第二章推理與證明質(zhì)量檢測試卷(含答案和解釋)

1、第二章推理與證明質(zhì)量檢測試卷（含答案和解釋）階段質(zhì)量檢測推理與證明一、選擇題.根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f=x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程是A. 歸納推理B. 類比推理c.演繹推理D.非以上答案解析：選c根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，故選C.自然數(shù)是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù).以上三段論推理A. 正確B. 推理形式不正確c.兩個(gè)“自然數(shù)”概念不一致D.“兩個(gè)整數(shù)”概念不一致解析：選A三段論中的大前提、小前提及推理形式都是正確的.設(shè)a,b,c都是非零實(shí)數(shù)，則關(guān)于a,bc,ac，-b四個(gè)數(shù)，有以下說法:四個(gè)數(shù)可能都是正數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是負(fù)數(shù)；四個(gè)數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù).則說法中正確的

2、個(gè)數(shù)有A.0B.1c.2D.3解析：選B可用反證法推出，不正確，因此正確.下列推理正確的是A. 扌巴a與loga類比，則有l(wèi)oga=logax+logaB. 把a(bǔ)與sin類比，貝U有sin=sinx+sinc.扌巴a與ax+y類比，則有ax+y=ax+aD.把+c與z類比，則有z=x解析：選Dz=x是乘法的結(jié)合律，正確.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排列：，則第70個(gè)“整數(shù)對(duì)”為A.B.c.D.解析：選D因?yàn)?+2+-+11=66,所以第67個(gè)“整數(shù)對(duì)”是，第68個(gè)“整數(shù)對(duì)”是，第69個(gè)“整數(shù)對(duì)”是，第70個(gè)“整數(shù)對(duì)”是，故選D.求證：2+3>5.證明：因?yàn)?+3和5都是正數(shù)，所以為了證明2+

3、3>5,只需證明2>2，展開得5+26>5,即26>0,此式顯然成立，所以不等式2+3>5成立.上述證明過程應(yīng)用了A.綜合法B.分析法c.綜合法、分析法配合使用D.間接證法解析：選B證明過程中的“為了證明”，“只需證明”這樣的語句是分析法所特有的，是分析法的證明模式.已知bn為等比數(shù)列，b5=2，貝Ub1b2b3b9=29.若an為等差數(shù)列，a5=2，則an的類似結(jié)論為A.a1a2a3a9=29B.al+a2+a9=29c.a1a2a9=2X9D.al+a2+a9=2x9解析：選D由等差數(shù)列性質(zhì)，有al+a9=a2+a8=2a5.易知D成立.若數(shù)列an是等比數(shù)列，

4、則數(shù)列an+an+1A. 定是等比數(shù)列B. 定是等差數(shù)列c.可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列D.定不是等比數(shù)列解析：選c設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則an+an+1=an.當(dāng)qz1時(shí)，an+an+1一定是等比數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí)，an+an+1=0,此時(shí)為等差數(shù)列.已知a+b+c=0,貝»ab+be+ca的值A(chǔ).大于0B.小于0e.不小于0D.不大于0解析：選D法一：Ta+b+e=0,二a2+b2+e2+2ab+2ae+2be=0,二ab+ae+be=a2+b2+c22<0.法二：令e=0,若b=0,貝»ab+be+ae=0,否則a,b異號(hào)，ab+be+ae=ab0,b>

5、;0,=Iga+b2,n=Iga+b2,則，n的大小關(guān)系是.解析：ab>0?ab>0?a+b+2ab>a+b?>2?a+b>a+b?a+b2>a+b2?Iga+b2>lga+b2.答案：>n.已知2+23=223,3+38=338,4+415=415，6+ab=6ab,a,b均為正實(shí)數(shù)，由以上規(guī)律可推測出a,b的值，貝a+b=.解析：由題意歸納推理得6+ab=6ab,b=621=35,a=6.-a+b=6+35=41.答案：41.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重

6、疊部分的面積恒為a24.類比到空間，有兩個(gè)棱長為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為.解析：解法的類比，易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為a38.答案：a38三、解答題.用綜合法或分析法證明：如果a,b>0，貝»lga+b2>lga+Igb2;+10>23+2.證明：當(dāng)a,b>0時(shí)，有a+b2>ab,lga+b2>Igab,lga+b2>12lgab=lga+Igb2.要證6+10>23+2,只要證2>2,即260>248，這是顯然成立的，所以，原不等式成立.若a1>0,al工1,a

7、n+1=2an1+an.求證：an+1工an；令a1=12,寫出a2,a3,a4,a5的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：證明：若an+1=an，即2an1+an=an,解得an=0或1.從而an=an1=a2=al=0或1,這與題設(shè)a1>0,al工1相矛盾，所以an+1=an不成立.故an+1工an成立.由題意得a1=12,a2=23,a3=45,a4=89,a5=1617,由此猜想：an=2n12n1+1.下列推理是否正確？若不正確，指出錯(cuò)誤之處.求證：四邊形的內(nèi)角和等于360°.證明：設(shè)四邊形ABcD是矩形，則它的四個(gè)角都是直角，有/A+ZB+Zc+ZD=90&

8、#176;+90°+90°+90°=360。，所以四邊形的內(nèi)角和為360°.已知2和3都是無理數(shù)，試證：2+3也是無理數(shù).證明：依題設(shè)2和3都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，所以2+3必是無理數(shù).已知實(shí)數(shù)滿足不等式<0,用反證法證明：關(guān)于x的方程x2+2x+52=0無實(shí)根.證明：假設(shè)方程x2+2x+52=0有實(shí)根.由已知實(shí)數(shù)滿足不等式v0,解得2vv12,而關(guān)于x的方程x2+2x+52=0的判別式=4,v2<<12,a14v2v4,.<0，即關(guān)于x的方程x2+2x+52=0無實(shí)根.解：犯了偷換論題的錯(cuò)誤，在證明過程中，把論

9、題中的四邊形改為矩形.使用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，因此原題的真實(shí)性仍無法判定.利用反證法進(jìn)行證明時(shí)，要把假設(shè)作為條件進(jìn)行推理，得出矛盾，本題在證明過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，也沒有推出矛盾，所以不是反證法.0.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+2,S3=9+32.求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;設(shè)bn=Snn,求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.解：由已知得al=2+1,3a1+3d=9+32,d=2.故an=2n1+2,Sn=n.由得bn=Snn=n+2.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp,bq,br成等比數(shù)

10、列，貝Ub2q=bpbr,即2=,.+2=0,/p,q,rN*,.q2pr=0,2qpr=0,p+r22=pr,2=0.p=r，與pzr矛盾.數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.1.已知：sin230°+sin290°+sin2150°=32,sin25°+sin265°+sin2125°=32,通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出對(duì)任意角度a都成立的一般性的命題，并給予證明.解：一般形式為：sin2a+sin2+sin2=32.證明：左邊=1cos2a2+1cos2a+120：2+cos2a+240J2=3212cos2a+cos+cos=3212=3212cos2a12cos2a32sin2a12cos2a+32sin2a=32=右邊.將一般形式寫成sin2+sin2a+sin2=32也正確2.根據(jù)要求證明下列各題：用分析法證明：已知非零向量a,b,且a丄b，求證：|a|+|b|a+b|<2;用反證法證明：1,2,3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng).證明：a丄b?a?b=0,要證|a|+|b|a+b|<2.只需證|a|+|b|w2|a+b|,只需證|a|2+2|a|b|+|b|2w2,只需證|a|2+2|a|b|+|b|2w2a2+2b2,只需證|a|2