第3章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理

1、1211nniixxxxxnn u隨機(jī)誤差定義：測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)隨機(jī)誤差定義：測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差 iixx()n 0 xAiiiixAxxxAx射擊誤差射擊誤差示意圖示意圖 |xA 是粗大誤差是粗大誤差4x 1iipixE(X) dxxxpXE)()( )(XD 為什么測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)為什么測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？誤差大多接近正態(tài)分布？)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE222222)2exp(21)()0(

2、)( ddpED 2 隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差差相同，只是橫坐標(biāo)相差 ( (a a) )隨隨 機(jī)機(jī) 誤誤 差差( (b b) ) 測(cè)測(cè) 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)0 )( p x xp p( (x x) )0 0圖圖 3 3 1 1 隨隨 機(jī)機(jī) 誤誤 差差 和和 測(cè)測(cè) 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 的的 正正 態(tài)態(tài) 分分 布布 曲曲 線(xiàn)線(xiàn)隨機(jī)誤差具有：隨機(jī)誤差具有：對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性 單峰性單峰性 有界性有界性 抵償性抵償性 0)(p1 2 3 a bP(x)概率密度概率密度: :均值均值: : 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)

3、偏差: : 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 01)(abxpbxaxbxa ,2ba ba 32ab 3b ba 0 用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng) 則則nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n個(gè)可相同的測(cè)試數(shù)據(jù)個(gè)可相同的測(cè)試數(shù)據(jù)x xi i(i=1.2(i=1.2,n),n) 次數(shù)都計(jì)為次數(shù)都計(jì)為1 ,1 ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則 niiniixnnxXE1111)( n n（1 1）有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值）有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值算術(shù)平均值算術(shù)平均值被測(cè)量被測(cè)量X X的數(shù)學(xué)期望，的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)就是當(dāng)測(cè)量次數(shù) 時(shí)，各次測(cè)量值的算時(shí)，各

4、次測(cè)量值的算術(shù)平均值術(shù)平均值 n niixnx11有限次測(cè)量值的算術(shù)平均有限次測(cè)量值的算術(shù)平均值比測(cè)量值更接近真值？值比測(cè)量值更接近真值？ *)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n算術(shù)平均值算術(shù)平均值：殘差：殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值 ：xxii niiniixxnnxs1212)(1111)( nxsxs)()( niixnx11 【例【例3.13.1】 用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)

5、不變的溫度，得用溫度計(jì)重復(fù)測(cè)量某個(gè)不變的溫度，得1111個(gè)測(cè)個(gè)測(cè)量值的序列（見(jiàn)下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。量值的序列（見(jiàn)下表）。求測(cè)量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中計(jì)算各測(cè)量值殘差列于上表中實(shí)驗(yàn)偏差實(shí)驗(yàn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(767.111)(12Cnxsonii )(53.011767.1)()(Cnxsxso x內(nèi)包含真值的概率稱(chēng)為置信概率內(nèi)包含真值的概率稱(chēng)為置信概率 k kxEx )(置信概率是圖

6、中置信概率是圖中陰影部分面積陰影部分面積 kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP區(qū)間越寬，區(qū)間越寬，置信概率越大置信概率越大k（P=1)反正弦均勻三角分布236k k a 3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0 c a 0 t 圖3 7 多 種 系 統(tǒng) 誤 差 的 特 征 其 中 ： a -不 變 系 差 b -線(xiàn) 性 變 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -復(fù) 雜 規(guī) 律 變 化 系 差 d b 在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和

7、符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。 多次測(cè)量求平均不能減少系差多次測(cè)量求平均不能減少系差。 ii0ii0 存在線(xiàn)性變化的系統(tǒng)誤差存在線(xiàn)性變化的系統(tǒng)誤差無(wú)明顯系統(tǒng)誤差無(wú)明顯系統(tǒng)誤差21111snniii 2/112/ninniiiD 2/)1(12/)1(ninniiiD 統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過(guò)置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，的置信區(qū)間，凡超過(guò)置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法萊特檢驗(yàn)法 格拉布斯檢

8、驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法 si3 sG max 式中，式中，G G值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)n n及置信概率及置信概率PcPc確定確定 3456789101195%1.151.461.671.821.942.032.112.182.2399%1.161.491.751.942.12.222.322.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpn解：解： 計(jì)算得計(jì)算得 s=0.033s=0.033計(jì)算計(jì)算殘差填入表殘差填入表3 37

9、 7， 最大，最大， 是可疑數(shù)據(jù)。是可疑數(shù)據(jù)。 用萊特檢驗(yàn)法用萊特檢驗(yàn)法 3 3 s=3 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判斷故可判斷 是粗大誤差，應(yīng)予剔除。是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再 對(duì) 剔 除 后 的 數(shù) 據(jù) 計(jì) 算 得 ：再 對(duì) 剔 除 后 的 數(shù) 據(jù) 計(jì) 算 得 ： s s = 0 . 0 1 6 = 0 . 0 1 6 3 3s s= 0.048= 0.048各測(cè)量值的殘差各測(cè)量值的殘差V V填入表填入表3 37 7，殘差均小于，殘差均小于3 s3 s故故1414個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。404.20 x104. 08 8x8x411.20 x【例

10、【例3.33.3】 對(duì)某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，所得對(duì)某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，所得結(jié)果列于表結(jié)果列于表3 37 7，試檢查測(cè)量數(shù)據(jù)中有無(wú)粗大誤差。，試檢查測(cè)量數(shù)據(jù)中有無(wú)粗大誤差。 niixnx11xxii 01 nii niins1211 nssx xskxA 1205.300.090.099205.710.410.410.50.52204.94-0.4-0.4-0.27-0.2710204.7-0.6-0.6-0.51-0.513205.630.330.330.420.4211204.86-0.44-0.44 -0.35-0.354205.24-0.1-0.10.030.0312205.350.050.050.140.145206.651.351.3513205.21-0.09-0.09 06204.97-0.3-0.3-0.24-0.2414205.19-0.11-0.11 -0.02-0.027205.360.060.060.150.1515205.21-0.09-0.09 08205.16-0.1-0.1-0.05-0.0516205.320.020.020.110.11殘殘 差差殘殘 差差測(cè)量值測(cè)量值序號(hào)序號(hào)殘殘 差差 殘殘 差差序號(hào)序號(hào)測(cè)量值測(cè)量值-0 .8-0 .6-0 .4-0 .200 .20 .40 .6圖 3 9 殘 差 圖51 01 5n