第08章空間問題的解答ppt課件

1、第八章第八章空間問題的解答空間問題的解答本章將介紹空間問題求解的基本方法按位移本章將介紹空間問題求解的基本方法按位移求解和按應(yīng)力求解。主要內(nèi)容如下：求解和按應(yīng)力求解。主要內(nèi)容如下：1 1、按位移求解空間問題；、按位移求解空間問題；2 2、按位移求解空間問題的應(yīng)用半空間體受、按位移求解空間問題的應(yīng)用半空間體受重力和均布?jí)毫?、半空間體在邊界上受法向集中重力和均布?jí)毫Α肟臻g體在邊界上受法向集中力）；力）； 3 3、按應(yīng)力法求解空間問題；、按應(yīng)力法求解空間問題；本章學(xué)習(xí)指南本章學(xué)習(xí)指南本章學(xué)習(xí)指南本章學(xué)習(xí)指南 彈性力學(xué)一般空間問題的未知數(shù)為彈性力學(xué)一般空間問題的未知數(shù)為1515個(gè)：個(gè)：6 6個(gè)應(yīng)個(gè)應(yīng)

2、力分量、力分量、6 6個(gè)應(yīng)變分量、個(gè)應(yīng)變分量、3 3個(gè)位移分量?；痉匠虜?shù)為個(gè)位移分量?；痉匠虜?shù)為1515個(gè)，此外還有邊界條件和變形協(xié)調(diào)方程。個(gè)，此外還有邊界條件和變形協(xié)調(diào)方程。 空間問題與平面問題具有相似性：基本未知數(shù)、空間問題與平面問題具有相似性：基本未知數(shù)、基本方程、邊界條件和求解方法均是類似的；基本方程、邊界條件和求解方法均是類似的； 空間問題的兩種基本解法按位移和按應(yīng)力與空間問題的兩種基本解法按位移和按應(yīng)力與平面問題相比，在思路和步驟上極其相似，可參照平平面問題相比，在思路和步驟上極其相似，可參照平面問題來學(xué)習(xí)和理解；面問題來學(xué)習(xí)和理解；對于空間問題，位移法比應(yīng)力法更重要。它能適用

3、對于空間問題，位移法比應(yīng)力法更重要。它能適用于各種邊界條件，并且基本未知函數(shù)數(shù)目相對更少；于各種邊界條件，并且基本未知函數(shù)數(shù)目相對更少；q 按位移求解空間問題按位移求解空間問題q 半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體受重力和均布?jí)毫 半空間體在邊界上受法向集中半空間體在邊界上受法向集中q 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容8.1 按位移求解空間問題按位移求解空間問題按位移求解：以按位移求解：以 3 個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)，個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)，從從 15 個(gè)基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和應(yīng)個(gè)基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含變分量，導(dǎo)出只含 3 個(gè)位

4、移分量的基本微分方程和個(gè)位移分量的基本微分方程和邊界條件，由此解出位移分量。然后根據(jù)幾何方程邊界條件，由此解出位移分量。然后根據(jù)幾何方程和物理方程求應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。和物理方程求應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。按位移求解空間問題具體過程按位移求解空間問題具體過程以以 3 個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它 12 個(gè)未知個(gè)未知函數(shù)須用函數(shù)須用 3 個(gè)位移分量表示；個(gè)位移分量表示；1、應(yīng)變用位移表示：直接采用幾何方程、應(yīng)變用位移表示：直接采用幾何方程(7-8) ； 2、應(yīng)力用位移表示：將幾何方程、應(yīng)力用位移表示：將幾何方程(7-8)代入用應(yīng)變表示的物理代入用應(yīng)變

5、表示的物理方程方程(7-14)，得到用位移表示的物理方程，得到用位移表示的物理方程(8-1) ；3、求解位移的最基本方程：將上述彈性方程、求解位移的最基本方程：將上述彈性方程(8-1)代入平衡微代入平衡微分方程分方程(7-1)，可得用位移表示的平衡微分方程，可得用位移表示的平衡微分方程(8-2)， 它是按它是按位移求解的最基本方程；位移求解的最基本方程； 4、邊界條件用位移表示：將式、邊界條件用位移表示：將式(8-1)代入應(yīng)力邊界條件代入應(yīng)力邊界條件(7-5)，得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件；對于位移邊界條件，其形得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件；對于位移邊界條件，其形式不變，仍然用式式不變，仍然用

6、式(7-9)表示；表示；按位移求解空間問題總結(jié)按位移求解空間問題總結(jié)（1 1使位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的平衡使位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的平衡微分方程微分方程(8-2) (8-2) ；（2 2同時(shí)在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條同時(shí)在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件件(7-5)(7-5)或位移邊界條件或位移邊界條件(7-9) (7-9) 。上述條件也是位移解的校核條件。上述條件也是位移解的校核條件。求解出位移分量后，代入幾何方程求解出位移分量后，代入幾何方程(7-8)(7-8)求應(yīng)變分求應(yīng)變分量，代入方程量，代入方程(8-1)(8-1)求應(yīng)力分量。求應(yīng)力分量。空間問題按位移求解的

7、方法，位移滿足條件為：空間問題按位移求解的方法，位移滿足條件為：按位移求解空間問題總結(jié)按位移求解空間問題總結(jié) 總之，其位移滿足條件為：（總之，其位移滿足條件為：（1在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程方程(8-4) ；（；（2在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件(7-5)或位移邊界條件或位移邊界條件(7-9) 。上述條件也是位移解的校核條件。上述條件也是位移解的校核條件。求解出位移分量后，代入幾何方程求應(yīng)變分量，代入求解出位移分量后，代入幾何方程求應(yīng)變分量，代入方程方程(8-3)求應(yīng)力分量。求應(yīng)力分量。 空間軸對稱問題按位移求解：此類問題基本方程空間

8、軸對稱問題按位移求解：此類問題基本方程(7-15)、 (7-16)、 (7-17)和基本未知函數(shù)都簡化為和基本未知函數(shù)都簡化為 10 個(gè)。按位移求解個(gè)。按位移求解的推導(dǎo)過程與上面完全相同，只不過方程的個(gè)數(shù)及具體形式的推導(dǎo)過程與上面完全相同，只不過方程的個(gè)數(shù)及具體形式不同。并且，其邊界面多為坐標(biāo)面，邊界條件相對簡單。不同。并且，其邊界面多為坐標(biāo)面，邊界條件相對簡單。q 按位移求解空間問題按位移求解空間問題q 半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體受重力和均布?jí)毫 半空間體在邊界上受法向集中半空間體在邊界上受法向集中q 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容8.2 半空間體受重力和均布?jí)?/p>

9、力半空間體受重力和均布?jí)毫θ缦聢D，有半空間體，密度為如下圖，有半空間體，密度為r r，在水平邊界上均布?jí)毫?，在水平邊界上均布?jí)毫 q。顯然，它屬于空間問題。坐標(biāo)顯然，它屬于空間問題。坐標(biāo)系如圖所示。采用按位移求解的方系如圖所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函數(shù)為三個(gè)位移分法，其基本未知函數(shù)為三個(gè)位移分量，必須滿足：量，必須滿足：（1 1在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的平衡微分方程平衡微分方程8-28-2）；）； （2 2同時(shí)在邊界上滿足用位移表同時(shí)在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件示的應(yīng)力邊界條件(7-5)(7-5)或位移邊或位移邊界條件界條件(7-9) (7-9) 。

10、半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體受重力和均布?jí)毫? 1、如圖可知，該問題具有對稱性、如圖可知，該問題具有對稱性，任何，任何x x和和y y面均為對稱面，而面均為對稱面，而x x和和y y向的位移本身不對稱于任意垂直平向的位移本身不對稱于任意垂直平面，故可作如下假設(shè)：面，故可作如下假設(shè)：2 2、將上述位移代入用位移表示的平衡微分方程、將上述位移代入用位移表示的平衡微分方程8-28-2），前兩），前兩式自然滿足，第三式經(jīng)整理后成為如下的常微分方程：式自然滿足，第三式經(jīng)整理后成為如下的常微分方程： )(, 0zwwvugEdzwd)1 ()21)(1 (22積分得：積分得：BAzgEzw2)()1

11、(2)21)(1 ()(半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體受重力和均布?jí)毫? 3、求應(yīng)力分量：將所求得的位移代入用位移表示的物理方、求應(yīng)力分量：將所求得的位移代入用位移表示的物理方程程8-18-1），整理得：），整理得：為了求得常數(shù)為了求得常數(shù)B，必須利用位移邊界條件。為此假定半空間，必須利用位移邊界條件。為此假定半空間體在距邊界為體在距邊界為h處沒有位移，即有如下位移邊界條件：處沒有位移，即有如下位移邊界條件：4、由邊界條件確定選定常數(shù)、由邊界條件確定選定常數(shù)A和和B0),(),(1yzxzxyzyxAzgAzg代入可解得常數(shù)代入可解得常數(shù)A： gqA0hzw由此解得常數(shù)由此解得常數(shù)B，進(jìn)而求

12、得所有的應(yīng)力，進(jìn)而求得所有的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量。分量、應(yīng)變分量、位移分量。 qzz0)(上邊界面上的邊界條件為：上邊界面上的邊界條件為：q 按位移求解空間問題按位移求解空間問題q 半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體受重力和均布?jí)毫 半空間體在邊界上受法向集中半空間體在邊界上受法向集中q 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容8.3 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力如下圖，有半空間體，體力不計(jì)，在水平邊界上受法向集中力如下圖，有半空間體，體力不計(jì)，在水平邊界上受法向集中力F F。顯然，它屬于空間軸對稱問題，其顯然，它屬于空間軸對稱問題，其對稱軸就是

13、集中力的作用線。坐標(biāo)系對稱軸就是集中力的作用線。坐標(biāo)系如圖所示。采用按位移求解的方法，如圖所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函數(shù)只有兩個(gè)位移分量，其基本未知函數(shù)只有兩個(gè)位移分量，且與環(huán)向坐標(biāo)且與環(huán)向坐標(biāo) j j 無關(guān)，只是徑向坐無關(guān)，只是徑向坐標(biāo)標(biāo) r r 和軸向坐標(biāo)和軸向坐標(biāo) z z 的函數(shù)。它們必的函數(shù)。它們必須滿足：須滿足：1 1、在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的空間、在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的空間軸對稱問題的平衡微分方程，教材中軸對稱問題的平衡微分方程，教材中的公式的公式a a）；）；半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力由于集中力作用在原點(diǎn)，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮

14、：由于集中力作用在原點(diǎn)，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：（1 1不包含原點(diǎn)，則在不包含原點(diǎn)，則在r0 r0 ， z= 0 z= 0 的邊界面上，沒有任何法的邊界面上，沒有任何法向和切向面力作用，因而應(yīng)力邊界條件為向和切向面力作用，因而應(yīng)力邊界條件為2 2、在邊界上滿足如下邊界條件：、在邊界上滿足如下邊界條件：（2 2在原點(diǎn)附近，可以看成是一局部的小邊界面。在此小邊界處在原點(diǎn)附近，可以看成是一局部的小邊界面。在此小邊界處有面力的作用，而面力可以向原點(diǎn)靜力等效為作用于原點(diǎn)的主失量有面力的作用，而面力可以向原點(diǎn)靜力等效為作用于原點(diǎn)的主失量為為 F F ，主矩為，主矩為 0 0 的情形。按照圣維南原理

15、來進(jìn)行處理，取一個(gè)的情形。按照圣維南原理來進(jìn)行處理，取一個(gè) 0 0 到到 z z 的平板脫離體，考慮其靜力平衡條件，得到一個(gè)平衡方程，即的平板脫離體，考慮其靜力平衡條件，得到一個(gè)平衡方程，即教材式教材式C C）；由于軸對稱，其余平衡條件自然滿足。）；由于軸對稱，其余平衡條件自然滿足。3 3、布西內(nèi)斯克滿足上述所有條件的解答：見教材的公式、布西內(nèi)斯克滿足上述所有條件的解答：見教材的公式8-68-6）、（、（8-78-7）0,00,00,0zzzz（b b）半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力上述解答其應(yīng)力分布特征如下：上述解答其應(yīng)力分布特征如下：1 1、在離開集中力作用點(diǎn)非常

16、遠(yuǎn)處，應(yīng)力非常??；在靠近、在離開集中力作用點(diǎn)非常遠(yuǎn)處，應(yīng)力非常??；在靠近集中力作用點(diǎn)處，應(yīng)力非常大。集中力作用點(diǎn)處，應(yīng)力非常大。2 2、水平截面上的應(yīng)力與彈性參數(shù)無關(guān)，因而在任何材料、水平截面上的應(yīng)力與彈性參數(shù)無關(guān)，因而在任何材料的彈性體中都是同樣分布。其它截面上的應(yīng)力一般都隨泊松比的彈性體中都是同樣分布。其它截面上的應(yīng)力一般都隨泊松比而變。而變。3 3、水平截面上的全應(yīng)力都指向集中力的作用點(diǎn)。、水平截面上的全應(yīng)力都指向集中力的作用點(diǎn)。利用上述半空間體在邊界上受法向集中力時(shí)的解答，根據(jù)疊利用上述半空間體在邊界上受法向集中力時(shí)的解答，根據(jù)疊加原理，可求得由法向分布力所引起的位移和應(yīng)力解答。加原理

17、，可求得由法向分布力所引起的位移和應(yīng)力解答。q 按位移求解空間問題按位移求解空間問題q 半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體受重力和均布?jí)毫 半空間體在邊界上受法向集中半空間體在邊界上受法向集中q 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容8.4 按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解：以按應(yīng)力求解：以 6 6 個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從從 15 15 個(gè)基本方程和邊界條件中消去位移分量和應(yīng)變個(gè)基本方程和邊界條件中消去位移分量和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含分量，導(dǎo)出只含 6 6 個(gè)應(yīng)力分量的基本微分方程和邊個(gè)應(yīng)力分量的基本微分方程和邊界條件，由此解出應(yīng)力分量。

18、然后根據(jù)物理方程和幾界條件，由此解出應(yīng)力分量。然后根據(jù)物理方程和幾何方程求應(yīng)變分量和位移分量。何方程求應(yīng)變分量和位移分量。按應(yīng)力求解空間問題具體過程按應(yīng)力求解空間問題具體過程以以 6 個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它 9 個(gè)未知函數(shù)個(gè)未知函數(shù)須用須用 6 個(gè)應(yīng)力分量表示；個(gè)應(yīng)力分量表示；1、三個(gè)平衡微分方程，只包含應(yīng)力分量，它是按應(yīng)力求解的最基本、三個(gè)平衡微分方程，只包含應(yīng)力分量，它是按應(yīng)力求解的最基本方程；方程；2、從幾何方程中消除位移分量：利用幾何方程，進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算、從幾何方程中消除位移分量：利用幾何方程，進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算，可得到，可得到6個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系式，即變形協(xié)調(diào)方程或相容方程，個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系式，即變形協(xié)調(diào)方程或相容方程，即教材中的式即教材中的式(8-10)和和(8-11)；3、將物理方程、將物理方程(7-12)代入上述相容方程代入上述相容方程(8-10)和和(8-11) ，可得用應(yīng)力，可得用應(yīng)力分量表示的相容方程分量表示的相容方程(8-12)， 或無體力情況下的式或無體力情況下的式(8-13) ；4、假設(shè)全部邊界都為應(yīng)力邊界條件，則在邊界上應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條、假設(shè)全部邊界都為應(yīng)力邊界條件，則在邊界上應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件件(7-5) ；按應(yīng)力求解空間問題總結(jié)按應(yīng)力求解空間問題總結(jié)空間問題按應(yīng)力求