對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明及變式探究

1、a+b2b-aInb-Ina211+-aba，其中aInab被稱為“對(duì)數(shù)Inb平均數(shù)”.安振平老師通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，證明了上述對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈，難度較大.基于此，筆者進(jìn)行了深入的探討，給出對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明，形象直觀，易于理解1對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明1如圖，先畫反比例函數(shù)fX-x0的圖象，再畫其他的輔助線，其中APBCTUKV，xAA_AMNCDx軸，Aa,0,Pa,-,Bb,0,Qb,-,Tab,=abJab設(shè)函數(shù)fx在點(diǎn)ab2K,處的切線分別與直線AP,BQ交于點(diǎn)E,F，則根據(jù)左圖可知:2ab因?yàn)镾曲邊梯形ABQPS梯形ABFES矩形ABNM，b12所以Q;dX=I

2、nb-Ina荷(b-a).ab1因?yàn)槟窟吿菪蜛UTP=Q_dx=Inab-Ina=x1(lnb-Ina)=1St22曲邊梯形ABQP，S梯形AUTP=x_b-aa)=2?TZ2S弟形ABCD，對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的幾何證明及變式探究中學(xué)數(shù)學(xué)教育專家安振平在剖析2013年陜西高考數(shù)學(xué)壓軸題時(shí)指出，其理論背景是:b-a而根據(jù)右圖可知：j形AUTPS梯形s，所以Inb-Ina忌.另外,根據(jù)S矩形abqx竊邊梯形ABQPS梯形ABQPS矩形ABYP，可得:b(b-a)Inb-na翳a)1(b-aa).綜上,結(jié)合重要不等式可知:1(b-a)b)Inb-a+bInab-.ab1.1b壬b-a)b-a，記為式

3、；將2Inb-lnab-aInb-Inab-a,ab，記為式；將bInb-In2T+a1，記為式變式探究1：取ax1,bx2，則由知:X12X2X1Inx2Inx-i于是，可編制如下試題：已知x2x10,求證:Inx2InX2(X2xjX1x2變式探究為山X2，則由知:X2X1Inx2Inx1,x1x2.于是，可編制如下試題：已知X2X1求證:Inx1JX1X2變式探究X1,bX2，則由知:X2X2X1Inx2Inx12丁.于是，可編制如下試題：已X1X2知x2x10,求證:1xX2Inx2Inx-iX22X12x-iX2變式探究4：取a為1,bX21，則由知：（11)(X21)(X21)-一

4、.于是，可2In(X21)In(x11)編制如下試題:對(duì)任意X1,X2(1,），且X1X2，求證X2X1X1X21In(X21)In(x11)2變式探究5：取aX1,bX21，則由知:編制如下試題：對(duì)任意X1,X2(1,)，且X1X2(X21)(X11)7/w4/w4卩是可r(X11)(x21).是，可In(x21)In區(qū)1)X2X1，求證：X1X2X1x21In(x21)In(論1)變式探究6:取aXi1,bX21,則由知：x2區(qū)1)(為1)In(x21)In(為1)1X-I1x21是，可編制如下試題：對(duì)任意Xi,X2(1,），且X!X2，求證:X21X2X1In(X21)2(Xi1)(X2

5、1)變式探究7：取a編制如下試題:對(duì)任意變式探究8：取a編制如下試題:對(duì)任意變式探究9：取a可編制如下試題：對(duì)任意X21丄In(x21)ln(X1)x1X22X11,bX1,X2(1,X11,bX1,X2(1,X11,bX1,X2(X11)X21，則由知:(X11)(X21)(X21)(X11)曰是，ln(x21)1門(為1)變式探究10：取ax-i,x2R，且x2X1，變式探究11:x-i,x2R，且x2X1，變式探究12:），且X1X2，求證:x21，則由知:X2(1,X2X1In(x21)巾(為_(kāi)為X211)2.(X21)X1)In(x21)Ing1)），且x1x2，求證:1，則由知：x

6、2），且X1X2，2(X11)(X21)In(x-1)x1x22x1,e,b求證:eX1,b求證:eb求證:x2x(In(x21)In(為1)區(qū)1)區(qū)1)In(x21)In(論1)1)(x21).于是,X21.X-I1x2曰是，e-，則由知：eX2eX22X2X1e2e1.于是，可編制如下試題:X2X1對(duì)任意x2X-i2eX2X2eX2，則由知:x12exX2，則由知:eX1eX2.于是，可編制如下試題:對(duì)任意X2X1exeX2eX2eX1x2x-i-.于是，可編制如下試題：對(duì)11X1-X2、X1X2:任意x-i,x2R，且x2捲，求證：eXeeX2X1x22eXlX22e1e51X2彳XT虧1.ee1x2x(總之，對(duì)數(shù)平均數(shù)不等式鏈的運(yùn)用是近幾年數(shù)學(xué)競(jìng)賽、名校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的理論背景,正如陜西師范大學(xué)羅增儒教授所言：我們可以通過(guò)有限的典型考題的學(xué)習(xí)，去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)