【教學設計】雙曲線及其標準方程

1、課題： 雙曲線及其標準方程一 教學目標 1.知識與技能：（1）能理解并掌握雙曲線的定義，了解雙曲線的焦點、焦距；（2）能掌握雙曲線的標準方程，能夠根據(jù)雙曲線的標準方程確定焦點的位置。（3）能根據(jù)已知條件求雙曲線的標準方程。2.過程與方法：（1）經(jīng)歷雙曲線軌跡的探究，培養(yǎng)觀察能力和探索發(fā)現(xiàn)能力。（2）在雙曲線定義和標準方程的學習過程中培養(yǎng)類比推理能力、歸納能力，體會求軌跡方程過程中數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的運用。3.情感、態(tài)度與價值觀：（1）經(jīng)歷雙曲線及其標準方程的獲得過程，感受數(shù)學的對稱美和簡單美。（2）通過主動探索，感受探索的樂趣，體會數(shù)學的理性和嚴謹。（3）經(jīng)歷雙曲線定義的獲得過程，養(yǎng)成實事

2、求是的科學態(tài)度，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度二 教法學法（一）教學方法 引導探索、發(fā)現(xiàn)法設計意圖 這樣的教法可以充分調(diào)動學生學習的主動性、積極性，使課堂氣氛更加活躍。 同時培養(yǎng)學生自主學習和動手探究的能力。（二）學習方法 自主探索、合作交流 設計意圖 這樣的學法有利于培養(yǎng)學生的動手實踐能力、自主學習能力、探索精神及合作意識（三） 教學手段 多媒體輔助教學設計意圖有利于激發(fā)學生學習的興趣，增強動感與直觀感，增大教學容量，提高教學效率和教學質(zhì)量（四）學具 一條拉鏈，兩顆圖釘，一塊紙板。設計意圖為探究雙曲線的定義的繪圖活動提供物質(zhì)條件。三 教學過程設計 下的“再創(chuàng)造”過程。 我設計了以下教學流程：創(chuàng)設

3、情境 引入新課 抽象概括 歸納定義 類比探究 建立方程實踐探索 形成能力 分層作業(yè) 鞏固提高 整理知識 納入系統(tǒng) （一）創(chuàng)設情境， 引入新課 本節(jié)課的開始由多媒體演示實例，并引導學生觀察圖中的紅色曲線。（1）濟南市立交橋的外觀結(jié)構(gòu)；（2）為緩解交通擁堵，北京市創(chuàng)建的新式交通結(jié)構(gòu)圖；（3）城市標志雕塑的外形；（4）自然通風塔軸截面的外觀輪廓；（5）可樂瓶和古代鼎的曲線造型。并指出：這些紅色曲線就是數(shù)學中研究的雙曲線。上述都是實際生活中與雙曲線有關(guān)的例子。除此之外，雙曲線在自然界和科學技術(shù)中也有著廣泛的應用，比如有的無周期彗星的運動軌跡是雙曲線; 利用遠程雙曲線導航的羅蘭C衛(wèi)星導航系統(tǒng)等。那如何定

4、義雙曲線呢？怎樣建立它的方程呢？這就是本節(jié)課所要研究的內(nèi)容，由此引出課題： 設置意圖讓學生形成雙曲線的感性認識，感受數(shù)學的應用價值，體現(xiàn)數(shù)學來源于生活實際，又服務于生活實際。同時培養(yǎng)學生學會用數(shù)學眼光去觀察周圍事物的能力 。（二）抽象概括 歸納定義提出思考：如何定義雙曲線呢？ 設計意圖通過創(chuàng)設情境，激發(fā)了學生的求知欲，使學生急于想知道雙曲線是滿足什么條件的點的軌跡，但現(xiàn)有知識又無從回答，形成認知沖突，使學生進入憤悱狀態(tài)。教師指出：為探究雙曲線的定義，先回顧橢圓的定義，即：橢圓上動點M滿足：(0)引導一：若將上式改為(0)，動點M的軌跡是怎樣的曲線呢？設計意圖“思維從疑問開始”， 以問題為出發(fā)點

5、，創(chuàng)設有效的學習情景，不僅可以復習舊知，為本節(jié)課的學習奠定基礎，而且這樣設問可以提高學生的求知欲，激發(fā)學生學習的興趣鼓勵學生積極參與、主動思考，發(fā)揮學生學習的主體作用。解決方法 讓學生拿出課前準備好的一條拉鏈，一塊紙板，兩枚圖釘。介紹作圖方法：在拉鏈拉開的兩段上各選擇一點，分別固定在紙板上的點F1 ，F(xiàn)2處，取拉鎖處為M點，由于拉鏈兩段是等長的，則，設，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏在紙板上作圖。(如圖1)。并由此提出思考：若動點M滿足：(0)，應該怎樣作圖呢？讓同桌兩人一組，相互磋商、動手繪圖，教師巡視，對有困難的小組予以幫助。然后選出一位學生代表敘述他們的畫圖過程，并展示畫圖結(jié)果。

6、對完成較好的小組予以表揚，讓學生充分體會到數(shù)學探索的樂趣和成功的喜悅。 設計意圖 雙曲線的定義為本節(jié)課的教學重點之一，為了突出重點，開展探究活動，讓學生動手操作，親身經(jīng)歷雙曲線的形成過程 圖2 圖1學生完成作圖后，再用課件演示作圖過程，指出這一條曲線(圖1)就是滿足：集合的動點M的軌跡。若將上述集合改為 ，比較兩集合的關(guān)系，取，同理可畫出此時動點M的軌跡(圖2)。 設計意圖課件演示不僅增強動感，而且?guī)椭鷮W生克服在實際操作中的困難，體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性。觀察、比較，歸納： 上面兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。其中右邊一支滿足： ，左邊一支滿足：引導二：（1）在紙板上作圖說明了什么？

7、（2）根據(jù)上述繪圖原理，雙曲線上的動點M應滿足什么條件？（3）常數(shù)2a與有什么關(guān)系？教師引導學生觀察、分析，并歸納結(jié)論： （1）平面內(nèi)（2）動點M與兩個定點F1 ， F2的差的絕對值等于常數(shù)。 （3）并鼓勵學生根據(jù)上述三點結(jié)論大膽歸納出雙曲線的定義即為：平面內(nèi)與兩個定點的差的絕對值等于常數(shù)(小于 )的點的軌跡叫做雙曲線。并引入雙曲線焦點和焦距的概念：這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。 設計意圖按學生的認識規(guī)律與心理特征引導學生自己探索、分析，啟發(fā)學生認識新的概念，這有利于學生對概念的全面理解，同時培養(yǎng)了學生從量變到質(zhì)變的辨證思維。 并實現(xiàn)對數(shù)學圖形，符號，文字三種語言的

8、相互轉(zhuǎn)化，滲透數(shù)形結(jié)合分析問題的數(shù)學思想方法。 引導三：如果改變常數(shù)的范圍（2a=，2a=0， 2a），動點的軌跡會發(fā)生什么變化呢？解決方法教師讓學生相互討論 ，鼓勵學生大膽闡述自己的結(jié)論，并運用課件進行演示，歸納出： 常數(shù)2 a 動點M的軌跡(1) (02a) 雙曲線 (2) 線段F1 F2的延長線上以F2為端點的一條射線 段F2F1的延長線上以F1為端點的一條射線(3) 2 a = 0 段F1 F2的中垂線(4) (違背了三角形三邊長的關(guān)系) 不存在 設計意圖通過教師的設問，啟發(fā)學生思考，讓學生在自主探索，合作交流中歸納概括出結(jié)論，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，研究問題，解決問題的能力。上述結(jié)論是對滿

9、足集合的動點M 的軌跡的全面說明。（三）類比探究 建立方程引導四：怎樣建立雙曲線的標準方程呢？ 解決方法 先引導學生回顧求曲線方程的一般步驟，然后循此步驟，并類比橢圓標準方程的推導過程，在教師的啟發(fā)下，由學生自主推導雙曲線的標準方程。設計意圖 通過學生對舊知識的回顧來了解學生對知識的掌握程度，同時讓學生明確思維的目的，為下一步教學搭橋鋪路第一步 建系：建立直角坐標系，使軸經(jīng)過點，并且點與線段的中點重合。（在回顧橢圓標準方程推導時如何建立坐標系后，建立起雙曲線標準方程推導時的坐標系。）圖3第二步 設點： 設是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為，那么，焦點的坐標分別是()、()。又設點與的距離的差的

10、絕對值等于常數(shù)2 a。第三步 寫點集：根據(jù)定義寫出M點的軌跡構(gòu)成的點集：P = M | |MF1 | |MF2 | = 2 a 第四步 列方程：用坐標法表示條件P（M），列出方f(x，y)=0，即： 第五步 化簡：化方程f(x，y)=0為最簡形式。 將方程化簡，得 由雙曲線的定義可知，即，所以。令，其中，代入上式，得兩邊除以，得出： 對此方程要強調(diào)：它是雙曲線的焦點在軸上的標準方程，焦點是：F1 ()、F2 ()，焦距。 設計意圖 為了真正做到讓學生主動思考、學習，讓學生自己動手，獨立的完成這個任務，從而進一步體會用坐標法求曲線方程的思想。前四步學生容易掌握，第五步的二次根式較復雜，學生常因運

11、算能力不強而功虧一簣。故在此，教師不失時機地加強了運算技能的訓練。注意了引導學生比較橢圓標準方程推導中的二次根式的化簡：平方，賦值，將含有兩個根式之差的等式轉(zhuǎn)化為含有a，b，c三字母的整式，再化為等號右端為1的方程形式。教師對個別有困難的學生進行必要的指導，并選一名學生在黑板上書寫化簡過程，然后教師點評。這一環(huán)節(jié)教學有助于突破本節(jié)的教學難點。 注 意：區(qū)別雙曲線和橢圓的標準方程中的關(guān)系：雙曲線：（，）橢 圓：（）設計意圖類比雙曲線和橢圓標準方程中的的關(guān)系，有助于學生克服橢圓學習中的思維定勢。引導五：焦點在軸上，并且點O與線段的中點重合，的意義同上，雙曲線的方程又如何呢 ？ 圖4解決方法先讓學生

12、作出圖4，引導學生觀察、比較圖3與圖4，并根據(jù)橢圓的焦點在軸上的標準方程的推導方法，鼓勵學生大膽猜想，歸納出：只需將上述標準方程中的 、互換，即：設計意圖該問的設置，一方面是為了得出焦點在 y 軸上的雙曲線的標準方程；另一方面培養(yǎng)學生的類比能力，充分發(fā)揮學生的直覺思維和數(shù)學悟性。 調(diào)動了學生學習的主動性和積極性， 引導六：觀察上述兩個不同的標準方程，思考：（1）雙曲線的標準方程有何特點?（2）項的符號與該雙曲線的焦點所在位置有什么關(guān)系？解決方法 由學生小組交流，教師對學生的回答進行必要的點評，一定要讓學生對上述問題的解答都有明確的認識。并歸納出：由雙曲線標準方程確定焦點位置的方法：雙曲線的焦點

13、應在系數(shù)為正的那一項所對應的坐標軸上(正項定焦軸)。設計意圖觀察、比較，發(fā)現(xiàn)問題;概括、歸納，解決問題，不僅加強了學生對所學知識的進一步理解，而且培養(yǎng)了學生自主探究和鑒別的能力。為檢驗學生對上述結(jié)論的掌握情況布置課堂練習：判斷下列雙曲線的焦點所在坐標軸：（1）；（2）；（3）。(四) 實踐探索 形成能力1 例題剖析，初步應用 已知雙曲線兩焦點的坐標為，雙曲線上一點P到、的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。解決方法 課本例題，難度不大，但能起到及時對所學概念進行鞏固訓練的作用。教學中緊扣定義和標準方程的知識。由學生合作完成，再由學生代表發(fā)言，敘述解題過程，教師點評，板書規(guī)范的解題步驟。

14、并指出：上述例題的求解運用了求曲線方程的基本方法之一： 待定系數(shù)法。設計意圖數(shù)學概念是要在運用中得以鞏固的，通過該例題使學生進一步理解雙曲線的定義，掌握標準方程，使知識內(nèi)化為智能。2 自我反饋，評價提高 （1）求適合條件焦點在軸上的雙曲線的標準方程設計意圖檢驗學生對雙曲線標準方程結(jié)構(gòu)特征的掌握情況。（2）填空：已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是 。設計意圖區(qū)別雙曲線的兩種不同形式的標準方程，注意焦點位置的討論。（3）證明橢圓與雙曲線的焦點相同設計意圖比較兩種圓錐曲線標準方程中的異同。通過反饋練習，再次加強學生對新知識的掌握情況，并檢驗學生新的認知結(jié)構(gòu)的形成和技能的發(fā)展狀況，對教學中所出現(xiàn)的遺漏

15、和不足給予即時補救。達到鞏固，消化，檢驗新知識的目的。同時使學生獲得的知識信息納入長時記憶系統(tǒng)。（五）知識整理，納入系統(tǒng) 1 知識點：(1)雙曲線的定義，焦點，焦距的概念。(2)雙曲線標準方程兩類形式，如何由方程判定其焦點所在坐標軸。(3) 的確定依據(jù)。(4)與雙曲線定義和標準方程有關(guān)的三個常數(shù) 間的關(guān)系（ 都為正常數(shù)，且c最大，結(jié)構(gòu)類似勾股定理： ）2 數(shù)學思想： 數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化。 3 數(shù)學方法： 觀察、比較、概括、歸納、類比分析、待定系數(shù)法。設計意圖 通過畫龍點睛，提綱挈領(lǐng)的小結(jié)，將所學知識納入已有的知識系統(tǒng)之中，形成學生自己的認知結(jié)構(gòu)。突出重點，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)學生概括能力。通過提煉數(shù)學的基本思想方法，使學生掌握數(shù)學的精髓和本質(zhì)，提高數(shù)學素養(yǎng)。（六） 分層作業(yè)，鞏固提高 1 必做題：課本P55習題12 課后探究題：（1）求與雙曲線共焦點，