高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點(diǎn)專題訓(xùn)練專題12拋物線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長問題（含答案）

1、專題12拋物線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長問題一、單選題1過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（ ）ABCD2已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，并交拋物線于，兩點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）ABCD13直線l過拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2)，則拋物線C的方程為（ ）Ay22x或y24xBy24x或y28xCy26x或y28xDy22x或y28x4過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，若為定值，則這個(gè)定值是（ ）ApB2pCD5已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線l1與拋物

2、線C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為（）A16B20C24D326過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（ ）A3B2CD17過拋物線：焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）ABCD8設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則面積的取值范圍是（ ）ABCD二、多選題9已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A點(diǎn)的坐標(biāo)為B若直線過點(diǎn)，則C若，則的最小值為D若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為10已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn).若線段的長是16，中點(diǎn)到軸的距離是

3、6，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）A拋物線的方程是B拋物線的準(zhǔn)線為C直線的斜率為1D的面積為11若拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線的切線，設(shè)交于點(diǎn)P，下列命題正確的有（ ）ABCD點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值12已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則（ ）ABCD點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)三、填空題13已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則_14直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段被點(diǎn)平分，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_.15已知拋物線yx2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|NF|，則|MF|_.16在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，若，則

4、的面積為_.四、解答題17已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且與的橫坐標(biāo)之和為4，求的值及18已知過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交C于，兩點(diǎn)，.（1）求拋物線C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，D為C上一點(diǎn)，若，求的值.19已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線C上一點(diǎn)，|MF|=8，且OFM=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求AOB面積的最小值.20已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線：（1）若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，

5、求的面積21橢圓的焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過的焦點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)（1）求橢圓及拋物線的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由22已知拋物線：，過點(diǎn)的直線交拋物線于，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的方程；（2）過作與直線垂直的直線交拋物線于，求四邊形面積的最小值專題12 拋物線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長問題一、單選題1過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（ ）ABCD【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得，所

6、以或（舍），所以，可得，則故選：C.2已知直線過拋物線：的焦點(diǎn)，并交拋物線于，兩點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）ABCD1【解析】如圖，由題意可得拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線于，過分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故選：C3直線l過拋物線C：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2)，則拋物線C的方程為（ ）Ay22x或y24xBy24x或y28xCy26x或y28xDy22x或y28x【解析】由題可得直線l的方程為，與拋物線方程C：y22px(p>0)聯(lián)立，得k2x2k2px2px0AB的中點(diǎn)為M

7、(3，2)，解得k1或k2，p2或p4，拋物線C的方程為y24x或y28x故選：B4過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，若為定值，則這個(gè)定值是（ ）ApB2pCD【解析】拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 可取過F與x軸垂直的直線x，把x代入y22px，得y±p，假設(shè)， 故|MF|p，|NF|p，所以， 即該定值為故選：D5已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線l1與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為（）A16B20C24D32【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)，設(shè)直線l1：，直線l2：

8、由題意可知，則，聯(lián)立，整理得：設(shè)，則，設(shè)，同理可得： 由拋物線的性質(zhì)可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式“”成立的最小值24.故選：C6過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（ ）A3B2CD1【解析】方法一：如圖，分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)由已知條件及拋物線的定義，得，所以在中，因?yàn)?，所以，所以，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即方法二：依題意，直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線的方程，得設(shè)，則因?yàn)?，所以，即，所以，解得故選：C.7過拋物線：焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）ABCD【解析】由題設(shè)，令為，聯(lián)立拋物

9、線方程并整理得，若，則，又易得，則，即， 又，而，即，又，則，故.故選：D8設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則面積的取值范圍是（ ）ABCD【解析】因?yàn)橹本€與拋物線相交于兩點(diǎn)，所以該直線斜率不為零，設(shè)該直線的方程為，其中不同時(shí)為零；設(shè)，由可得，則，即；因此，又，所以，即，解得；所以；又點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，即面積的取值范圍是.故選：D.二、多選題9已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A點(diǎn)的坐標(biāo)為B若直線過點(diǎn)，則C若，則的最小值為D若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【解析】對于A，拋物線，即，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；對于B，顯然直線斜率存在，設(shè)直線的方程為

10、，聯(lián)立，整理得，故B正確；對于C，若，則過點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，即拋物線通經(jīng)的長，故C正確，對于D，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂直線，垂足分別為，所以，所以，所以線段，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故D正確故選：BCD10已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于，兩點(diǎn).若線段的長是16，中點(diǎn)到軸的距離是6，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）A拋物線的方程是B拋物線的準(zhǔn)線為C直線的斜率為1D的面積為【解析】依題意直線過拋物線的焦點(diǎn)，中點(diǎn)到軸的距離是6，結(jié)合拋物線的定義可知，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線為，所以A正確，B錯(cuò)誤.拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，消去并化簡得，設(shè)，則.所以，解得.所以C錯(cuò)誤.當(dāng)

11、時(shí)，直線的方程為，即，原點(diǎn)到直線的距離為，所以.當(dāng)時(shí)，同理求得，D正確.故選：AD11若拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線的切線，設(shè)交于點(diǎn)P，下列命題正確的有（ ）ABCD點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值【解析】由題意，直線的傾斜角為滿足.設(shè)直線的方程為,由，得 ，故選項(xiàng)A正確. ,所以選項(xiàng)C不正確.設(shè)的方程為 ，由，得 ，所以 ，即，即，所以，則，同理設(shè)的方程為，可得所以，所以，故選項(xiàng)B正確.所以的方程為，即，同理的方程為，則由，可得，將其代入其中一個(gè)方程可得 ，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD12已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則（

12、）ABCD點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)【解析】對于A，設(shè)，由得：，又線段的中點(diǎn)為，解得：，A正確；對于B，在直線上，B正確；對于C，過點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，又，在以為直徑的圓上，D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題13已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則_【解析】聯(lián)立，得：，即，設(shè)，則，所以.14直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若線段被點(diǎn)平分，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_.【解析】設(shè)，由線段被點(diǎn)平分，可知，又，所以，由題意可知，直線的斜率存在，且為1，所以，所以，即，所以.故拋物線的準(zhǔn)線方程為.15已知拋物線yx2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|NF|，則|MF|_.【解

13、析】如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|NF|，在RtNHM中，|NM|NH|，則NMH45°.在MFK中，F(xiàn)MK45°，所以|MF|FK|.而|FK|1.所以|MF|.16在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，若，則的面積為_.【解析】拋物線的焦點(diǎn)，因點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，由拋物線對稱性，不妨令點(diǎn)A在第一象限，則直線AF傾斜角為，如圖，直線AF方程為：，由消去x得：，解得，于是得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，從而有，所以的面積為.四、解答題17已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且與的橫坐標(biāo)

14、之和為4，求的值及【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，的方程為（2）設(shè)，則，兩式相減得， ，聯(lián)立，消去整理得，直線過拋物線的焦點(diǎn)，18已知過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交C于，兩點(diǎn)，.（1）求拋物線C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，D為C上一點(diǎn)，若，求的值.【解析】（1）直線的方程可表示為，與拋物線方程聯(lián)立可得方程組，消去y得，解得，.由于直線過焦點(diǎn)，故，得，解得，所以拋物線C的方程為.（2）由（1）知，.設(shè)，由，得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)D在C上，所以，化簡得，解得或.19已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線C上一點(diǎn)，|MF|=8，且OFM=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)

15、).（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求AOB面積的最小值.【解析】（1）拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，如圖，依題意得：，即，解得，拋物線C的方程為；（2）焦點(diǎn)F(2，0)，由題意知直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l方程為，由消去x得，設(shè)，則有，而坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以AOB面積的最小值為8.20已知拋物線：，坐標(biāo)原點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，直線：（1）若與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求的面積【解析】（1）依題意消去得，即，當(dāng)時(shí)，顯然方程只有一個(gè)解，滿足條件；當(dāng)時(shí)，解得；綜上，當(dāng)或時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）拋物線：，所以焦點(diǎn)，所以直線方程為，設(shè)，由，消去得，所以，所以，所以.21橢圓的焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過的焦點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)（1）求橢圓及拋物線的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【解