特殊形式光波

1、上節(jié)課的內容：光波與電磁波上節(jié)課的內容：光波與電磁波 麥克斯韋方麥克斯韋方程組程組電磁波譜電磁波譜2. 麥克斯韋電磁方程麥克斯韋電磁方程3. 物質方程物質方程5. 光電磁場的能流密度光電磁場的能流密度4. 波動方程波動方程1.2 幾種特殊形式的光波幾種特殊形式的光波 (Several light waves with special forms )3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)1. 平面光波平面光波 (Plane light wave)2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian bea

2、ms)上節(jié)得到的交變電場上節(jié)得到的交變電場 E 和交變磁場和交變磁場 H 所滿足的波動所滿足的波動方程，可以表示為如下的一般形式：方程，可以表示為如下的一般形式：1.2 幾種特殊形式的光波幾種特殊形式的光波這是一個二階偏微分方程，根據邊界條件的不同，解這是一個二階偏微分方程，根據邊界條件的不同，解的具體形式也不同，例如的具體形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束波、柱面光波或高斯光束。222210(18)tff2222222210(13)10EEtHHt首先說明，光波中包含有首先說明，光波中包含有電場矢量和磁場矢量電場矢量和磁場矢量，從，從波的傳播

3、特性來看，它們處于同樣的地位，但是從波的傳播特性來看，它們處于同樣的地位，但是從光與介質的相互作用來看，其作用不同。光與介質的相互作用來看，其作用不同。在通常應用的情況下，磁場的作用遠比電場弱，甚在通常應用的情況下，磁場的作用遠比電場弱，甚至不起作用。因此，通常把光波中的電場矢量至不起作用。因此，通常把光波中的電場矢量 E 稱稱為光矢量為光矢量，把電場把電場 E 的振動稱為光振動，在討論光的振動稱為光振動，在討論光的波動持性時，只考慮電場矢量的波動持性時，只考慮電場矢量 E 即可。即可。1. 平面光波平面光波 (Plane light wave)1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解2

4、222222xyz 在直角坐標系中，拉普拉斯算符的表示式為在直角坐標系中，拉普拉斯算符的表示式為為簡單起見，假設為簡單起見，假設 f 不含不含 x、y 變量，則波動方程為變量，則波動方程為2222210(19)ztff1. 平面光波平面光波 (Plane light wave)1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解11()()0ztztf為了求解波動方程，先將其改寫為為了求解波動方程，先將其改寫為令令pztqzt可以證明可以證明11()211()2pztqzt1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解因而，上面的方程變?yōu)橐蚨?，上面的方程變?yōu)?0p q f求解該方程，求解該方程，f

5、可表示為可表示為1( )( )()()(20)pqztzt212fffff對于式中的對于式中的 f1 (z - t)，(z - t)為常數的點都處于相為常數的點都處于相同的振動狀態(tài)。如圖所示，同的振動狀態(tài)。如圖所示，t0 時的波形為時的波形為 I，tt1時的波形時的波形相對于波形相對于波形 I 平移了平移了 t1 , 。1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解f1(z - t) 表示的是沿表示的是沿 z 方向、以方向、以 速度傳播的波。速度傳播的波。類似地，分析可知類似地，分析可知 f2(z + t) 表示的是沿表示的是沿 - z 方向、以速度方向、以速度 傳播的波。傳播的波。ftzt

6、= 0t1t2t1波陣面：將某一時刻振動波陣面：將某一時刻振動相位相同相位相同的點連接起來，的點連接起來，所組成的曲面叫波陣面。所組成的曲面叫波陣面。由于此時的波陣面是垂直由于此時的波陣面是垂直于傳播方向于傳播方向 z 的平面，所以的平面，所以 fl 和和 f2 是平面光波。是平面光波。1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解Oxyzk1( )( )()()(20)pqztzt212fffff在一般情況下，沿任一方向在一般情況下，沿任一方向 k、以速度、以速度 v 傳播的平傳播的平面波，如右圖所示。面波，如右圖所示。1）波動方程的平面光波解）波動方程的平面光波解zOxyk2）單色平面光波

7、）單色平面光波 （1）單色平面光波的三角函數表示單色平面光波的三角函數表示cos()sin()tkztkzfAB(20)式是波動方程在式是波動方程在平平面光波情況下的一般解形式，面光波情況下的一般解形式，根據具體條件的不同，可以采取不同根據具體條件的不同，可以采取不同的的具體具體函函數表數表示。示。最最簡單、最普遍采用的是三角函數形式簡單、最普遍采用的是三角函數形式，即，即1( )( )()()(20)pqztzt212fffff （1）單色平面光波的三角函數表示單色平面光波的三角函數表示若只計沿若只計沿+ z 方向傳播的平面光波，其電場表示式為方向傳播的平面光波，其電場表示式為000cos(

8、)cos () cos 2()(21)zEEtkzEttzETeee這就是平面簡諧光波的三角函數表示式。式中，這就是平面簡諧光波的三角函數表示式。式中，e 是是 E 振動方向上的單位矢量。振動方向上的單位矢量。cos()sin()tkztkzfAB （1）單色平面光波的三角函數表示單色平面光波的三角函數表示所謂單色，即指單頻所謂單色，即指單頻。一個單色平面光波是一個在。一個單色平面光波是一個在時間上無限延續(xù)，空間上無限延伸的光波動，在時時間上無限延續(xù)，空間上無限延伸的光波動，在時間、空間中均具有周期性。間、空間中均具有周期性。其時間周期性用周期其時間周期性用周期（T）、頻率、頻率（v）、圓頻率

9、、圓頻率（）表征，而由表征，而由（21）式形式的對稱性，其空間周期性式形式的對稱性，其空間周期性可用可用 、1/ 、k 表征，并分別可以稱為表征，并分別可以稱為空間周期、空間周期、空間頻率和空間圓頻率空間頻率和空間圓頻率。 （1）單色平面光波的三角函數表示單色平面光波的三角函數表示單色平面光波的時間周期性與空間周期性密切相關單色平面光波的時間周期性與空間周期性密切相關,并由并由 v / 相聯系。相聯系。2i( /)( , )e cos2( /)isin2( /)xvtx tAAxvtxvt為便于運算，經常把平面簡諧光波的波函數寫成復為便于運算，經常把平面簡諧光波的波函數寫成復數形式。數形式。例

10、如，可以將沿例如，可以將沿 z 方向傳播的平面光波寫成方向傳播的平面光波寫成采用這種形式，就可以用簡單的指數運算代替比較采用這種形式，就可以用簡單的指數運算代替比較繁雜的三角函數運算。繁雜的三角函數運算。i()0(22)t kzeEE（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示例如，在光學應用中，經常因為要確定光強而求振例如，在光學應用中，經常因為要確定光強而求振幅的平方幅的平方 E20，對此，只需將復數形式的場乘以它，對此，只需將復數形式的場乘以它的共軛復數即可，的共軛復數即可，（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示*i()i()2000t kzt kzE EE eE

11、eE應強調的是，任意描述真實存在的物理量的參量都應應強調的是，任意描述真實存在的物理量的參量都應當是實數，在這里采用復數形式只是當是實數，在這里采用復數形式只是數學上運算方便數學上運算方便的需要的需要。由于對由于對（22）式取實部即為式取實部即為（21）式所示的函數，所式所示的函數，所以，對復數形式的量進行線性運算，只有取實部后才以，對復數形式的量進行線性運算，只有取實部后才有物理意義，才能與利用三角函數形式進行同樣運算有物理意義，才能與利用三角函數形式進行同樣運算得到相同的結果。得到相同的結果。（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示i()0(22)t kzEE e00cos()

12、cos2()(21)tzEeEtkzeET此外，由于對復數函數此外，由于對復數函數 exp-i(t-kz)與expi(t-kz) 兩兩種形式取實部得到相同的函數，所以對于平面簡諧種形式取實部得到相同的函數，所以對于平面簡諧光波，采用光波，采用，exp-i(t-kz)和和expi(t-kz)兩種形式完兩種形式完全等效。全等效。（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示exp-i(t-kz)expi(t-kz)（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 對于平面簡詣光波的復數表示式，可以將時間相位對于平面簡詣光波的復數表示式，可以將時間相位因子與空間相位因子分開來寫：因子與空間

13、相位因子分開來寫：iii0(23)kztte eEeEE式中式中0(24)ikzeEE稱為稱為復復振幅振幅。（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 若考慮場強的初相位，復振幅為若考慮場強的初相位，復振幅為0()0(25)i kzeEE復振幅表示場振動的振幅和相位復振幅表示場振動的振幅和相位隨空間的變化隨空間的變化。在許。在許多應用中，由于多應用中，由于 exp(-it) 因子在空間因子在空間各處都相同各處都相同，所，所以只考察場振動的空間分布。以只考察場振動的空間分布。（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 進一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢進一步，若平面簡諧光波沿

14、著任一波矢 k 方向傳播方向傳播,則其則其三角函數形式和復數形式三角函數形式和復數形式表示式分別為表示式分別為00cos()(26)t EEk r0i()0(27)te k rEE相應的復振幅為相應的復振幅為 0i()0(28)e k rEE（2）單色平面光波的復數表示單色平面光波的復數表示 在信息光學中，經常遇到在信息光學中，經常遇到相位共扼光波相位共扼光波的概念。所的概念。所謂相位共扼光波，是指兩列同頻率的光波，它們的謂相位共扼光波，是指兩列同頻率的光波，它們的復振幅之間是復振幅之間是復數共軛復數共軛的關系。的關系。0iisin0(29)kxeeEE00*sinsin()00(30)iik

15、xiikxeeeeEEE0i()0(28)e k rEE0*0(31)iieek rEE（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 假設有一個平面光波的波矢量假設有一個平面光波的波矢量 k 平行于平行于 xOz 平面，在平面，在 z0 平面上的平面上的復復振幅振幅為為0iisin0(29)kxeeEE式中的式中的 為為 k 與與 z 軸的夾角。軸的夾角。xzEOxzEO0sinsinxxxzzkkk rkxkxk rkxkz（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 則相應的相位共扼光波復振幅為則相應的相位共扼光波復振幅為此相位此相位共軛共軛光波是與光波是與 波來自同一波來

16、自同一側側的平面光波，的平面光波，其波矢量平行于其波矢量平行于 xOz 平面平面，與與 z 軸夾角為軸夾角為- 。E00*sinsin()00(30)iikxiikxeeeeEEE0iisin0(29)kxeeEE（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 此相位此相位共軛共軛光波是與光波是與 波來自同一波來自同一側側的平面光波，的平面光波，其波矢量平行于其波矢量平行于 xOz 平面平面，與與 z 軸夾角為軸夾角為- 。ExzE*EO-E（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 如果對照如果對照（30）式，把式，把（28）式的復數共扼寫成式的復數共扼寫成則這個沿則這個沿

17、-k 方向，即與方向，即與 波反向傳播的平面光波波反向傳播的平面光波也是其相位共扼光波。也是其相位共扼光波。0*0(31)iieek rEE0i()0(28)e k rEEE（2）單色平面光波的復數表示）單色平面光波的復數表示 一個各向同性的點光源，它向外發(fā)射的光波是球面一個各向同性的點光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點光源為中心、隨著距離的增光波，等相位面是以點光源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴展的同心球面。大而逐漸擴展的同心球面。球面波球面波r光線光線波陣面波陣面2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)球面光波所滿足的波動方程仍然是球面光波所滿足的

18、波動方程仍然是（18）式，只是式，只是由于球面光波的球對稱性，其波動方程僅與由于球面光波的球對稱性，其波動方程僅與 r 有關，有關，與坐標與坐標 、 無關，所以球面光波的振幅只隨距離無關，所以球面光波的振幅只隨距離 r 變化。若忽略場的矢量性，采用標量場理論，可將變化。若忽略場的矢量性，采用標量場理論，可將波動方程表示為波動方程表示為222210(32)fft式中式中， 。( , )ff r t2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)222210(18)tff對于球面光波，利用球坐標討論比較方便。此時對于球面光波，利用球坐標討論比較方便。此時，（32）式可表示為式可

19、表示為2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)即即2222211()0(33)ffrrrrt22222()1()0rfrfrt因而其解為因而其解為12()()f rtfrtfrrf1 (r -t) 代表從原點沿代表從原點沿 r 正方向向外發(fā)散的球面光波，正方向向外發(fā)散的球面光波， f2 (r +t) 代表向原點傳播的會聚球面光波。球面波代表向原點傳播的會聚球面光波。球面波的振幅隨的振幅隨 r 成反比例變化。成反比例變化。2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)1cos()(35)AEtkrr其復數形式為其復數形式為最簡單的簡諧球面光波最簡

20、單的簡諧球面光波單色球面光波的波函數為單色球面光波的波函數為i()1(36)t krAEer復振幅為復振幅為i1(37)krAEer上面三式中的上面三式中的 A1 為離開點光源單位距離處的振幅值。為離開點光源單位距離處的振幅值。2. 球面光波球面光波 (Spherical light wave)一個各向同性的一個各向同性的無限長線光源無限長線光源，向外發(fā)射的波是柱面，向外發(fā)射的波是柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的增大而逐漸展開的增大而逐漸展開的同軸圓柱面同軸圓柱面，如圖所示。，如圖所示。zr3. 柱面光波柱面光波 (Cylindr

21、ical light wave)柱面光波所滿足的波動方程可以采用以柱面光波所滿足的波動方程可以采用以 z 軸為對稱軸為對稱軸、不含軸、不含 z 的圓柱坐標系形式描述：的圓柱坐標系形式描述：22211()0(38)ffrrrrt式中，式中， 。這個方程的解形式比較復雜，此。這個方程的解形式比較復雜，此處不詳述。但可以證明，當處不詳述。但可以證明，當 r 較大（遠大于波長）較大（遠大于波長）時，其單色柱面光波的表示式為時，其單色柱面光波的表示式為22rxyi()1(39)t krAEer3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)復振幅為復振幅為i1(40)krAEer

22、可以看出，柱面光波的振幅與可以看出，柱面光波的振幅與 成反比。成反比。ri()1(39)t krAEer3. 柱面光波柱面光波 (Cylindrical light wave)由激光器產生的激光束既不是上面討論的均勻平面光由激光器產生的激光束既不是上面討論的均勻平面光波，也不是均勻球面光波，而是一種波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相位面振幅和等相位面都在變化的高斯球面光波都在變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。，亦稱為高斯光束。在由激光器產生的各種模式的激光中，最基本、應用在由激光器產生的各種模式的激光中，最基本、應用最多的是基模（最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在這里僅）高

23、斯光束，因此，在這里僅討論基模高斯光束。有關這種高斯光束的產生、傳輸討論基模高斯光束。有關這種高斯光束的產生、傳輸特性的詳情，可參閱激光原理教科書。特性的詳情，可參閱激光原理教科書。4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)從求解波動方程的觀點看，基模高斯光束仍是波動方從求解波動方程的觀點看，基模高斯光束仍是波動方程（程（18）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。它是）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。它是以以 z 軸為柱對稱的波，其表達式內包含有軸為柱對稱的波，其表達式內包含有 z，且大體，且大體朝著朝著 z 軸的方向傳播。軸的方向傳播。222210(18)tff4. 高斯光束高

24、斯光束 (Gaussian beams)考慮到高斯光束的柱對稱性，可以采用考慮到高斯光束的柱對稱性，可以采用圓柱坐標系圓柱坐標系中的波動方程形式：中的波動方程形式：222222211()0(41)Errrzt其解的一般函數形式為其解的一般函數形式為( , , )EE r z t可以證明，下面的表達式滿足上述波動方程：可以證明，下面的表達式滿足上述波動方程：4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)222i() arctan2 ( )j( )000( , , )(42)( )rzrk zR zftzEEr z teeez式中式中 E0 常數，其余常數，其余符號的意義為符號的意義為2

25、22202202( )1()(43)( )rxykzzffR zzzf4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)這里，這里，0=(z = 0) 為基模高斯光束的為基模高斯光束的束腰半徑束腰半徑； f 為高斯光束的共焦參數或為高斯光束的共焦參數或瑞利長度瑞利長度； R(z) 為與傳播為與傳播軸線相交于軸線相交于 z 點的高斯光束點的高斯光束等相位面的曲率半徑等相位面的曲率半徑；(z) 是與傳播軸線相交于是與傳播軸線相交于 z 點高斯光束等相位面上點高斯光束等相位面上的的光斑半徑光斑半徑。4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)(z)0R(z)z0(42) 式的波場就

26、是基模高斯光束的標量波形式，由它式的波場就是基模高斯光束的標量波形式，由它可以研究：可以研究：4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)222i() arctan2 ( )j( )000( , , )(42)( )rzrk zR zftzEEr z teeez (1) 光強分布的特征光強分布的特征; (2) 空間相移特征空間相移特征; (3) 發(fā)散角的特征：發(fā)散角的特征：（1）基模高斯光束在橫截面內的）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布光電場振幅分布按按照高斯函數的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑照高斯函數的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑地下降，如圖所示。地下降，如圖所示。

27、1/ez01exp-r2/2(z)(z)(z)4. 高斯光束高斯光束 (Gaussian beams)20( )1()(44)zzf由中心振幅值下降到由中心振幅值下降到 1/e ( 1/2.718281828459=0.3678)點點所對應的寬度，定義為所對應的寬度，定義為光斑半徑光斑半徑。222i() arctan2 ( )j( )000( , , )(42)( )rzrk zR zftzEEr z teeez20( )1()zzf（1）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布20( )1()(44)zzf可見，光斑半徑隨著坐標可見，光斑半徑隨著坐標 z

28、 按按雙曲線的規(guī)律擴展雙曲線的規(guī)律擴展，即，即22220( )1(45)zzf 在在 z0 處，處，(z)=0，達到極小值，達到極小值，稱為束腰半徑稱為束腰半徑。（1）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布由（由（45）式可見，只要知道高斯光束的束腰半徑）式可見，只要知道高斯光束的束腰半徑0 ，即可確定任何即可確定任何 z 處的光斑半徑處的光斑半徑.0 是由激光器諧振腔是由激光器諧振腔決定的決定的, 改變激光器諧振腔的結構設計改變激光器諧振腔的結構設計, 即可改變即可改變0 值值.(z)0R(z)z022220( )1(45)zzf 20f（1）基模高斯

29、光束在橫截面內的光電場振幅分布）基模高斯光束在橫截面內的光電場振幅分布(2) 基模高斯光束場的相位因子基模高斯光束場的相位因子200( , )arctan(46)2 ( )rzr zk zR zf222i() arctan2 ( )j( )000( , , )(42)( )rzrk zR zftzEEr z teeez決定了基模高斯光束的空間相移特性。決定了基模高斯光束的空間相移特性。(2) 基模高斯光束場的相位因子基模高斯光束場的相位因子(a) kz 描述了高斯光束的幾何相移；描述了高斯光束的幾何相移；(b) arctan(z/f ) 描述了高斯光束在空間行進距離描述了高斯光束在空間行進距離 z 處、處、 相對于幾何相移的附加相移；相對于幾何相移的附加相移；(c) 因子因子 kr2/(2R(z) 則表示與橫向坐標則表示與橫向坐標 r 有關的相有關的