(完整版)復合泊松模型下破產(chǎn)概率估計

1、1/3復合泊松模型破產(chǎn)概率估計關(guān)鍵詞：復合泊松過程正態(tài)特征函數(shù)估計一、復合泊松過程的定義及性質(zhì)一、復合泊松過程的定義及性質(zhì)1 泊松過程泊松過程：滿足下列三條件的隨機過程 X=X(t),tnO叫做泊松過程。P(X(0)=0)=1P(X(0)=0)=1。不相交區(qū)間上增量相互獨立，即對一切 0St1vt2v.vtn,X(t1),X(t2)-X(t1-X(t1),，X(tn)-X(tn-1X(tn)-X(tn-1)相互獨立。增量 X(t)-X(s)(tsX(t)-X(s)(ts)的概率分布為泊松分布，即，式中 A(t t)為非降非負函數(shù)。若X X還滿足X(t)-X(sX(t)-X(s)的分布僅依賴于t

2、-st-s， 則稱X X為齊次泊松過程； 這時A(t)=At，式中常數(shù)入0 稱為過程的強度，因為 EX(t)=A(t)=At，入等于單位時間內(nèi)事件的平均發(fā)生次數(shù)。非齊次泊松過程可通過時間尺度的變換變?yōu)辇R次泊松過程。對泊松過程，通?？扇∷拿總€樣本函數(shù)都是躍度為 1 1 的左(或右)連續(xù)階梯函數(shù)?？梢宰C明，樣本函數(shù)具有這一性質(zhì)的、隨機連續(xù)的獨立增量過程必是泊松過程，因而泊松過程是描寫隨機事件累計發(fā)生次數(shù)的基本數(shù)學模型之一。直觀上,只要隨機事件在不相交時間區(qū)間是獨立發(fā)生的，而且在充分小的區(qū)間上最多只發(fā)生一次，它們的累計次數(shù)就是一個泊松過程。在應(yīng)用中很多場合都近似地滿足這些條件。例如某系統(tǒng)在時段0,

3、t0,t)內(nèi)產(chǎn)生故障的次數(shù)，一真空管在加熱 t t 秒后陰極發(fā)射的電子總數(shù)，都可假定為泊松過程。描述隨機事件累計發(fā)生次數(shù)的過程通常稱為計數(shù)過程(見點過程)。 一個簡單而且局部有限的計數(shù)過程X(tX(t)，t0，往往也可以用它依次發(fā)生跳躍(即發(fā)生隨機事件)的時刻TnTn，n1來規(guī)定，即取 T0=0T0=0，Tn=infTn=inft:X(tt:X(t)n，n1，而當 T*T*t1是相互獨立同分布的，且，其中入為某一非負常數(shù)。齊次泊松過程的另一個特征是：固定 t,X(tt,X(t)是參數(shù)為入t 的泊松分布隨機變量，而當 X(t)=kX(t)=k 已知的條件下，X X 的 k k 個跳躍時刻與 k

4、k個在0,t0,t)上均勻分布且相互獨立的隨機變量的次序統(tǒng)計量(見統(tǒng)計量)有相同的分布。泊松過程的這一特征常作為構(gòu)造多指標泊松過程的出發(fā)點。從馬爾可夫過程來看，齊次泊松過程是時間空間都為齊次的純生馬爾可夫鏈。從鞅來看，齊次泊松過程 X X 是使X(t)-X(t)-At,t0為鞅的躍度為 1 1 的計數(shù)過程。較泊松過程稍為廣泛的計數(shù)過程是更新過程， 更新過程的跳躍時間間距是相互獨立同分布的，但不一定是指數(shù)分布。這類過程常被用來描寫某些設(shè)備的累計故障次數(shù)。若對跳躍時間間距不作任何假定，就成為一般的計數(shù)過程或稱一維點過程。假如某設(shè)備在0 0,t t)時段內(nèi)故障的累計次數(shù) N(tN(t)是泊松過程，而

5、每次故障造成的耗損不盡相同，用隨機變量 YiYi 表示第 i i 次耗損，則在0,t0,t)內(nèi)總的耗損為N(tN(t)。當N(tN(t),t0 為齊次泊松過程,Yi,i1又是相互獨立同分布且與N(t)N(t)獨立時,X=X=X(tX(t)，0稱為復合泊松過程。由于N(t),t0可以用其跳躍時刻Ti,i1來規(guī)定，因而復合泊松過程可用(Tn(Tn,Yn),n1來規(guī)定，即若對(Tn,Yn),n1的統(tǒng)計特性不作任何假定，這樣規(guī)定的 X X 便是一種一般地描述系統(tǒng)跳躍變化的隨機過程，常稱為標值點過程，也稱多變點過程或跳躍過程。泊松過程是一類較為簡單的時間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機過程。 泊松過程在物理、地質(zhì)學、

6、生物學、金融和可靠性理論等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。在經(jīng)典風險模型2/3中，索賠過程經(jīng)常用一個復合泊松過程來描述。許多學者對模型進行了深入的研究，比較有吸引力的改進是用兩個復合泊松過程描述索賠過程的多險種風險模型。由于索賠過程的復雜化，使得在經(jīng)典風險模型種的一些較好結(jié)論難以在新模型中得到類似證明。因此首先討論復合泊松分布及過程的可加性，在參數(shù)比較大的情況下，可以用正態(tài)過程與之近似，以便運用正態(tài)過程的優(yōu)良特性更好地處理有關(guān)問題。2.2.復合泊松分布復合泊松分布：復合泊松分布在概率論和保險模型中有著很重要的應(yīng)用。關(guān)于復合泊松過程的一些定義及性質(zhì)：定義 1 1：S二迓X，其中 N N 表示理賠次數(shù)，X表

7、示第 k k 次的理賠金額，N Nkkk=1與X是相互獨立的，則當 N N 服從 PoissonPoisson 分布時，S S 具有復合 PoissonPoisson 分布。k如果一個隨機變量 X X 滿足性質(zhì)：對任何一個獨立隨機變量序列X,.X使得1nX=X+.+X，則稱 X X 是無窮可分的。當把復合泊松分布類擴展成一個更大1n的類時，使其對極限運算封閉，我們便得到了無窮可分類，該類包含伽瑪分布和正態(tài)。定理 1 1：(復合泊松分布的可加性)如果S，,S是一列獨立的復合泊松隨機1m變量，分別具有參數(shù)九和理賠分布P，i=1,2,i=1,2,m,m,那么S=區(qū)S仍然是一個復合iiii=1泊松隨機

8、變量，具有參數(shù)九=區(qū)九，P(x)=區(qū)?P(x).i九ii=1i=1定義2計數(shù)過程為泊松過程+如果満足條件；1)(0)=0;2)具有平穩(wěn)增童與獨立増量;3)PbV(A)PbV(A)二 1|1|二0；4) PlN(h)Ss2(=W在充分小的時同冋隔中事件出現(xiàn)一次的概率與時同間隔的拴度成正比， 而在很小的時間問隔中事件不能出現(xiàn)兩次或兩次認匕實際問題屮有很多隨機現(xiàn)象都近似満足這兩個條件， 可用泊松過程來描述，如投保過程或索賠過程.在學習隨機過程時對某些結(jié)論的概率意文或直觀童文的研究是重要的只有正確掌握它們， 才館在實際問題中熟練地應(yīng)用隨機過程的方法解決問題.3/3定義3設(shè)彳Nh)是強度為A的泊松過程=1,2丨是一列獨立同分布的隨機變址且與N(i)4o|獨立=工:;任,心0則稱丨尤耳0|為復合泊松過程.在經(jīng)典的破產(chǎn)模型中，至【扛時刻的風險 StSt 是一個復合泊松過程，而PoissonPoisson 過程具有普通性，即在充分小的時間內(nèi)跳至多為 1 1，也就是至多有一次索賠，而在實際中，我們經(jīng)常會遇至在同一時刻有兩個以上的顧客要求索賠的情形。比如我們考慮汽車保險，若到 t t 時刻為止發(fā)生事故的車輛總數(shù) N(t),N(t),且 N(