第3章_基于虛位移原理變分法(1)

1、 在前述有限元的直接剛度法里，我們采用材料力學(xué)中在前述有限元的直接剛度法里，我們采用材料力學(xué)中的疊加原理來求解直梁和剛架的單元?jiǎng)偠染仃?。但?duì)于的疊加原理來求解直梁和剛架的單元?jiǎng)偠染仃?。但?duì)于復(fù)雜的二維平面甚至三維立體的力學(xué)問題，就無法采用復(fù)雜的二維平面甚至三維立體的力學(xué)問題，就無法采用直接剛度法來求解單元?jiǎng)偠染仃?，此時(shí)我們可以采用基直接剛度法來求解單元?jiǎng)偠染仃?，此時(shí)我們可以采用基于虛位移原理的變分法。于虛位移原理的變分法。1 1、背景、背景2 2、基本概念、基本概念2.1 2.1 虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理） 在材料力學(xué)中，虛功原理表述為：在虛位移中，外力在材料力學(xué)中，虛功原理

2、表述為：在虛位移中，外力所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所做的虛功（虛應(yīng)所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所做的虛功（虛應(yīng)變能）。變能）。2.1 2.1 虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理）在材料力學(xué)中，虛功原理在材料力學(xué)中，虛功原理表述為：在虛位移中，外表述為：在虛位移中，外力所做虛功等于內(nèi)力在相力所做虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)的虛變形上所做的虛功應(yīng)的虛變形上所做的虛功（虛應(yīng)變能）。（虛應(yīng)變能）。2.2 2.2 虛位移和變分虛位移和變分 在材料力學(xué)中，我們規(guī)定實(shí)位移是在材料力學(xué)中，我們規(guī)定實(shí)位移是v，對(duì)應(yīng)的虛位移，對(duì)應(yīng)的虛位移就是就是v*。但嚴(yán)格來講，虛位移應(yīng)該用變分符號(hào)表示為但嚴(yán)格來講，虛位

3、移應(yīng)該用變分符號(hào)表示為v。變分與微分有相似的地方，都具有無限小變化的意思。但變分與微分有相似的地方，都具有無限小變化的意思。但嚴(yán)格來講，二者是兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)概念。嚴(yán)格來講，二者是兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)概念。3 3、應(yīng)用基于虛位移原理的變分法求解直梁、應(yīng)用基于虛位移原理的變分法求解直梁的單元?jiǎng)偠染仃嚨膯卧獎(jiǎng)偠染仃?.1 3.1 位移函數(shù)位移函數(shù)假設(shè)圖示直梁?jiǎn)卧奈灰坪瘮?shù)假設(shè)圖示直梁?jiǎn)卧奈灰坪瘮?shù)v(x)（插值函數(shù)）為：（插值函數(shù)）為：332210)(xaxaxaaxv 已知單元在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊界條件：已知單元在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊界條件：0 xifv )0(iv )0(lx jlv )(jflv )(實(shí)際

4、上對(duì)于直梁?jiǎn)卧?，?shí)際上對(duì)于直梁?jiǎn)卧?，v(x) 就是在其上各點(diǎn)的撓度就是在其上各點(diǎn)的撓度f 。)()(xvx 根據(jù)材料力學(xué)可知，截面轉(zhuǎn)角和撓度之間的關(guān)系是根據(jù)材料力學(xué)可知，截面轉(zhuǎn)角和撓度之間的關(guān)系是 。 將上述將上述v(x)的表達(dá)式（位移函數(shù)）代入四個(gè)邊界條件得到如的表達(dá)式（位移函數(shù)）代入四個(gè)邊界條件得到如下四個(gè)方程式。下四個(gè)方程式。 jjiilalaaflalalaaafa 23213322101032將所有的將所有的ai代入前述代入前述v(x)的表達(dá)式得到插值形式的位移函數(shù)。的表達(dá)式得到插值形式的位移函數(shù)。解得解得寫成矩陣形式寫成矩陣形式 jjiijjiiiilfllflalfllflaaf

5、a 232332221012121323jjiixlxlfxlxlxlxlxfxlxlxv 32233223223322112312231)(T4321)(jjiiffNNNNxv 式中式中33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 上述位移函數(shù)可進(jìn)一步縮寫成上述位移函數(shù)可進(jìn)一步縮寫成eNxv )(式中式中 ； 4321NNNNN Tjjiieff 3.2 3.2 形狀函數(shù)形狀函數(shù)上式中的上式中的Ni（i = 1, 2, 3, 4) )叫做形狀函數(shù)，有時(shí)簡(jiǎn)稱為形函數(shù)叫做形狀函數(shù)，有時(shí)簡(jiǎn)稱為形函數(shù)。在梁?jiǎn)卧?。在梁?jiǎn)卧? ,它表示一個(gè)

6、兩端固定的梁只產(chǎn)生一個(gè)單位位移它表示一個(gè)兩端固定的梁只產(chǎn)生一個(gè)單位位移時(shí)梁彎曲成的形狀（如下圖所示）。其性質(zhì)將在下一章講解。時(shí)梁彎曲成的形狀（如下圖所示）。其性質(zhì)將在下一章講解。33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 232166xlxlN 222341xlxlN 232366xlxlN 22432xlxlN 3.3 3.3 用虛位移原理求單元?jiǎng)偠染仃囉锰撐灰圃砬髥卧獎(jiǎng)偠染仃?ljjjjiiiixMmfqmfq)(d)( i 在平衡狀態(tài)下，梁?jiǎn)卧袚锨€在平衡狀態(tài)下，梁?jiǎn)卧袚锨€v(x)，其節(jié)點(diǎn)位移分別為，其節(jié)點(diǎn)位移分別為fi

7、、i、fj、j 。給該單元的節(jié)點(diǎn)任意虛位移。給該單元的節(jié)點(diǎn)任意虛位移fi 、 、 、 ，由此由此在撓曲線各點(diǎn)上產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移在撓曲線各點(diǎn)上產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移 和虛轉(zhuǎn)角和虛轉(zhuǎn)角 （即（即虛功原理中的虛變形）。根據(jù)虛功原理得到以下方程式。虛功原理中的虛變形）。根據(jù)虛功原理得到以下方程式。j )(x jf)(xv由撓曲線的近似微分方程，彎矩可寫成由撓曲線的近似微分方程，彎矩可寫成 ljjjjiiiixMmfqmfq)(d)( 22dd)(xvEIxM xxvxxvxxxdddddddddddd22 因?yàn)樘撐灰凭哂泻蛯?shí)位移相同的性質(zhì)，因?yàn)樘撐灰凭哂泻蛯?shí)位移相同的性質(zhì)，因此以上方程也適用于虛位移。故因此

8、以上方程也適用于虛位移。故xxvdd)(d)d(22 上述虛功原理方程式變?yōu)樯鲜鎏摴υ矸匠淌阶優(yōu)?leexxvEIxvPdddd)(d2222T 式中單元節(jié)點(diǎn)虛位移列陣式中單元節(jié)點(diǎn)虛位移列陣單元節(jié)點(diǎn)力列陣單元節(jié)點(diǎn)力列陣Tjjiieff TjjiiemqmqP 位移函數(shù)位移函數(shù)TT)(NNxvee 其變分為其變分為 TT)(Nxve leexxvEIxvPdddd)(d2222T 將以上兩式代入將以上兩式代入 得到得到 leeeexNEINPdTTT eleeexNEINP dTTTelexNEINP dTeeeKP 將上式與將上式與 相比較，得到單元?jiǎng)偠染仃嚨谋磉_(dá)式。相比較，得到單元?jiǎng)偠染仃?/p>

9、的表達(dá)式。 lexNEINKdT33221231xlxlN 322212xlxlxN 3322323xlxlN 322411xlxlN 232166xlxlN 222341xlxlN 232366xlxlN 22432xlxlN 3.4 3.4 通過積分計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃囃ㄟ^積分計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?llexNNNNNNNNEIxNEINKdd4321T4321T llllllllllllllllexNxNNxNNxNNxNNxNxNNxNNxNNxNNxNxNNxNNxNNxNNxNEIKd)(ddddd)(ddddd)(ddddd)(2434241443232313423222124131212

10、1xllN321126 xllN2264 xllN323126 xllN2462 代入所有的代入所有的 （i = 1, 2, 3, 4) )，通過積分計(jì)算得到如下單元，通過積分計(jì)算得到如下單元?jiǎng)偠染仃?。剛度矩陣。iN lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIke46266126122646612612222323222323這與第二章直接剛度法通過材料力學(xué)疊加原理得到的這與第二章直接剛度法通過材料力學(xué)疊加原理得到的單元?jiǎng)偠染仃囃耆嗤?。單元?jiǎng)偠染仃囃耆嗤? 1、在后面研究更復(fù)雜的彈性力學(xué)平面問題時(shí)，我們不再、在后面研究更復(fù)雜的彈性力學(xué)平面問題時(shí)，我們不再采用直接剛度法，而采用基于虛位移原理的變分法。采用直接剛度法，而采用基于虛位移原理的變分法。4 4、兩點(diǎn)說明、兩點(diǎn)說明2 2、基于虛位移原理的變分法并不是求解復(fù)雜力學(xué)問題的、基于虛位移原理的變分法并不是求解復(fù)雜力學(xué)問題的有限元方程的唯一方法。其他著名的方法還有伽遼金法有限元方程的唯一方法。其他著名的方