動力氣象學(xué)第3章 尺度分析

1、第三章第三章 尺度分析與基本方程組的簡化尺度分析與基本方程組的簡化（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONSSCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS） 為什么要簡化基本方程組？為什么要簡化基本方程組？數(shù)學(xué)上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難數(shù)學(xué)上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難物理上：影響大氣運(yùn)動的因子很多，重點(diǎn)不突出物理上：影響大氣運(yùn)動的因子很多，重點(diǎn)不突出原因：描述大氣運(yùn)動的基本方程組非常復(fù)雜原因：描述大氣運(yùn)動的基本方程組非常復(fù)雜因此：需要簡化因此：需要簡化數(shù)學(xué)上：略去方程中相對較小的項，保留大項，使方程簡單，容

2、易求解數(shù)學(xué)上：略去方程中相對較小的項，保留大項，使方程簡單，容易求解物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握現(xiàn)象本質(zhì)；物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握現(xiàn)象本質(zhì)；最終結(jié)果：最終結(jié)果：使簡化的方程反映的物理規(guī)律更加清晰，求解起來更加方便。使簡化的方程反映的物理規(guī)律更加清晰，求解起來更加方便。 具體來說，大氣中存在各種具體來說，大氣中存在各種不同尺度不同尺度的運(yùn)動，雖然它們都用同一個基本方程組的運(yùn)動，雖然它們都用同一個基本方程組來描述，但由于運(yùn)動的來描述，但由于運(yùn)動的尺度尺度不同，使其運(yùn)不同，使其運(yùn)動性質(zhì)不一樣。動性質(zhì)不一樣。 當(dāng)我們研究某一特定當(dāng)我們研究某一特定尺度尺度

3、運(yùn)動時，只運(yùn)動時，只有抓住決定該有抓住決定該尺度尺度運(yùn)動的主要因子，忽略運(yùn)動的主要因子，忽略那些次要因子，才能把握該運(yùn)動的基本特那些次要因子，才能把握該運(yùn)動的基本特性。性。途徑：尺度分析途徑：尺度分析 一般，采用一般，采用尺度分析尺度分析方法。它是一種方法。它是一種對物理方程進(jìn)行分析和簡化的有效方法。對物理方程進(jìn)行分析和簡化的有效方法。 這一方法是恰尼（這一方法是恰尼（1948年）首先倡導(dǎo)年）首先倡導(dǎo)的。以后經(jīng)伯格（的。以后經(jīng)伯格（Burger,1958年）、年）、菲利普斯（菲利普斯（1963）等人進(jìn)一步發(fā)展完善，）等人進(jìn)一步發(fā)展完善，現(xiàn)在大氣動力學(xué)和數(shù)值天氣預(yù)報的研究中現(xiàn)在大氣動力學(xué)和數(shù)值天

4、氣預(yù)報的研究中得到廣泛的應(yīng)用。得到廣泛的應(yīng)用。 一、尺度的概念一、尺度的概念 由實際觀測資料可知，任一物理量都有一定的變動范圍，我們可以用各物理量場具有代表意義的量值來表示它的基本特征。 各物理量具有代表意義的量值稱為該物理量的特征值特征值。這一特征值就是尺度尺度。一般是用它的數(shù)量級來表征它的大小。 例如例如，在天氣圖上常見的天氣系統(tǒng)中（中低層大氣），水平風(fēng)速大致在5到25ms-1 之間，故可取10ms-1 作為它的尺度。 若水平速度尺度（特征值）記作V，實際水平速度可以寫為：u=Vu* v=Vv*，u*、v*為一無量綱量，其量值在0.5-2.5之間。 將任一物理量寫作： *Qqq 其中： Q

5、特征量， 表示該物理量的一般大小； 常量；有量綱 無量綱量，量級在 100左右，表示物理量的具體大?。皇亲兞?；沒有量綱 *q 這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項。 比較物理量的大小，可以比較特征量Q的大?。础俺叨取保?如：已知：*,TttVuu則：則：*tuTVtu是其無量綱量。的特征量，是*tutuTV二、二、“尺度分析尺度分析”概念概念 依據(jù)表征某類運(yùn)動系統(tǒng)某類運(yùn)動系統(tǒng)各場變量的特征值，來估計大氣運(yùn)動方程中各項量級大小的一種方法。根據(jù)尺度分析的結(jié)果，結(jié)合物理上的考慮，略去小項，保留大項，以得到突出某類運(yùn)動特征的簡化方程?！俺叨确治龀叨确治觥钡牟襟E：的步驟：明確要分析的運(yùn)

6、動系統(tǒng)， 即（大、中、?。┏叨冗\(yùn)動；了解該尺度運(yùn)動中各基本物理量的特征量的量級大??；將q=Qq*代入方程，寫出方程中各項的特征量；計算各項特征量的量級；比較大小，保留大項，略去小項。410410431010104101051051051061041010待定尺度待定尺度 ., PW在中高緯度大尺度大氣運(yùn)動中，各物理量的特征量為： smHmLmsWmsV54612111010;10;10;10；基本尺度：303253/10,/101010mkgmkgPaPPPaPzhzh，氣壓和密度的變化：FFWWWVVVhtzhzh即：其水平變化尺度相同的時間變化尺度與同時認(rèn)為：任意物理量物理量變化尺度：,F

7、; 12510 :sm空氣分子的粘性系數(shù)1151424360022210292. 72sin210SSfsff對中高緯地區(qū)ufvwfxpzuwyuvxuutu21TVLV2HVWLPh1Wf0Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-6 10-3 10-12 ms-2其中： 2222222zuyuxuu222HVLVLV三、運(yùn)動方程的尺度分析三、運(yùn)動方程的尺度分析2HVvfuypzvwyvvxvutv21TVLV2HVWLPh01Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-12 ms-2wufgzpzwwywvxwutw21TwLVWHW2HPz1G

8、Vf02HW 10-7 10-7 10-8 101 101 10-3 10-15 ms-2 分子粘性力可以忽略不考慮分子粘性和湍流粘性“自由大氣”對短期天氣過程來說，分子粘性很小，即日常天氣過程可以不計；對氣候?qū)W來說，分子粘性累積起來就很大了，所以不能忽略！流邊界層，分子粘性力可略湍低層：湍流粘性力重要?dú)?；流粘性力可略自由大高層：層流，分子、湍討論：討論?取“零級近似”，即只保留量級最大項，得到的簡化方程為：010101gzpfuypfvxp水平方向上： 01Vk fph水平氣壓梯度力水平科氏力0 地轉(zhuǎn)平衡“零級近似”的特點(diǎn)：這表明“大尺度”運(yùn)動中水平氣壓梯度力與科氏力基本相平衡的，運(yùn)動是準(zhǔn)

9、地轉(zhuǎn)的。0101fuypfvxp矢量形式：矢量形式：(Geostrophic balance)地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系的重要性： 揭示了風(fēng)場與氣壓場之間最簡單，最基本的聯(lián)系。大尺度運(yùn)動處于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡狀態(tài)，這是大尺度運(yùn)動一個重要性質(zhì)。 The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems.地轉(zhuǎn)平衡運(yùn)動的特征：

10、動力學(xué)特征： 水平壓力梯度力與科氏力相平衡運(yùn)動學(xué)特征： 風(fēng)沿等壓線吹；背風(fēng)而立，高壓在右， 低壓在左（南半球相反）。地轉(zhuǎn)風(fēng)的表達(dá)式： PkfVhg1南半球：南半球：0, 0f在南半球：高壓反氣旋逆時針 垂直方向上： 01gzp靜力平衡 上式表示：在垂直方向上氣壓梯度力與重力基本平衡，上式表示：在垂直方向上氣壓梯度力與重力基本平衡，在大尺度運(yùn)動中，任何一點(diǎn)的氣壓相當(dāng)精確地等于該點(diǎn)在大尺度運(yùn)動中，任何一點(diǎn)的氣壓相當(dāng)精確地等于該點(diǎn)以上單位截面積的重量。以上單位截面積的重量。注意：這不意味沒有垂直運(yùn)動，只是近似平衡。這個關(guān)注意：這不意味沒有垂直運(yùn)動，只是近似平衡。這個關(guān)系不僅成立于大尺度系統(tǒng)，還成立于

11、中小尺度系統(tǒng)。系不僅成立于大尺度系統(tǒng)，還成立于中小尺度系統(tǒng)。 Hydrostatic equilibrium靜力平衡關(guān)系的重要性： 給出了瞬時氣壓場、密度場、溫度場之間的關(guān)系。 大尺度運(yùn)動經(jīng)常處于準(zhǔn)準(zhǔn)靜力平衡狀態(tài)，這是大尺度運(yùn)動又一重要性質(zhì)。 運(yùn)動方程的零級近似式中不含有氣象要素的時間導(dǎo)數(shù)項，稱其為診斷方程。不能對速度場作確定，因此不能作為預(yù)報方程。注意：注意：0yvxu四、連續(xù)方程的零級簡化形式：四、連續(xù)方程的零級簡化形式：水平無輻散連續(xù)方程的零級簡化說明大尺度運(yùn)動是準(zhǔn)水平無幅散的。小結(jié)：“零級近似”得到的平衡方程：0010101yvxugzpfuypfvxp這組方程中不含有時間偏導(dǎo)數(shù)項，所

12、以稱之為“平衡簡化方程組”。這組方程中不含有熱力學(xué)方程 由此可見，中高緯度大尺度大氣運(yùn)動的主要特征是：準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)水平無輻散、準(zhǔn)水平、準(zhǔn)定常。五、一級簡化方程pCRpppRpRTpdtdpdtdTCzwyvxutzwyuxugzpfuypyvvxvutvfvxpyuvxuutu00001000111其中或 一級簡化方程組可稱為“非平衡簡化方程組”。在這一方程組中，運(yùn)動方程是不含有W項。由于垂直運(yùn)動對于大氣變化有重要影響，雖在運(yùn)動方程中一般對流項比其它項要小，但作為預(yù)報方程，一般還應(yīng)保留對流項。一級簡化方程組中的連續(xù)方程不含時間導(dǎo)數(shù)項，這表明密度場基本上是定常的，可作為預(yù)報方程有時

13、也保留時間導(dǎo)數(shù)項。此外，熱力學(xué)方程此時常采用絕熱形式：01dtdpdtdTCp由尺度分析可以證明，氣壓的全導(dǎo)數(shù)幾乎由垂直運(yùn)動決定。對于中緯度大尺度運(yùn)動zpwypvxputpdtdp11111210101sHPwzpwsPLUypvxputpzhgwzpwdtdp0wCgzTwyTvxTutTpzTCgdp,0wyTvxTutTd尺度分析得：略去小項有：由此得到熱力學(xué)一級簡化方程：其中，上式改寫為：靜力平衡關(guān)系 這說明大尺度運(yùn)動中溫度的局地變化主要是由溫度平流和垂直運(yùn)動決定的。 一級簡化方程與原方程組最大的差異在于垂直運(yùn)動方程采用了靜力平衡關(guān)系，這樣簡化了數(shù)學(xué)處理，它能濾去聲波。六、無量綱動力學(xué)

14、參數(shù) 在動力氣象學(xué)中，經(jīng)常利用特征尺度，引進(jìn)無量綱變量，將動力學(xué)方程無量綱化，并由此得到一些由基本尺度 和環(huán)境參數(shù) 組成的無量綱參數(shù)無量綱參數(shù)，這些無量綱參數(shù)都具有明確的物理意義。無量綱方程和無量綱參數(shù)在對大氣運(yùn)動進(jìn)行動力分析時十分有用。UDL,Hfg,0方程無量綱化的步驟：1）把方程各項寫作 “特征量無量綱量”的形式。2）化為“無量綱方程” ： 用方程中某一項的特征量同除方程的每一項（量綱齊次性原理）無量綱方程各項前面的系數(shù)無量綱（數(shù)）體現(xiàn)各項的相對重要性。 例：例：fvxpyuvxuutu1*tuTV*2yuvxuuLV)1(1*0 xPLPh)(*0vfVf 兩邊同除以科氏力的特征量 V

15、f0以水平運(yùn)動方程的以水平運(yùn)動方程的“一級近似一級近似”為例為例*01)(vfxpyuvxuutuR特征科氏力項特征慣性力項VfLVR020VfLPVLTh001;其中：其中：非地轉(zhuǎn)。，滿足準(zhǔn)地轉(zhuǎn)；度很小，可忽略特征慣性力很小，加速000010,10RR（Rossy數(shù)）數(shù)）（所以可以通過Rossy數(shù)判斷是否準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動）上式即無量綱方程上式即無量綱方程特征無量綱參數(shù)特征無量綱參數(shù)牽連渦度尺度相對渦度尺度000020/ffLVVfLVR又：運(yùn)動平流時間慣性特征時間aiVLfVfLVR/10020R0=1時，非線性平流項不能忽略，因此，方程式非線性的，相對渦度大于或等于牽連渦度，運(yùn)動的平流時間小于或

16、等于慣性運(yùn)動時間，這樣的運(yùn)動過程稱為快過程快過程。a) 中緯度大尺度運(yùn)動： smVsf14010,10mL610110100LfVR準(zhǔn)地轉(zhuǎn)RossbyRossby數(shù)的應(yīng)用：數(shù)的應(yīng)用： b) 中緯度中小尺度運(yùn)動： smVsf14010,10mL51000010LfVR非地轉(zhuǎn)c) 熱帶大尺度運(yùn)動： smVsf15010,10mL61000010LfVR 非地轉(zhuǎn)d) 海洋情形： smVsf14010,10mL41010010LfVR要使得準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動 中高緯度七、地轉(zhuǎn)參數(shù)的簡化、及平面近似afyfayffyffyyyfyyyfyyyfff注意：其中高次項，則處如設(shè)高次項0000000222cos2si

17、n20! 210000000aLfy000sincos現(xiàn)對地轉(zhuǎn)參數(shù)來進(jìn)行分析。將f在緯度0處展開成泰勒級數(shù)，則有：若令L代表運(yùn)動的徑向水平尺度，則（）式前兩項之比為： 因此，在中緯度地區(qū)，若運(yùn)動的經(jīng)向水平尺度遠(yuǎn)小于地球半徑時 ，可以取 既把f作為常數(shù)處理，這種近似稱為 近似。取這種近似相當(dāng)于完全沒有考慮地球球面性所引起的f隨緯度的變化。 高一級近似是所謂 平面近似，其主要內(nèi)容是：（一）當(dāng)f處于系數(shù)地位不被微商時，?。?；（二）當(dāng)f處于對y求導(dǎo)時，取 為常數(shù)。 即：f=f0+y1aL0ff 0f0ff dydf 局地直角坐標(biāo)系中，垂直坐標(biāo)軸Z是以長度長度（米）（米）為單位來度量，描述大氣運(yùn)動方程

18、組的物理意義比較清楚。在這種坐標(biāo)系中運(yùn)動方程中（如氣壓梯度力）與連續(xù)方程中均含有密度密度項。八、八、P坐標(biāo)坐標(biāo)But：“密度密度”一般不是常規(guī)測量的物理量，這樣分析對比不同高度處氣壓梯度力時很不方便。于是，在氣象學(xué)中常采用氣壓P作為垂直坐標(biāo)，在這種坐標(biāo)系中，氣壓梯度力已不含密度的因子，用起來較方便，所以在實際工作中也進(jìn)行等壓面圖的分析。1、P坐標(biāo)系的概念用氣壓P替換z坐標(biāo)系中的垂直坐標(biāo)就可得到P坐標(biāo)系。水平坐標(biāo)x,y不變。把z坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為P坐標(biāo)的基本關(guān)系是靜力平靜力平衡方程衡方程 :它與z的坐標(biāo)方向相反。gdzdp2. 垂直坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換（Z P）任一氣象要素FF(x,y,z,t)=F(x,y,z(x,y,p,t),t)=F(x,y,p,t)zpztPPFtFtFzpzxPPFxFxFzpzyPPFyFyFzPPFzFpztzgtPpzxzgxPpzyzgyPgzP兩種坐標(biāo)中偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：3.P坐標(biāo)系的運(yùn)動方程組hhpphFVk fdtVdpRTp10pyvxuppppCQSyTvxTutT4、P坐標(biāo)系的優(yōu)