第9章 MATLAB符號計算 ppt課件

1、第第9章章 MATLAB符號計算符號計算9.1 符號對象符號對象9.2 符號微積分符號微積分9.3 級級 數數9.4 符號方程求解符號方程求解9.1 符號對象符號對象9.1.1 建立符號對象建立符號對象1建立符號變量和符號常量建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數：提供了兩個建立符號對象的函數：sym和和syms，兩個函數的用法不同。，兩個函數的用法不同。(1) sym函數函數sym函數用來建立單個符號量，普通調用格式為：函數用來建立單個符號量，普通調用格式為：符號量名符號量名=sym(符號字符串符號字符串)該函數可以建立一個符號量，符號字符串可以是常該函數可以建立一個

2、符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數或表達式。量、變量、函數或表達式。運用運用sym函數還可以定義符號常量，運用符號常量函數還可以定義符號常量，運用符號常量進展代數運算時和數值常量進展的運算不同。下進展代數運算時和數值常量進展的運算不同。下面的命令用于比較符號常量與數值常量在代數運面的命令用于比較符號常量與數值常量在代數運算時的差別。算時的差別。 (2) syms函數函數函數函數sym一次只能定義一個符號變量，運用不方便。一次只能定義一個符號變量，運用不方便。MATLAB提供了另一個函數提供了另一個函數syms，一次可以定義，一次可以定義多個符號變量。多個符號變量。syms函數的普通調用格

3、式為：函數的普通調用格式為：syms 符號變量名符號變量名1 符號變量名符號變量名2 符號變量名符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。，變量間用空格而不要用逗號分隔。2建立符號表達式建立符號表達式含有符號對象的表達式稱為符號表達式。建立符號表達式有含有符號對象的表達式稱為符號表達式。建立符號表達式有以下以下3種方法：種方法：(1)利用單引號來生成符號表達式。利用單引號來生成符號表達式。(2)用用sym函數建立符號表達式。函數建立符號表達式。(3) 運用曾經定義的符號變量組成符號表達

4、式。運用曾經定義的符號變量組成符號表達式。9.1.2 符號表達式運算符號表達式運算1符號表達式的四那么運算符號表達式的四那么運算符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由函數符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由函數symadd、symsub、symmul和和symdiv來實現，冪運算可以由來實現，冪運算可以由sympow來實現。來實現。2符號表達式的提取分子和分母運算符號表達式的提取分子和分母運算假設符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可假設符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用利用numden函數來提取符號表達式中的分子或分母。其函數來提取符號表達式中的分子或分母。其普

5、通調用格式為：普通調用格式為：n,d=numden(s)該函數提取符號表達式該函數提取符號表達式s的分子和分母，分別將它們存放在的分子和分母，分別將它們存放在n與與d中。中。3符號表達式的因式分解與展開符號表達式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展開的函數，函提供了符號表達式的因式分解與展開的函數，函數的調用格式為：數的調用格式為：factor(s)：對符號表達式：對符號表達式s分解因式。分解因式。expand(s)：對符號表達式：對符號表達式s進展展開。進展展開。collect(s)：對符號表達式：對符號表達式s合并同類項。合并同類項。collect(s,v)：對符號表

6、達式：對符號表達式s按變量按變量v合并同類項。合并同類項。4符號表達式的化簡符號表達式的化簡MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數有：提供的對符號表達式化簡的函數有：simplify(s)：運用函數規(guī)那么對：運用函數規(guī)那么對s進展化簡。進展化簡。simple(s)：調用：調用MATLAB的其他函數對表達式進展綜合化簡，的其他函數對表達式進展綜合化簡，并顯示化簡過程。并顯示化簡過程。5符號表達式與數值表達式之間的轉換符號表達式與數值表達式之間的轉換利用函數利用函數sym可以將數值表達式變換成它的符號表達式?？梢詫抵当磉_式變換成它的符號表達式。函數函數numeric或或eval可以將符號表達式

7、變換成數值表達式?？梢詫⒎柋磉_式變換成數值表達式。9.1.3 符號表達式中變量確實定符號表達式中變量確實定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以協(xié)助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量。該函可以協(xié)助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量。該函數的調用格式為：數的調用格式為：findsym(s,n)函數前往符號表達式函數前往符號表達式s中的中的n個符號變量，假設沒有指定個符號變量，假設沒有指定n，那么前往那么前往s中的全部符號變量。中的全部符號變量。9.1.4 符號矩陣符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達式，所以前面引見的符符號矩陣也是

8、一種符號表達式，所以前面引見的符號表達式運算都可以在矩陣意義下進展。但應留號表達式運算都可以在矩陣意義下進展。但應留意這些函數作用于符號矩陣時，是分別作用于矩意這些函數作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進展由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進展有關矩陣的運算。有關矩陣的運算。MATLAB還有一些公用于符號還有一些公用于符號矩陣的函數，這些函數作用于單個的數據無意義。矩陣的函數，這些函數作用于單個的數據無意義。例如例如transpose(s)：前往：前往s矩陣的轉置矩陣。矩陣的轉置矩陣。determ(s)：前往：前往s矩

9、陣的行列式值。矩陣的行列式值。其實，曾引見過的許多運用于數值矩陣的函數，如其實，曾引見過的許多運用于數值矩陣的函數，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可等，也可直接運用于符號矩陣。直接運用于符號矩陣。9.2 符號微積分符號微積分9.2.1 符號極限符號極限limit函數的調用格式為：函數的調用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號函數：求符號函數f(x)的極限值。即計算當的極限值。即計算當變量變量x趨近于常數趨近于常數a時，時，f(x)函數的極限值。函數的極限值。(2) limit(f,a)：求符號函數：求符號函數f(x)的極限值。由于沒有的極限值

10、。由于沒有指定符號函數指定符號函數f(x)的自變量，那么運用該格式時，的自變量，那么運用該格式時，符號函數符號函數f(x)的變量為函數的變量為函數findsym(f)確定的默許確定的默許自變量，即變量自變量，即變量x趨近于趨近于a。(3) limit(f)：求符號函數：求符號函數f(x)的極限值。符號函數的極限值。符號函數f(x)的變量的變量為函數為函數findsym(f)確定的默許變量；沒有指定變量的目的確定的默許變量；沒有指定變量的目的值時，系統(tǒng)默許變量趨近于值時，系統(tǒng)默許變量趨近于0，即，即a=0的情況。的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數：求符號函數f的極限

11、值。的極限值。right表示變表示變量量x從右邊趨近于從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號函數：求符號函數f的極限值。的極限值。left表示變量表示變量x從左邊趨近于從左邊趨近于a。例例9-1 求以下極限。求以下極限。極限極限1：syms a m x;f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);limit(f,x,a)ans =(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a極限極限2：syms x t;limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans =exp(6*t)極限極限3：

12、syms x;f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left)ans =1/2極限極限4：syms x;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,right)ans =-1/29.2.2 符號導數符號導數diff函數用于對符號表達式求導數。該函數的普通調用格式函數用于對符號表達式求導數。該函數的普通調用格式為：為：diff(s)：沒有指定變量和導數階數，那么系統(tǒng)按：沒有指定變量和導數階數，那么系統(tǒng)按findsym函數函數指示的默許變量對符號表達式指示的默許變量對符號表達式s求一階導數。求一階導數。dif

13、f(s,v)：以：以v為自變量，對符號表達式為自變量，對符號表達式s求一階導數。求一階導數。diff(s,n)：按：按findsym函數指示的默許變量對符號表達式函數指示的默許變量對符號表達式s求求n階導數，階導數，n為正整數。為正整數。diff(s,v,n)：以：以v為自變量，對符號表達式為自變量，對符號表達式s求求n階導數。階導數。例例9-2 求以下函數的導數。求以下函數的導數。9.2.3 符號積分符號積分符號積分由函數符號積分由函數int來實現。該函數的普通調用格式為：來實現。該函數的普通調用格式為：int(s)：沒有指定積分變量和積分階數時，系統(tǒng)按：沒有指定積分變量和積分階數時，系統(tǒng)按

14、findsym函函數指示的默許變量對被積函數或符號表達式數指示的默許變量對被積函數或符號表達式s求不定積分。求不定積分。int(s,v)：以：以v為自變量，對被積函數或符號表達式為自變量，對被積函數或符號表達式s求不定積求不定積分。分。int(s,v,a,b)：求定積分運算。：求定積分運算。a,b分別表示定積分的下限和上分別表示定積分的下限和上限。該函數求被積函數在區(qū)間限。該函數求被積函數在區(qū)間a,b上的定積分。上的定積分。a和和b可以可以是兩個詳細的數，也可以是一個符號表達式，還可以是無是兩個詳細的數，也可以是一個符號表達式，還可以是無窮窮(inf)。當函數。當函數f關于變量關于變量x在閉區(qū)

15、間在閉區(qū)間a,b上可積時，函數上可積時，函數前往一個定積分結果。當前往一個定積分結果。當a,b中有一個是中有一個是inf時，函數前往時，函數前往一個廣義積分。當一個廣義積分。當a,b中有一個符號表達式時，函數前往中有一個符號表達式時，函數前往一個符號函數。一個符號函數。例例9-3 求以下積分。求以下積分。9.2.4 積分變換積分變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。變換。1傅立葉傅立葉(Fourier)變換變換在在MATLAB中，進展傅立葉變換的函數是：中，進展傅立葉變換的函數是：fourier(f,x,t)：求函數：求函數f(x)的傅

16、立葉像函數的傅立葉像函數F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數：求傅立葉像函數F(t)的原函數的原函數f(x)。例例9-4 求函數求函數y=的傅立葉變換及其逆變換。的傅立葉變換及其逆變換。2拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換在在MATLAB中，進展拉普拉斯變換的函數是：中，進展拉普拉斯變換的函數是：laplace(fx,x,t)：求函數：求函數f(x)的拉普拉斯像函數的拉普拉斯像函數F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數：求拉普拉斯像函數F(t)的原函數的原函數f(x)。例例9-5 計算計算y=x3的拉普拉斯變換及其逆變換。的拉普拉斯變換及其逆變

17、換。3Z變換變換當函數當函數f(x)呈現為一個離散的數列呈現為一個離散的數列f(n)時，對數列時，對數列f(n)進展進展z變變換的換的MATLAB函數是：函數是：ztrans(fn,n,z)：求：求fn的的Z變換像函數變換像函數F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求：求Fz的的z變換原函數變換原函數f(n)。例例9-6 求數列求數列 fn=e-2n的的Z變換及其逆變換。變換及其逆變換。9.3 級級 數數9.3.1 級數符號求和級數符號求和求無窮級數的和需求符號表達式求和函數求無窮級數的和需求符號表達式求和函數symsum，其調用，其調用格式為：格式為：symsum(s,v,n,m)其中其

18、中s表示一個級數的通項，是一個符號表達式。表示一個級數的通項，是一個符號表達式。v是求和變是求和變量，量，v省略時運用系統(tǒng)的默許變量。省略時運用系統(tǒng)的默許變量。n和和m是求和的開場項是求和的開場項和末項。和末項。例例9-7 求以下級數之和。求以下級數之和。9.3.2 函數的泰勒級數函數的泰勒級數MATLAB提供了提供了taylor函數將函數展開為冪級數，函數將函數展開為冪級數，其調用格式為：其調用格式為：taylor(f,v,n,a)該函數將函數該函數將函數f按變量按變量v展開為泰勒級數，展開到第展開為泰勒級數，展開到第n項項(即變量即變量v的的n-1次冪次冪)為止，為止，n的缺省值為的缺省值

19、為6。v的的缺省值與缺省值與diff函數一樣。參數函數一樣。參數a指定將函數指定將函數f在自變在自變量量v=a處展開，處展開，a的缺省值是的缺省值是0。例例9-8 求函數在指定點的泰勒級數展開式。求函數在指定點的泰勒級數展開式。9.4 符號方程求解符號方程求解9.4.1 符號代數方程求解符號代數方程求解在在MATLAB中，求解用符號表達式表示的代數方程可由函中，求解用符號表達式表示的代數方程可由函數數solve實現，其調用格式為：實現，其調用格式為：solve(s)：求解符號表達式：求解符號表達式s的代數方程，求解變量為默許變的代數方程，求解變量為默許變量。量。solve(s,v)：求解符號表達式：求解符號表達式s的代數方程，求解變量為的代數方程，求解變量為v。solve(s1,s2,s