湖南省師大附中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考試題(二)理(含解析)

1、時(shí)量：120分鐘滿分：150分-17-一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若集合A=1,2,B=1,2,3,4，則滿足AUX=B的集合X的個(gè)數(shù)為(D)A.1B.2C.3D.4【解析】集合X可以是3,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4共4個(gè)，故選D.2.在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足sin2A+sin2B-sin2C=,；3sinAsinB，則角C的大小為(A)A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】222-a+bc%f3由正弦疋理知：a+bc=3ab，則cosC2,

2、又0°<C<180°,則C=30°.3 .已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5，異)，且P(X<7)=0.8，貝UP(3<X<5)=(C)A.0.6B.0.4C.0.3D.0.22【解析】由題意，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5,6)，所以正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=5,因?yàn)镻(X<7)=0.8,所以P(X>7)=0.2,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，所以P(3<X<5)=0.50.2=0.3，故選C.4 .已知數(shù)列an是首項(xiàng)為3,公差為d(dN*)的等差數(shù)列，若2019是該數(shù)列的一項(xiàng)，則公差d不可能是(D)A.2B.3C.

3、4D.5【解析】由題設(shè)，an=3+(n1)d,2019是該數(shù)列的一項(xiàng)，即2019=3+(n1)d，所以n-+d1，因?yàn)閐N,所以d是2016的約數(shù)，故d不可能是5,故選D.5公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)，利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出n的值為(參考數(shù)據(jù)：1.732,sin15°0.2588,sin7.5°0.1305)(B)A.12B.24C.48D.96【解析】執(zhí)行程序：n=6,S=3sin6

4、0=竽，不滿足條件S>3.10;n=12,S=6sin30=3,不滿足條件S>3.10;n=24,S=12sin15°12X0.2588=3.1056，滿足條件S>3.10，退出循環(huán).輸出n的值為24.故選B.y>x,6.設(shè)變量x,y滿足約束條件x+3yw4,則z=|x3y|的取值范圍是（C）x>-2,A.2,8By>x,【解析】作出約束條件x+3y<4,對(duì)應(yīng)的可行域如圖,x>2|x3y|z=|x3y|=，10下0,其中|x3y|10表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）到直線x3y=0的距離，由圖可知，點(diǎn)A(2,2)到直線x83y=0的距離最大，

5、最大為；又距離最小顯然為0，所以z=|x3y|的取值范圍為0,>/108，故選C.7.已知x-"的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，記展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)x為第k項(xiàng)，則k=(B)A.6B.7【解析】x1"的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以n=4+7=11,x第r+1項(xiàng)系數(shù)為T(mén)r+1=C1(1)r=6時(shí)Tr+1最大，故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng).8.如圖直角坐標(biāo)系中，角0<a<3<0的終邊分別交單位圓于A,B兩點(diǎn)，若B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一13'且滿足3冗$oab=-，則sina+石的值為（A）A.¥B.13C.H1313

6、13【解析】由圖知/xOA=a,ZxOB=3，且sin3=-513由于Saoab=，即nny，即a=3+.則n3+p=cos3='1sin3=121.故選A.9已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積是(A)39n一45nA.+33B.4+C.D.49n1【解析】幾何體為圓錐挖掉4個(gè)圓臺(tái).其表面積為:3 1X2nX2X4+X4 21-X2nX1x2+432121s表=4八2+4八1+x39n+33.故選a.10. 將函數(shù)f(x)=In(x+1)(x>0)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角B(0,a),得到曲線C,若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角0,曲線C都仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像，則a的最大值為

7、(D)nnnA.nB.2C.D.【解析】函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x>0)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)且僅1當(dāng)其任意切線都不經(jīng)過(guò)y軸時(shí)，其圖像都仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像.因?yàn)閒'(x)=在0,.XII+m)是減函數(shù)且0<f'(x)<1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x>0)的圖像的切線中，在x=0處切線的傾斜角最大，其值為n.由此可知amax=nn=n，故4244選D.11. 已知拋物線y2=4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|的最大值為(C)A.4B.6C.8D.10【解析】設(shè)A(X1,yj,B(X2,y2

8、)，貝UX1+X2=6,所以|AB|<|AF|+|BF|=X1+X2+2=8,當(dāng)弦AB過(guò)焦點(diǎn)F(1,0)時(shí)取得最大值8.故選C.12. 在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCA1B1CD中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形DCGD,面內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足/APD=ZMPC則三棱錐PBCD的體積最大值是(D)A.36B.24C.18.3D.123PDad【解析】易知APSAMPC則pc=mc=2,欲使三棱錐PBCD的體積最大，只需高最大，通過(guò)坐標(biāo)法得到動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡(一段圓弧)，進(jìn)而判斷高的最大值=3X2X6X6X2.'3=12.'3.二、填空題，本大題共4小題，每小題5分，共20分

9、.Z113. 已知xR,復(fù)數(shù)zi=1+xi,Z2=2+i，若一為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)2：3,所以(VpBcDmaxx的值為一2乙1+xi(1+xi)(2i)2+x2x1+【解析】Z22+i(2+i)(2i)5i為純虛數(shù)，則辛=0，即x=5Z2-2.22v是平行于x軸的單位向量，則v上的投影與v模長(zhǎng)的乘積，故求14. M、N分別為雙曲線916=1左、右支上的點(diǎn)，設(shè)|MN-v|的最小值為6【解析】由向量數(shù)量積的定義，MN-v即向量祈在向量|MN-v|的最小值，即求祈在x軸上的投影的絕對(duì)值的最小值，由雙曲線的圖像可知|mn-v|的最小值為6.15. 某單位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值

10、一天班，則甲連續(xù)1值兩天班的概率為続.B.【解析】記甲連續(xù)值2天班為事件A,每人至少值一天班記為事件則m(A)=4啟=24,m(B)=C4a5=240,則P(A+B)=A)=16.已知函數(shù)f(x)In(2x)x，關(guān)于x的不等式f2*(x)af(x)>0只有2個(gè)整數(shù)解，則實(shí)有2個(gè)整數(shù)解，由圖可知：ln6<a<ln2;3沒(méi)有整數(shù)解，則f(x)>a綜上可知：aln6,ln2數(shù)a的取值范圍是葺23-Jmvil：a-mmnrn玉匸Dj|s!SrF廣*/I23【解析】作出函數(shù)f(x)的圖像： 若a>0,由f而f(x)>0有無(wú)數(shù)多個(gè)整數(shù)解，不符題意，舍去；(x)af(x)

11、>0，可得f(x)<0或f(x)>a，顯然f(x)<0三、解答題：共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.（本小題滿分12分）N,入工一2）,且3ai,4a2,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,a1=1,an+1=（入+1）Sn+1（na3+13成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若數(shù)列bn滿足anbn=砸4&+1,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,【解析】（1）因?yàn)閍n+1=（入+1）Sn+1,所以當(dāng)n2時(shí)，an=（入+1）Sn1+1，由一得an+1a

12、n=（入+1）an,即卩an+1=（入+2）an（n2）,又因?yàn)槿牍ひ?,且a1=1，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，入+2故玄2=入+2,a3=（入+2）,16證明:Tn<-.2分2為公比的等比數(shù)列,2由題知8a2=3a1+a3+13,所以8（入+2）=（入+2）+16,2整理得入一4入+4=0，解得入=2,4分所以an=4.6分（2）因?yàn)閍nbn=log4an+1,即即4n1bn=log44n,所以bn=41,8分則Tn=1+4+賁+十n1+角，4444112n1n小4Tn=4+F+盯+曠，3 111n41n一得；Tn=1+；+T2+71jn=1亦7,4 4444344164+3nTn=9

13、9,11分*16又nN,所以Tn<§.12分18. （本小題滿分12分）如圖，aQB=I，二面角aI3的大小為0,Aa,，點(diǎn)A在直線I上的射影為A,點(diǎn)B在I上的射影為B1.已知AB=2,AA=1,BB=(1)若0=120°,求直線AB與平面3所成角的正弦值;若0=90°,求二面角AiAB-Bi的余弦值.如圖，過(guò)點(diǎn)A作平面3的垂線交于點(diǎn)G連接GBGA,【解析】(1)則/ABG是AB與3所成的角.因?yàn)锳GL3.RtGAA中,GAiA=60°,AA=1,RtAGB中,AB=2,AG=#sinAG=J.ZABG=#,故AB與平面乎.5分4/BB丄a,平面A

14、BB丄a.在平面a內(nèi)過(guò)A作AE丄AB交AB于E,則AE3所成的角的正弦值為(2)解法一：丄平面ABB.過(guò)E作EF±AB交AB于F,連接AF,則由三垂線定理得AF丄AB,AFE就是所求二面角的平面角.在RtABB中，/BAB=45°,AB=B1B=/2.RtAAB中，AB=#ABAA=<41廠亠ZBAAAB1X書(shū)羽=73.由AAAB=A1FAB得AF=ab吋比解法二:二面角z)，則存在tR,使得AF=tAB,即(x,y,z1)=t(、/2,1,0),B(.2,1,亠亠AE伍在RtA1EF中，sin/AFE=誦=寸,0).在AB上取一點(diǎn)F(x,y,1),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2t

15、,t,1t).要使A1F丄AB須AFB=0,即C,2t,t,1t)(2,1213t1,1)=0,2t+t(1t)=0,解得t=4,點(diǎn)F的坐標(biāo)為亍,4,4,A1F=:1.設(shè)E為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為0,-,；.EF=¥,：,：.44422444又EF-AB=乎,1,1(2,1,1)=110,EF丄罷/AFE為所444244求二面角的平面角.又cos/AFE=AFEF|AF|EF|.面角AAB-Bi的余弦值為f.12分319. (本小題滿分12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來(lái)衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)值為k，當(dāng)k>85時(shí)，產(chǎn)品為一級(jí)品；當(dāng)75Wk<8

16、5時(shí)，產(chǎn)品為二級(jí)品，當(dāng)70<k<75時(shí)，產(chǎn)品為三級(jí)品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱(chēng)為A配方和B配方)做實(shí)驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面的試驗(yàn)結(jié)果：(以下均視頻率為概率)A配方的頻數(shù)分配表:指標(biāo)值分組75,80)80,85)85,90)90,95)頻數(shù)10304020B配方的頻數(shù)分配表:指標(biāo)值分組70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)頻數(shù)515253025(1)若從B配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出的B配方產(chǎn)品中至少1件二級(jí)品”為事件C,求事件C發(fā)生的概率P(C)；t,k>85,2若兩種新產(chǎn)品的利潤(rùn)率y與質(zhì)量指標(biāo)k滿

17、足如下關(guān)系：y=5t,75<k<85,其中2t,70Wk<75,10<t<匚，從長(zhǎng)期來(lái)看，投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤(rùn)率較大？52【解析】(1)由題意知，從B配方產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一次抽中二級(jí)品的概率為-，則沒(méi)有抽5中二級(jí)品的概率為3，所以p(C)=153=卷5分(2)A配方產(chǎn)品的利潤(rùn)分布列為yt5t2P0.60.4所以E(y)a=0.6t+2t2,8分B配方產(chǎn)品的利潤(rùn)分布列為yt5t2t2p0.550.40.05所以E(y)b=0.55t+2.05t2,11分12因?yàn)?<t<，所以E(y)bE(y)a=0.05t0.05t=0.05t(t1)<0,5

18、所以從長(zhǎng)期來(lái)看，投資A配方產(chǎn)品的平均利潤(rùn)率較大12分.20. (本小題滿分12分)如圖，已知圓E:(x+1)+y=8,點(diǎn)F(1,0),P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.(1) 求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡r上的方程；(2) 已知A,B,C是軌跡r上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且|CA|=|CB|，問(wèn)ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應(yīng)直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】TQ在線段PF的垂直平分線上，-|QP|=|QF|,得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=22又|EF|=2V2,：2,.Q的軌跡是以E,F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

19、2,;2的橢圓，2x2r的方程為-+y=1.5分(2)由點(diǎn)A在第一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線AB的方程為y=kx(k>0),-|CA|=|CB|,C在AB的垂直平分線上，1直線0C的方程為y=匚X.k2：2：1),7分y=kx,由x=42(1+2k2)x2=2,|AB|=2|OA|=2x2+y2=2+y=1同理可得|0C|=2(k+1)k+2'224(k+1)r29分(2k2+1)(k2+2)，1Saabc=q|AB|X|OC|=方法1:設(shè)t=k2+1>1,貝Uk2=t1,故Saabc=4t2(2t1)(t+1)由二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可求得當(dāng)t=2,即即k=1時(shí),Sm

20、bc有最小值為3.12分方法2:22/(1+2k)(k+2)w(1+2k2)+(k2+2)29(1+k2)2-SaABC2、24(1+k)22(1+2k)(k+2)43當(dāng)且僅當(dāng)1+2k2=k2+2,即卩k1時(shí)取等號(hào).Saabc-.34綜上，當(dāng)直線AB的方程為y=x時(shí)，ABC的面積有最小值-.12分321. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax+2alnx,aR,g(x)=ex_1+alnx+x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1) 若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線經(jīng)過(guò)(0，-2)，證明：f(x)<g(x)1；(2) 若函數(shù)y=f(x)與y=2g(x)lnx的圖像有且僅有一個(gè)公

21、共點(diǎn)P(xo,yo)，證明：xo<.42a【解析】(1)f'(x)=a+,k=f'(1)=3a,入a(2)10由3a=a+2得a=1,2分1令F(x)=g(x)f(x)=ex1lnx(x>0)，貝UF'(x)=ex1一，3分x當(dāng)x(0,1)時(shí)F'(x)<0，函數(shù)F(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(1,+s)時(shí)F'(x)>0,函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，故函數(shù)F(x)的最小值為F(1)=1,即f(x)wg(x)1.5分(2)G(x)=2g(x)lnxf(x)=2elnx+2xax，由題意函數(shù)G(x)有且僅有一個(gè)零11點(diǎn)，因?yàn)镚(x)=2ex1-+2a

22、,G'(x)=2ex1+r>0,7分Xx則G(x)為(0,+)上的增函數(shù)，且其值域?yàn)镽,故G(x)在(0,+)上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為t,則當(dāng)x(0,t)時(shí)G(x)<0，則G(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(t,+s)時(shí)G(x)>0,貝UG(x)單調(diào)遞增，從而函數(shù)G(x)在x=t處取得最小值，又函數(shù)G(x)有唯一零點(diǎn)X0,則必有t=X0,9分1G'(X0)=0,2ex°1+2a=0,所以：XoG(X0)=02ex01lnx0ax0+2x0=0,消去a整理得：(22x0)ex01+1lnx0=0,令H(x)=2(1x)ex1+1lnx，顯然x。為其零點(diǎn)，1而h，(x)

23、=x2eX1+X2<0,故H(x)在(0,W)上單調(diào)遞減，73377而H(1)=1>0,H;=1-ln<0,所以H(x)在1,內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，424447在4,+m內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，7即x°<：.12分4(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22. (本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程,x=2+cosatn在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為t為參數(shù)，a0,y=1+sinat2以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2'2ncosB+.4(1) 分別寫(xiě)出直線I的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；2(2) 已知點(diǎn)P(2,1)，直線I與曲線C相交于MN兩點(diǎn)，若|MN=6|PM|PN，求直線I的斜率.X=2+COSat【解析】將(t為參數(shù))消去參數(shù)t可得y+1=tana(x2),y=1+sinat直線l的普通方程為ytanax+2tan