函數(shù)的連續(xù)性66201學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性的連續(xù)性66201第一頁，共26頁。一、函數(shù)一、函數(shù)(hnsh)連連續(xù)的概念續(xù)的概念 二、初等二、初等(chdng)函數(shù)的連續(xù)性法函數(shù)的連續(xù)性法三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第1頁/共25頁第二頁，共26頁。 如同體溫的升降、血液的流動(dòng)、機(jī)體的成長等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界如同體溫的升降、血液的流動(dòng)、機(jī)體的成長等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界(shji)中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映0 xy 連續(xù)變化的變量反映在圖像上為連續(xù)曲線連

2、續(xù)變化的變量反映在圖像上為連續(xù)曲線(qxin)，連續(xù)曲線，連續(xù)曲線(qxin)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)第2頁/共25頁第三頁，共26頁。把函數(shù)把函數(shù)(hnsh)xy0 x y )(xfy 在點(diǎn) 0 x附近(fjn)的點(diǎn) 記為 0 xx，這 時(shí) 稱為自變量由 0 x變到 的增量增量（或稱 自變量的改變量） 當(dāng)自變量 x由 0 x變到 0 xx時(shí)，函數(shù)值由 變到 則我們稱 為函數(shù) ( )yf x在點(diǎn) 0 x處的增量增量（或稱函數(shù)的改變量），記為 第3頁/共25頁第四頁，共26頁。定義定義(dngy)19設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( )yf x在點(diǎn) 0 x及其附近(fjn)有定義， 當(dāng)自變量 在

3、 0 x的增量 時(shí)，有 則稱函數(shù) 在點(diǎn) 0 x處連續(xù)， 0 x稱為 ( )f x的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn) 函數(shù)( )f x在點(diǎn) 0 x處連續(xù)可以等價(jià)定義為： )()(lim00 xfxfxx因此，函數(shù) ( )yf x在 0 x處連續(xù)的必要充分條件是： ( )f x在 0 x處有定義； 存在； 第4頁/共25頁第五頁，共26頁。單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù)(linx)顯然顯然00 ( )( ).f xxf xx函數(shù)在處連續(xù)是函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)即：即：000lim( )()lim( )xxxxf xf xf x第5頁/共25頁第六頁，共26頁。 例例1-251-25 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)處連續(xù),0( )sin,

4、0abxxf xbxxx0 x 問問、應(yīng)滿足什么關(guān)系應(yīng)滿足什么關(guān)系?ab解：解：第6頁/共25頁第七頁，共26頁。連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)函數(shù)與函數(shù)與連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)區(qū)間區(qū)間 在區(qū)間上每一點(diǎn)在區(qū)間上每一點(diǎn)(y din)(y din)都連續(xù)的函數(shù)都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)間叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). .連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)函數(shù)的圖形是一條(y tio)(y tio)連續(xù)而不間斷連續(xù)而不間斷的曲線的曲線. .第7頁/共25頁第八頁，共26頁。例例1-261-26證明證明(zhngmng)第8頁/共25頁

5、第九頁，共26頁。3 3函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) 函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為(chn wi)函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn),即滿足下列即滿足下列三個(gè)條件之一的點(diǎn)三個(gè)條件之一的點(diǎn) 為函數(shù)為函數(shù) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).0 x( )f x第9頁/共25頁第十頁，共26頁。函數(shù)(hnsh)的間斷點(diǎn)通常分為兩類 左、右極限(jxin)都存在的則 稱為(chn wi)第一類間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱 為第二類間斷點(diǎn) 例例1-27函數(shù) 在點(diǎn) 處無定義，所以函 數(shù)在點(diǎn) 0 x 處是間斷點(diǎn)，由 可知屬于第一類間斷點(diǎn)如果定義第10頁/共25頁第十一頁，共26頁。則函數(shù)(hns

6、h) ( )f x在點(diǎn) 0 x 處連續(xù)這種情況(qngkung)的第一類間斷點(diǎn) 稱為(chn wi)可去間斷點(diǎn) 例例1-281-28在在 的連續(xù)性。的連續(xù)性。x1第11頁/共25頁第十二頁，共26頁。解解:(1)1f 注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)(hnsh)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第12頁/共25頁第十三頁，共26頁。oxy解解:00lim( )0, lim( )1xxf xf x例例1-29討論(toln)函數(shù) ，在 0 x 處的連續(xù)性。 oxy例例1-30討論(toln)函數(shù)在0 x 處的連續(xù)性。第13頁/共25頁第十四頁，共26頁。解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?yn wi)所以(

7、suy)0 x 為函數(shù)(hnsh)( )f x的第二類間斷點(diǎn)， 這種間斷點(diǎn)稱為 無窮間斷點(diǎn)。無窮間斷點(diǎn)。 xy1sin 1-1-0.50.5yx例例1-31討論函數(shù)在0 x 處的連續(xù)性。解：解：因?yàn)楹瘮?shù)在0 x 處沒有意義，且極限不存在，所以0 x 為函數(shù)( )f x的第二類間斷點(diǎn)， 這種間斷點(diǎn)稱為振蕩間斷點(diǎn)。振蕩間斷點(diǎn)。第14頁/共25頁第十五頁，共26頁。第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)可去型可去型第一類間斷第一類間斷(jindun)點(diǎn)點(diǎn)oyx跳躍跳躍(tioyu)型型無窮無窮(wqing)型型振蕩型振

8、蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x第15頁/共25頁第十六頁，共26頁。（1）一切基本(jbn)初等函數(shù)在其有定義的點(diǎn)都是連續(xù)的（2）若函數(shù)(hnsh) ( )f x與 在 處連續(xù)，則函數(shù) 及 在 0 xx點(diǎn)連續(xù) （3）若函數(shù) 在點(diǎn) 0 xx處連續(xù)，設(shè) 而函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 0 xx處連續(xù) 由以上結(jié)論可知，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的第16頁/共25頁第十七頁，共26頁。由于(yuy)函數(shù)在其連續(xù)點(diǎn) 0 x滿足(mnz) 所以初等(chdng)函數(shù)在其有定義的點(diǎn)處求極限的問題就轉(zhuǎn)化為求這一點(diǎn)的函數(shù)值例例1-32

9、 求求2arctan185 1解：解：21arctanlim5xxx例例1-33 求求第17頁/共25頁第十八頁，共26頁。解：雖然解：雖然(surn)當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)函數(shù)沒有(mi yu)定義，但是因?yàn)樗?suy)例例1-34 求求解：解：第18頁/共25頁第十九頁，共26頁。定理定理(dngl)1-3（最值定理（最值定理(dngl)） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( )f x在閉區(qū)間(q jin) 上連 續(xù)，則 ( )f x在該區(qū)間必有最大值和最小值。ab 推論推論（有界性定理）（有界性定理） 若函數(shù)若函數(shù) 閉區(qū)間閉區(qū)間 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上必有界。上必有界。( )yf x, a

10、b( )yf x, a b第19頁/共25頁第二十頁，共26頁。定理定理(dngl)1-4（介值定理（介值定理(dngl)）設(shè)函數(shù)）設(shè)函數(shù) ( )f x在閉區(qū)間(q jin) , a b上連 續(xù)，則對(duì)介于(ji y) 和 之間的任何值 ，在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使 此定理的幾何意義是：連續(xù)曲線 ( )yf x與水平直線 至少相交于一點(diǎn)，如圖所示。ycabf(a)f(b)第20頁/共25頁第二十一頁，共26頁。特別(tbi)地，若 ( )f a與 ( )f b異號(hào)（即 ），則 連續(xù)(linx)曲線 ( )yf x與 x軸至少(zhsho)有一個(gè)交點(diǎn)，亦即方程 在區(qū)間 , a b內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)

11、根。 ba( )f x注意：注意：根不一定唯一。根不一定唯一。第21頁/共25頁第二十二頁，共26頁。例例1-39 證明證明3210 xx 在在0，1內(nèi)至少有一個(gè)根內(nèi)至少有一個(gè)根.證明證明3( )21f xxx在在0 ，1上連續(xù)上連續(xù)(0)1,(1)1,(0) (1)0ffff 而而由根的存在定理知，存在由根的存在定理知，存在 (0 1),使得使得3210 xx 在在0，1內(nèi)至少有一個(gè)根。內(nèi)至少有一個(gè)根。即即第22頁/共25頁第二十三頁，共26頁。1函數(shù)函數(shù)(hnsh)連續(xù)的定義連續(xù)的定義2間斷間斷(jindun)點(diǎn)點(diǎn)類型類型：第一類第一類第二類第二類可去型可去型跳躍型跳躍型無窮無窮振蕩振蕩初等初等(chdng)函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)主要內(nèi)容主要內(nèi)容第23頁/共25頁第二十四頁，共26頁。第24頁/共25頁第二十五頁，共26頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性。如同體溫的升降、血液的流動(dòng)、機(jī)體的成長等，在