數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)

1、0348數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一次作業(yè)1論述題從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)抽取8件，測(cè)得其重量(單位：kg)為：230,243,185,240,228,196,246,200。(1)寫出總體，樣本，樣本值，樣本容量；(2)求樣本的均值，方差及二階原點(diǎn)距。2設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(此仃2),其中N已知，。2未知，X1,X2,X3是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。(1)寫出樣本X1,X2,X3的聯(lián)合密度函數(shù);(2)指出X1X2X3,max3Xi,1<i<3?,X12,X12X22X322a之中哪些是統(tǒng)計(jì)量,X1,L,X5是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨哪些不是統(tǒng)計(jì)量。3設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布B(1,p),其中p是未知參數(shù),哪

2、些不機(jī)樣本。指出Xi+X2,maxXi,1<i<5),X5+2p,(X5X1)2之中哪些是統(tǒng)計(jì)量,是統(tǒng)計(jì)量，為什么?4設(shè)總體服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，分布密度為P(x；1)&e,x,x>0。x<0求EX,DX和ES2.5設(shè)總體X服從N(0,1),樣本Xi,L,X6來(lái)自總體X,令22nY=(Xi+X2+X3)+(X4+X5+X6),求常數(shù)C,使CY服從2-分布。26設(shè)總體X服從N(巴仃2),X1,L,Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X為樣本均值，n22Xi-JS/S2,s2分別是樣本方差和樣本修正方差，問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量嗎,王方,馬一2各服從什么分布。27設(shè)總體X服從N（

3、出仃），X和S2為樣本均值和樣本修正方差，又有Xn中服從一一2N（叫仃）,且與XhL,Xn相互獨(dú)立，試求統(tǒng)計(jì)量Xn.1fxSn/in-ln1（Xn*-X）服從什么分S2/n1布。參考答案：1解：(1)總體為該批機(jī)器零件重量X,樣本為X1,L,Xn,樣本值為230,243,185,240,228,196,246,200,樣本容量為n=8;-1/1(2) x=£x=230+243+185+240+228+196+246+200=221,ny821二一21:2,21S2(x-x)2(230221)+L+(200221)=566,n-1y7L'91/9199a22=-xx22302L

4、2002=49336.25.ny822解：（1）因?yàn)閄服從正態(tài)分布N（匕仃2）,而X1,%,X是取自總體X的樣本，所以有Xi21服從N(四。)，即p(xi)=e.2二二3x_2；x/331一1i±2故樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為口p(x)=ne-e的=32F*yy2二二2二；X.XoX.:.（2）23,maxXi,1WiW3,Xi+2卜都是統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)樗鼈兙话魏?未知參數(shù)，而Xi2X22X32不是統(tǒng)計(jì)量。3解：X1+X2,maxXi,1MiE5,（X5Xi）2都是統(tǒng)計(jì)量，Xs+2p不是統(tǒng)計(jì)量，因p是未知參數(shù)。5解：因?yàn)闃颖綳i,L,X6獨(dú)立同分布N(0,1),所以Xi+X2+X3服從N

5、(0,3),2（X1+X2+X3）服從I1），2X4X5X6服從212,且兩者相互獨(dú)立，由/-分布的可加性，知Y/3X1+12+X3服從N(0,1%同理X4+處+6服從N(0,1因此,3x3服從*(2,所以取C=1/3。6解:由定理1.3.6知2n-1S2crnsnn-11-=CJn-1S2cr服從自由度為n-1的？2-X-分布，由定理1.3.6的系1得產(chǎn)服從自由度為n-1的t-分布，由為服從N叱仃,可S/n一XX：-J2一CC得服從N(0,1-服從片(1),由于X1,L,Xn相互獨(dú)立因此由12-分仃I。)n,、Xj-2布的可加性，得二一2服從自由度為n的？2-分布。a7解：由X服從服從N(0

6、,1),又由,Xe服從N（N,。2）,Xn由一X服從NnS：2CT服從自由度為cn120,一二nn-1的72-分布，由定理1.3.6知X與nS：2-CF相互獨(dú)立，而Xn+與X1,L,Xn相互獨(dú)立，因此t分布的定義Xn由_X/J吟/（n_1）=Xn+X_n1二s<n-1服從自由度為n-1的t-分布。由Xn1-Xa從N(0,132服從72（1）,又由定理1.3.6知（“一2）服從自由度為an-1的Z2-分布，由前同理可知2Xn1-XI.n-1S,、n,與2相互獨(dú)立。汪息n1二LnF分布的定義一2Xn1-X服從自由度為（1,n-1）的F-分布。S2/第二次作業(yè)論述題1隨機(jī)地取8只活塞環(huán)，測(cè)得它

7、們的直徑為（以mm計(jì)）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求總體均值科及方差°2的矩估計(jì)，并求樣本方差S2。11x.0_x_12設(shè)總體X的概率密度為p（X,9）=衿，其中日A-1為未知參數(shù)，樣本0,x:0,or,x1Xi,X2,L,Xn來(lái)自總體X,求未知參數(shù)日的矩法估計(jì)與極大似然估計(jì)。3求均勻分布U81,l02中參數(shù)191,e2的極大似然估計(jì).xx2Xe271x0一一一一一一4設(shè)連續(xù)型總體x的概率密度為p（x,e）=付e,x0sA0）,X1,X2,l,Xn來(lái)自總p,x<0體X的一個(gè)樣本，求未知參數(shù)日的極大似然估計(jì)量心，

8、并討論冰的無(wú)偏性。1一n參考答案：1解：科，b2的矩估計(jì)是杪=X=74.002,82=一£（Xix）2=6父10nyS2=6.86父10。2解：首先求數(shù)學(xué)期望EX=Qx（0+1從而解方程得8的矩法估計(jì)為?=-?1X二f?22X-1.1-Xn似然函數(shù)為L(zhǎng)f=i4(6+1)x8=(9n,n1ITi4nx,lnLi-nln114Inx,i4nndu+£Inx=0,解得6的極大似然估計(jì)為?=-1.i-InXiI3解：先寫出似然函數(shù)L-U其他n，若81X（1）X（n）02似然函數(shù)不連續(xù),不能用似然方程求解的方法，只有回到極大似然估計(jì)的原始定義，由似然函數(shù)，注意到最大值只能發(fā)生在1X（

9、1）X（n）迅叱而欲L（X；e1,%）最大，只有使3-仇最小，即使其盡可能小,e?盡可能大，只能取同=X，M=X(n)4解：似然函數(shù)為nXL口二:7ei1-XinJ2i1.une”,InL口-nIn二Inixi1nzi=12XidInL2Xidu212duXi2.由于2nnVEXi2E=-EX22n26=dx2X-2-1ex-2X。1-2x22因此日的極大似然估計(jì)量于是9的無(wú)偏估計(jì)量。2。ed-=丁2第三次作業(yè)論述題1設(shè)Xi,X2是取自正態(tài)總體N（巴1）的一個(gè)容量為2的樣本，試證下列三個(gè)估計(jì)量213111都是科的無(wú)偏估計(jì)量：-X1+X2,X1+X2,X1+X2,并指出其中哪一個(gè)估計(jì)量更3132

10、41422122有效。2,一，八21/2口2設(shè)Xi,X2,L,Xn是取自正態(tài)總體N（匕。）的一個(gè)樣本，試證S=£（XiX）是n-1ij1的相合估計(jì)。3隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得其長(zhǎng)度（以厘米計(jì)）為2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11設(shè)釘長(zhǎng)服從正態(tài)分布，試求總體均值N的0.9的置信區(qū)間。（1）若已知（t=0.01（厘米），（2）若b未知。4某農(nóng)場(chǎng)為了試驗(yàn)磷肥與氮肥是否提高水稻收獲量，任選試驗(yàn)田18塊，每塊面積1/20畝進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果：不施肥的10塊試驗(yàn)田的收獲量分別為8.6,7.9,

11、9.3,10.7,11.2,11.4,9.8,9.5,10.1,8.5（單位：市斤），其余8塊試驗(yàn)田在插種前施加磷肥，播種后又追施三次氮肥，其收獲量分別為12.6,10.2,11.7,12.3,11.1,10.5,10.6,12.2。假定施肥與不施肥的收獲量都服從正態(tài)分布，且方差相等，試在置信概率0.95下，求每1/20畝的水稻平參考答案:均收獲量施肥比不施肥增產(chǎn)的幅度。1解：由于EXi=N,DXj=1,i=1,2,且X1,X2獨(dú)立，故有E2X31EX2X2221丁X13EX21,1,=；=：2131-J=LE-X1-X23344故它們均為科的無(wú)偏估計(jì)，而21D-X1X23311DX1X221

12、2241DX1DX299i1DX1DX24441r=99531-,D-X1X944111二"J442915I=I=16168'又由于1/2<5/9<5/8,所以第三個(gè)估計(jì)量更有效。2證明：由于n-1S2_一八2-盧一服從自由度為n-1的/2-分布,:二ES2_；2,ds2二422n-1=n-12二4n-1從而根據(jù)車貝曉夫不等式有0MPS2_02>£)<DS22041n-2n一三J0,所以s2=Z(Xi-X)是。2n-1i-1的相合估計(jì)。13解：(1)仃2=0.012,x=與(2.14+2.10+L+2.11)=2.125,置信度0.9,即a=

13、0.1,查正態(tài)分布數(shù)值表，知中(1.65)=(502)=0.95,即P(U<1.65)=1口=0.90，從而,一二0.01U1n2=u095=1.65,-=u1川2=-j=x1.65=0.004,所以總體均值N的0.9的置信區(qū)間1而與洞為X.IL：/nUj/2,X+二u-/2-12.125-0.004,2.1250.0041-12.121,2.1291.(2)(T未知21X=2.125,s2=16-1一、n-2.142.1252.102.125L2.112.125)=0.00029,置信度09即a=0.1,臼由度n-1=15,查t-分布的臨界值表/八S/0.00029I-n-1=t0.9

14、515=1.753,=t-2n-1=.1.753=0.0075,.n-16所以置信度為0。9的科的置信區(qū)間是n1_ss,|X-/t142(n-1),X+赤白42-12.125-0.0075,2.1250.0075.1-12.1175,2.13251.4解：設(shè)正態(tài)總體X,Y分別表示施肥和不施肥的每1/20畝的水稻收獲量，據(jù)題意，有2225.9612.4n=8,x=11.4,n-1sl=5.96,m=10,y=9.7,m-1S2-12.4,sW1.1475810-2對(duì)1-a=0.95,即a=0.05,查t分布表(自由度為n+m-2=16),得t1/2(n+m2)=2.12,于是|1.1.八八匚(1

15、.1x-y-sWJ-+-11_0,2(n+m-2)=11.4-9.7-.1.1475-+,2.12=0.6Ynm7、'81810)X-y+碗.口+%(n+m-2)=11.4-9.7+J1.14751父2.12=2.8,.nm-:810所以在置信概率0.95下，求每1/20畝的水稻平均收獲量施肥比不施肥增產(chǎn)0.6到2.8市斤。第四次作業(yè)論述題1某廠用自動(dòng)包裝機(jī)裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布N（100,1.152）,某日開工后，隨機(jī)抽查10箱，重量如下（單位：斤）：99.3,98.9,100.5,100.1,99.9,99.7,100.0,100.2,99.5,100.9,問(wèn)包裝

16、機(jī)工作是否正常，即該日每箱重量的數(shù)學(xué)期望與100有顯著差異（給定水平”0.05,并認(rèn)為該日的。0仍為1.15）?2設(shè)某包裝食鹽的機(jī)器正常工作時(shí)每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差不得超過(guò)10克，某天開工后從包裝好的食鹽中隨機(jī)抽取9袋，測(cè)得其凈重如下（單位：克）497,507,510,475,484,488,524,491,515.問(wèn)此時(shí)包裝機(jī)工作是否正常？（：=0.01）3由累積資料知道甲、乙兩煤礦的含灰率分別服從N（出,7.5）N（k2,2.6%現(xiàn)從兩礦各抽n=5,m=4個(gè)試件，分析其含灰率為（）甲礦24.320.823.721.317.4乙礦18.216.920.216.7問(wèn)甲、乙兩礦所采

17、煤的含灰率的數(shù)學(xué)期望R1，匕有無(wú)顯著差異（顯著水平”=0.05）?4兩臺(tái)車床生產(chǎn)同一種滾珠（滾珠直徑按正態(tài)分布見(jiàn)下表），從中分別抽取8個(gè)和9個(gè)產(chǎn)品,比較兩臺(tái)車床生產(chǎn)的滾珠直徑的方差是否相等（a=0.05）?甲床15.014.515.215.514.815.115.214.8乙床15.215.014.815.215.015.014.815.114.85自某種銅溶液測(cè)得9個(gè)銅含量的百分比的觀察值為8.3,標(biāo)準(zhǔn)差為0.025。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N（此仃2）,R尸2均未知。試依據(jù)這一樣本取顯著性水平«=0.01檢驗(yàn)假設(shè)：H0:N>8.42,H1:N<8.42。參考答案：1解：以該

18、日每箱重量作為總體X,它服從N（也1.152）,問(wèn)題就歸結(jié)為根據(jù)所給的樣本觀察值對(duì)方差已知的單個(gè)正態(tài)總體檢驗(yàn)H0:N=100,H1:N0100,可采用U-檢驗(yàn)法。由所給樣本觀察值算得X=99.9,于X二U0_二0/*n99.9二1001.15八而=-0.27對(duì)于a=0.05,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得U14/2=u0.975=1.96,因?yàn)閡=0.27<1.96,所以接受H。，即可以認(rèn)為該日每箱重量的數(shù)學(xué)期望與100無(wú)顯著差異，包裝機(jī)工作正常。2解：均值味知，檢驗(yàn)H。：。2=仃：=102hHi：Q2>102,2選取檢驗(yàn)統(tǒng)1t量：72=何-?:-1）,計(jì)算得岑=20.5,在n=9,a=0.0

19、5寸,二°容.95（8）=15.707。拒絕域2W4/2（n1or,*之Jn1?，因此此時(shí)包裝機(jī)工J/2作是否正常。解：分別以甲乙兩礦所采煤的含灰率作為總體X和總體Y,問(wèn)題歸結(jié)為根據(jù)所給的樣本觀察值對(duì)方差已知的兩個(gè)正態(tài)總體檢驗(yàn)H0:N1=匕，H1:N1#匕，可采用U-檢驗(yàn)法。由所給樣本觀察值算得x=21.5,y=18,x-yu=.二2.nm21.5-18:2.39,7.52.6二54對(duì)于“=0.10,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得u1v/2=u0.95=1.645,因?yàn)閡|=2.39a1.645,所以拒絕H。，即可以認(rèn)為因，匕有顯著差異。22，a=0.05,a/2=0.025,2224解：已知n

20、=8,m=9,a=0.05,假設(shè)H0:仃1=<r2,H1:a1?仃S2第一自由度n-1=7,第一自由度m-1=8,在H0成立的條件下選取統(tǒng)計(jì)量F=:服從自由度S2分別為7,8的F分布_12122x=15.0L14.8=15.01,&=15.0-15.01L14.8-15.01=0.09688-1_19122y15.2L14.8=14.99,sf15.2-14.99L14.8-14.99=0.0026,9910.0960.026=3.69查表：F0.975(7,8)=4.53,因?yàn)镕=3.69<4.53,所以接受假設(shè)H0,即可以認(rèn)為兩臺(tái)車床生產(chǎn)的滾珠直徑的方差相等。5解：這是

21、一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問(wèn)題,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為X-8.42T=f=-°S/.n83-842代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t=8.3歲=-14.4。0.025/、9檢驗(yàn)的臨界值為t0.99(8)=2.8965。因?yàn)閠=14.4>2.8965,所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)H0,即認(rèn)為銅含量顯著地小于8.42%。第五次作業(yè)論述題1、設(shè)丫=0送1+P2X2+e,作3次觀察有丫=月十立丫？：？口息途2¥=日1+2瓦+&,61©,&相互獨(dú)立，且e(i=l,2,3)服從N(0,仃2)，試求月邛2的最小二乘估計(jì)量。2、設(shè)y=Po+PiXi+

22、P2(3x：2)+ei,i=1,2,3,Xi=1,X2=0,X3=1,q,i=1,2,3相互獨(dú)立，且服從N(0,a2).(1)寫出矩陣X;(2)求P0,P1,久的最小二乘估計(jì)；(3)證明當(dāng)為=0時(shí)，B。與月的最小二乘估計(jì)不變。參考答案：1解：據(jù)題設(shè),丫=y2l丫3JP1%XX二10J120-1從而，正規(guī)方程JXX-6<0,XY=10-12丫2=XY,即6P1=丫+2丫+丫3,5?2=Y2+2Y3,=：丫112，心丫2N.2解:(D由已知X-101-2(2)XX=1-110-2人1-1011-20,XY=-110-2y1y2y3y1+y2+y3-y/y3d-2y2+y3j則日0,日1,日2

23、的最小二乘估計(jì)是300?=(XXfXY=0<0(%十丫2+y3)/3(-必+丫3”2Jy2y2+丫3)/6(3)若02=0,則此時(shí)模型變成:BXi+e,i=1,2,3，那么此時(shí)對(duì)應(yīng)的-10,xX=1j1-1-1013<002,xY=111-101y1y2<y3)y1*y2*y3”y3)而P0與Pl的最小二乘估計(jì)為J=XXXY3<0Of2'yi+y2+y3<Tl+y3/(y1+丫2+丫3)/3(-yi+y3)/2,與(2)中求得的完全一致。1、設(shè)總體服從泊松分布P(入)，Xi,L,Xn是一樣本：(1)寫出Xi,L,Xn的概率分布；(2)計(jì)算EX,DX和ES；

24、(3)設(shè)總體容量為10的一組樣本觀察值為(1,2,4,3,3,4,5,6,4,8)試計(jì)算樣本均值，樣本方差和次序統(tǒng)計(jì)量的觀察值。2、設(shè)總體X服從N(0,1),樣本XJ,X6來(lái)自總體X,令22nY=(X1+X2+X3)+(X4+X5+X6),求常數(shù)C,使CY服從72-分布。3、已知隨機(jī)變量X服從t分布，自由度為n,證明隨機(jī)變量F=X2服從F分布，自由度為11,n)。又有Xn卅服從HI)服從什么分s2/n12124、設(shè)總體X服從N(巴。),X和S2為樣本均值和樣本修正方差,N(N,。2),且與X1,L,Xn相互獨(dú)立，試求統(tǒng)計(jì)量X-=Sn/,n1布。1、解,x(1)因?yàn)镻(Xi=xi)=eWxi=0

25、,1,2,L,九>0,所以X1,L,Xn的概率分布為為！nJnn,x.iiPXi=x,i=1,2,L,n=PXi=Xie-'=-e",x=0,1,2,L.p-xi!1jxi!1 1DX(2)因?yàn)镋X=DX=九，所以EX=EX=九,DX=nDXz-1n4021n22(3)x=£xi=4,s；=2xi2X2ni410ni/10、X2-42=3.6,s210i4102/二一sn=4.9將樣本觀察值依照從小到大的順序排列即得順序統(tǒng)計(jì)量x”L,10)的觀察值如下：(1,2,3,3,4,4,4,5,6,8)。2、解：因?yàn)闃颖綳J,X6獨(dú)立同分布N(0,1),所以X1+X2

26、+X3服從N(0,3),Xi+X£+X3服從N(0,1),同理X4十'+6服從N(0,1因此,3.3XX2.X32服從2X4X5X6服從21,且兩者相互獨(dú)立，由，2-分布的可加性，知Y/3服從72(2),所以取C=1/3。U23、證明：由題設(shè)知，隨機(jī)變量X可以表示為X,其中u服從N(0,1),彳服從自'nn由度為n的爐-分布，且U與7：相互獨(dú)立。其次容服從自由度為1的芷2-分布，于是F=2 /10X2可表示為F=X2=,故隨機(jī)變量F=X2服從F分布，自由度為(1,n)。:/n,.仃2)-32、一.rn+12)4、解：由X服從N%，Xn4服從N()。)，Xn書X服從N.

27、0,仃2,<nJ1nlc2c2服從N(0,1),又由口T服從自由度為n-1的？2-分布，由定理1.3.6知X與Z二2二2XXnS2相互獨(dú)乂，而Xn+與X1,L,Xn相互獨(dú)立，因此J與一丁相互獨(dú)乂。汪思t分布的二1二服從自由度為n-1的t-分布。由Xn=X服Ln1從N(0,1(1),又由定理1.3.6知2(n-12)S服從自由度為CFn-1的7-2-分布，由前同理可知2Xn1-XI.n-1S,、n,與2相互獨(dú)立。汪息n1二LnF分布的定義一2Xn1-X服從自由度為(1,n-1)的F-分布。S2/1、設(shè)總體服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，分布密度為p(x;九)=he*,x>00,x<0求

28、EX,DX和ES2.2、設(shè)總體X服從a,b上的均勻分布其中a,b為兩個(gè)未知參數(shù)，樣本Xi,X2,L,Xn來(lái)自總體X,求未知參數(shù)a,b的矩法估計(jì)。3、求均勻分布U3,%中參數(shù)R,%的極大似然估計(jì).x2Ix0,x0(9>0),XX2,L,Xn來(lái)自總x<04、設(shè)連續(xù)型總體X的概率密度為p(x,9)=Qe0,體X的一個(gè)樣本，求未知參數(shù)日的極大似然估計(jì)量?，并討論?的無(wú)偏性。5、設(shè)Xi，L,Xn是取自具有下列指數(shù)分布的一個(gè)樣本,-e-,x_0.p(x,e戶日代A0),0,x:二0、一1n證明X=-£Xi是0的無(wú)偏、相合、有效估計(jì)。ni41、解：由于EXi=1/九,DXj=1/(i=

29、1,2，n),所以_1n1n1EX=E(£Xi)=£E(Xi)一;ni4ni411n1n1DX=D("Xi)=2、'、D(Xi)=2；21nES/二J"ni4nn'X)2=zD(Xi)=2,2=廠已n-1i1n-1n(n-1)2、解：由X服從a,b上的均勻分布，易知EXUex2222b-aab"DXEX=12.2求a,b的矩法估計(jì)量只需解方程2得？=X-、3Sn,?=X3Sn3、解：先寫出似然函數(shù)L(六：0,其他，若露<X(1)<X(n)<2似然函數(shù)不連續(xù)，不能用似然方程求解的方法，只有回到極大似然估計(jì)的原始定

30、義，由似然函數(shù)，注意到最大值只能發(fā)生在丁1三X(1)<X(n)<2叱而欲l(x；4,%)最大，只有使%-3最小，即使照盡可能小，叫盡可能大，只能取&=X(1),M=X(n).4、解：似然函數(shù)為2Xinnn不2nxi紅2nLe271=J-A;-e2,lnL1-nlnIn11i17171i1xn+5,令也山12fdi'X；=0,得心=*.由于2nn、EX：d-x2一一2x22E3=1EX2=-廣x22e”%x=e;上e祠上=er(2戶日,2n220f02i2f因此0的極大似然估計(jì)量夕是e的無(wú)偏估計(jì)量。5、證明：首先由于xx二x-.x-.xEXi=e屯x=9fe8d=Qr

31、(2)=9,故EX=EXi=9,即樣本均值是0的無(wú)0101二一2x一2x偏估計(jì)。又EX：=/：3%乂=82116%；=62口3)=202，所以_2_2_.2.2.2T1DXi=EXi(EXi)=2日日=日，故DX=一.而n2o«用np(Xi,8)/Xi日)DXi921El演2e2;e4e4e-11f2，,八、故C-R下界為=，因此樣本均值是0的有效估計(jì)nn3nI2另外由車貝曉夫不等式dXI20<P(X-92y=1一上J0,所以樣本均值還是。的相合估計(jì)。nn名1、隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得其長(zhǎng)度（以厘米計(jì)）為2.142.102.132.152.132.122.132.10

32、2.152.122.142.102.132.112.142.11設(shè)釘長(zhǎng)服從正態(tài)分布，試求總體均值N的0.9的置信區(qū)間。（1）若已知（t=0.01（厘米），（2）若b未知。2、隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為11（米/秒）。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈速度的標(biāo)準(zhǔn)差（T的0.9的置信區(qū)間。3、設(shè)A,B二化驗(yàn)員獨(dú)立地對(duì)某種聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次測(cè)定，其測(cè)量值的修正方差分別為sA=0.5419,sB=0.6065,設(shè)仃A和仃2分別為所測(cè)量的數(shù)據(jù)總體（設(shè)為正態(tài)總體）的方差，求方差比仃：/。：的0.95的置信區(qū)間。AB4、設(shè)總體X服從均勻分布U0,9,其中。為未知

33、參數(shù)，樣本X1,L,Xn來(lái)自總體X,X（n=maxX1,L,Xn,試在置信概率1-“下，利用Y=X（n）/8,求o的形如0,z的置信區(qū)間。5、為了檢驗(yàn)?zāi)乘幬锸欠駮?huì)改變?nèi)说难獕?，挑選10名試驗(yàn)者，測(cè)量他們服藥前后的血壓，如編R12345678910服藥前血壓134122132130128140118127125142服藥后血壓140130135126134138124126132144卜表所列:假設(shè)服藥后與服藥前血壓差值服從正態(tài)分布，取檢驗(yàn)水平為0.05,從這些資料中是否能得出該藥物會(huì)改變血壓的結(jié)論?2211、解：(1)仃=0.01,x=2.14+2.10+L+2.11=2.125,置信度0.9

34、,即“=0.1,16查正態(tài)分布數(shù)值表，知G(1.65)=6(u玄2)=0.95,即P(UE1.65)=1口=0.90，從而aU1-SC2=U0.95=1.65,廠U1_O2nCT_CTU1-/2,XU1-/2、.n、n=001父1.65=0.004,所以總體均值N的0.9的置信區(qū)間16-12.125-0.004,2.1250.0041-12.121,2.1291.(2)(T未知1222x=2.125,s22.14-2.1252.10-2.125L2.11-2.125=0.00029,16-1置信度0.9,即a=0.1,自由度n-1=15,查t-分布的臨界值表s0.00029t12(n-1尸t0

35、.95(15)=1.753，赤t13/2(n1戶，化=1.753=0.0075,所以置信度為0。9的科的置信區(qū)間是ssX-t1-；2n-1,x_t1.-./2n-1I<nn-12.125-0.0075,2.1250.0075.1-12.1175,2.13251.2解：s=11置信度0.9,即a=0.1,自由度n-1=8,查濟(jì)分布的臨界值表，得,2n-1=0.0522(8)=2.733/，2(n1尸喉如8)=15.507,所以，置信度為0.9的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差b的置信區(qū)間是n-1S221-72(n1)S2_：./23、解：n=m=10,1-a=0.95,IlIa=0.05,81128112

36、,1,7.90,18.82115.507,2.733Fi_-/2n-1,m-1=F0.9759,9=4.03,F/2n-1,m-1=-=0.2418,Fi_-/2m-1,n-1從而sa_SFFsA-0.541910.54191會(huì)(n-1,m-1,SBF2(n-1,m-1)-10.60654.03,0.60650.2418=0.2223.601故方差比4、解：2,2,oA/仃B的0.95的置信區(qū)間為0.222,3.601。因?yàn)閄i/8服從均勻分布0,1（i=1,2,!）,它們的分布函數(shù)為0,x；0F(x)=(x,0<x<1,于是Y的分布函數(shù)為密度函數(shù)為X-1nFyy=pXn/-y)=

37、1.1pXi/一yi1)=F(y,Pyn-4nny,0：y：1y=fyy=nILFypy:0,y三0,or,y-1對(duì)給定的置信概率1-a,由P(YAz)=1a,即1nyndy=1a,定出入=底,即有P'0=1a,即是說(shuō)，0,學(xué)一1、血）1弧是在置信概率1-a下。的置信區(qū)間。225、解：以X記服藥后與服藥前血壓的差值，則X服從N（N,。），其中N,。2均未知，這些資料中可以得出X的一個(gè)樣本觀察值：683-46-26-172待檢驗(yàn)的假設(shè)為H0:=0,H1:;0這是一個(gè)方差未知時(shí)，對(duì)正態(tài)總體的均值作檢驗(yàn)的問(wèn)題，因此用t檢驗(yàn)法當(dāng)X玲，一一T=魯112（0-1）時(shí)，接受原假設(shè)，反之，拒絕原假設(shè)。

38、依次計(jì)算有110-122(6-3.1J+L+(2-3.1)=17.6556,S/布_12x68L72i=3.1,s23.1-0t二-2322817.6556/10由于t142（n1）=to.975（9）=2.2622，T的觀察值的絕對(duì)值t=2.3228a2.2622.所以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為服藥前后人的血壓有顯著變化。21、某廠用自動(dòng)包裝機(jī)裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布N（100,1.15），某日開工后，隨機(jī)抽查10箱,重量如下（單位:斤）:99.3,98.9,100.5,100.1,99.9,99.7,100.0,100.2,99.5,100.9,問(wèn)包裝機(jī)工作是否正常，即該日每箱重量

39、的數(shù)學(xué)期望與100有顯著差異（給定水平a=0.05,并認(rèn)為該日的仃0仍為1.15）?2、設(shè)某包裝食鹽的機(jī)器正常工作時(shí)每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差不彳#超過(guò)10克，某天開工后從包裝好的食鹽中隨機(jī)抽取9袋，測(cè)得其凈重如下（單位：克）497,507,510,475,484,488,524,491,515.問(wèn)此時(shí)包裝機(jī)工作是否正常？（a=0.01）3、某種標(biāo)準(zhǔn)類型電池的容量（以安-時(shí)計(jì)）的標(biāo)準(zhǔn)差。=1.66,隨機(jī)地取10只新類型的電池測(cè)得它們的容量如下146,141,135,142,140,143,138,137,142,136設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N（匕。2）,巴仃2均未知，問(wèn)標(biāo)準(zhǔn)差是否有變動(dòng)，

40、即需檢驗(yàn)假設(shè)（取a=0.05）：H0：d2=1.662,H1：d2/1.662。4、為了檢驗(yàn)?zāi)乘幬锸欠駮?huì)改變?nèi)说难獕海暨x10名試驗(yàn)者，測(cè)量他們服藥前后的血壓，如下表所列：編R12345678910服藥前血壓134122132130128140118127125142服藥后血壓140130135126134138124126132144假設(shè)服藥后與服藥前血壓差值服從正態(tài)分布，取檢驗(yàn)水平為0.05,從這些資料中是否能得出該藥物會(huì)改變血壓的結(jié)論？5、由累積資料知道甲、乙兩煤礦的含灰率分別服從N（5,7.5）N（R2,2.6）.現(xiàn)從兩礦各抽n=5,m=4個(gè)試件，分析其含灰率為（）甲礦24.320.8

41、23.721.317.4乙礦18.216.920.216.71、解：以該日每箱重量作為總體X,觀察值對(duì)方差已知的單個(gè)正態(tài)總體檢驗(yàn)由所給樣本觀察值算得x=99.9,于X-U099.9-100二0/11.15/.10=-0.27,2它服從N（出1.152）,問(wèn)題就歸結(jié)為根據(jù)所給的樣本H0：N=100,H1：N#100,可采用U-檢驗(yàn)法。日=0.27<1.96,所以接受對(duì)于a=0.05,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得U1/2=U0.975=1.96,因?yàn)閁H0,即可以認(rèn)為該日每箱重量的數(shù)學(xué)期望與100無(wú)顯著差異，包裝機(jī)工作正常。2、解：均值N未知，檢驗(yàn)H。：仃2=仃；=102修乩：仃2>102,選取

42、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:22(n-1)S2.2(n1),計(jì)算得為2=20.5,在n=9,a=0.05寸,0.95(8)=15.707。拒絕域K2«/22：./2n-1,or,1（n-11，因此此時(shí)包裝機(jī)工作不正常。屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題。3、解：這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為_2(n-1)S1.662代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2(10-1)12=2=39.193。1.662檢驗(yàn)的臨界值為70.975（9）=19.022。因?yàn)閆2=39.193>19.022,所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)H。，即認(rèn)為電池容量的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了顯著的變化，不再為1.66。4、解：以X記服藥后與服藥前血

43、壓的差值，則X服從N（N,。2）,其中N,。2均未知，這些資料中可以得出X的一個(gè)樣本觀察值：683-46-26-172待檢驗(yàn)的假設(shè)為H0:=0,H1:0這是一個(gè)方差未知時(shí)，對(duì)正態(tài)總體的均值作檢驗(yàn)的問(wèn)題，因此用t檢驗(yàn)法當(dāng)T=X-%<t12（n-1）時(shí)，接受原假設(shè)，反之，拒絕原假設(shè)。依次計(jì)算有|S/Vn|-19122x=-6+8+L+7+2=3.1,s2=6-3.1+L+2-3.1=17.6556,1010-13.1-0t=*=2.3228,17.6556/10由于t1«（n1）=t0.975（9）=2.2622,T的觀察值的絕對(duì)值t=2.3228>2.2622.所以拒絕原假

44、設(shè)，即認(rèn)為服藥前后人的血壓有顯著變化。觀察值對(duì)方差已知的兩個(gè)正態(tài)總體檢驗(yàn)H0:丹=!121Hl:&,可采用U-檢驗(yàn)法。由所給樣本觀察值算得X=21.5,y=18,于是x-yU=-T二,二2,nm等咨=2.39,7.52.654對(duì)于a=0.10,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Uiy/2=Uo.95=1.645,因?yàn)閁2.39a1.645,所以拒絕H0,即可以認(rèn)為口2有顯著差異。527次地震，這些地震在一天中1、統(tǒng)計(jì)了日本西部地震在一天中發(fā)生的時(shí)間段，共觀察了的四個(gè)時(shí)間段的分布如下表時(shí)間段0點(diǎn)一6點(diǎn)6點(diǎn)一12點(diǎn)12點(diǎn)18點(diǎn)18點(diǎn)24點(diǎn)次數(shù)123135141128試取a=0.05檢驗(yàn)假設(shè)：地震在各個(gè)時(shí)間

45、段內(nèi)發(fā)生時(shí)等可能的。2、為了研究患慢性支氣管炎與吸煙量的關(guān)系，調(diào)查了272個(gè)人，結(jié)果如下表:吸煙量（支/日）求和09101920患者數(shù)229825145非患者數(shù)228916127求和4418741272試問(wèn)患慢性支氣管炎是否與吸煙量相互獨(dú)立（顯著水平a=0.05）?3、考察溫度對(duì)某一化工產(chǎn)品得率的影響，選了五種不同的溫度，在同一溫度下做了三次試驗(yàn)，測(cè)得其得率如下，試分析溫度對(duì)得率有無(wú)顯著影響。（a=0.01）溫度6065707580得率9091968484929396838688929388824、設(shè)¥=1X1+P2X2+e,作3次觀察有Y=PI+e,Y2=2PiP2+e2,Y=Pi