則認則認為因變量與自變量之間具有協整關系。檢驗的方法為因變量與自變量之間具有協整關系。檢驗的方法仍然是仍然是DFDF檢驗或檢驗或ADFADF檢驗。檢驗。 te te 進行檢驗時，拒絕零假設進行檢驗時，拒絕零假設H0： =0，意味，意味著誤差項著誤差項et是平穩(wěn)序列，從而說明是平穩(wěn)序列，

14、從而說明X與與Y間是協間是協整的。整的。tpiititteee11 而而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量此估計量 是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假設的機會比實際情形大。設的機會比實際情形大。 于是對于是對e et t平穩(wěn)性檢驗的平穩(wěn)性檢驗的DFDF與與ADFADF臨界值應該臨界值應該比正常的比正常的DFDF與與ADFADF臨界值還要小。臨界值還要小。 MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協整檢驗的通過模擬試驗給出了協整檢驗的臨界值，下表是雙變量情形下不同樣本容量的臨臨界值，下表是雙變量情形下不同樣本容量的臨界

15、值。界值。 表表9.3.1 雙雙變變量量協協整整ADF檢檢驗驗臨臨界界值值 顯 著 性 水 平 樣本容量 0.01 0.05 0.10 25 -4.37 -3.59 -3.22 50 -4.12 -3.46 -3.13 100 -4.01 -3.39 -3.09 -3.90 -3.33 -3.05 例例 檢驗中國居民人均消費水平檢驗中國居民人均消費水平CPCCPC與人均國內生與人均國內生產總值產總值GDPPCGDPPC的協整關系。的協整關系。已知已知C與與GDP都是都是I(2)序列，它們的回歸式：序列，它們的回歸式： ttGDPC45831. 0764106.49R2=0.9981 通過對該式計算的殘差序列作通過對該式計算的殘