復(fù)變函數(shù)教學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)教學(xué)教學(xué)第一頁，共32頁。2問題問題: : 任一個解析函數(shù)能否任一個解析函數(shù)能否(nn fu)(nn fu)用冪級數(shù)來表達(dá)？用冪級數(shù)來表達(dá)？DKz.內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn), )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dzf , 0為中心的任一圓周為中心的任一圓周內(nèi)以內(nèi)以為為zD如圖如圖:r0z.Krz 0 圓周圓周. 0rz , , KD 記為記為它與它的內(nèi)部全包含于它與它的內(nèi)部全包含于第1頁/共31頁第二頁，共32頁。3由柯西積分由柯西積分(jfn)公式公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中(qzhng) K 取取正方向正方向., , 的內(nèi)部的內(nèi)

2、部在在點(diǎn)點(diǎn)上上取在圓周取在圓周因?yàn)榉e分變量因?yàn)榉e分變量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zzzzz 則則第2頁/共31頁第三頁，共32頁。4 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 第3頁/共31頁第四頁，共32頁。5由高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)(do sh)公式公式, 上式又可寫成上式又可寫成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中(qzhng) KNnnnNzzzfizR d)()()

3、(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知可知(k zh)在在K內(nèi)內(nèi) 000)()(!)()(nnnzznzfzf第4頁/共31頁第五頁，共32頁。6, )( 內(nèi)可以用冪級數(shù)來表示內(nèi)可以用冪級數(shù)來表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(內(nèi)內(nèi)解解析析在在DKDzf 則在則在K上連續(xù)上連續(xù)(linx), , 10, qq且且無關(guān)的量無關(guān)的量是與積分變量是與積分變量 , )( 上上也也連連續(xù)續(xù)在在因因此此Kf , )(上上有有界界在在 Kf 第5頁/共31頁第六頁，共32頁。7即存在一個即存在一個(y )正常數(shù)正常數(shù)M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd

4、)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 122nn NMqrr .1NMqq 第6頁/共31頁第七頁，共32頁。8lim0NNq K0)(lim zRNN在在內(nèi)成立內(nèi)成立,從而從而(cng r)在在K內(nèi)內(nèi) 圓周圓周K的半徑可以任意增大的半徑可以任意增大,只要只要K內(nèi)成立內(nèi)成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展開式泰勒展開式,)(zf在在0z泰勒泰勒(ti l)級數(shù)級數(shù)第7頁/共31頁第八頁，共32頁。9如果如果0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為的邊界上各點(diǎn)的最短距離為,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展開式在內(nèi)成立的泰勒展開式在內(nèi)成立dz

5、z 0因?yàn)榉矟M足因?yàn)榉矟M足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上討論得重要定理由上討論得重要定理泰勒泰勒(ti l)展開定理展開定理)(zf在在0z的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf第8頁/共31頁第九頁，共32頁。10, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒泰勒(ti l)級數(shù)級數(shù)泰勒泰勒(ti l)展開式展開式定理定理設(shè)設(shè))(zf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析,0z為為D 內(nèi)的一內(nèi)的一d為為0z到到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末那末點(diǎn)點(diǎn),dzz 0

6、時時, 00)()(nnnzzczf成立成立,當(dāng)當(dāng)泰勒介紹泰勒介紹第9頁/共31頁第十頁，共32頁。11說明說明(shumng):001. ( ) , , ;f zDdzdz如如果果在在內(nèi)內(nèi)有有奇奇點(diǎn)點(diǎn) 則則等等于于到到最最近近一一個個奇奇點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的距距離離 即即02.0,;z 當(dāng)當(dāng)時時 級級數(shù)數(shù)稱稱為為麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)3.任何解析任何解析(ji x)函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級數(shù)是唯一的函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級數(shù)是唯一的. 第10頁/共31頁第十一頁，共32頁。12 )( zf因?yàn)榻馕觯梢员ＷC無限次可各因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性; 所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實(shí)用

7、所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實(shí)用(shyng)范范圍就圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意注意(zh y)問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)，展問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)，展開式是否開式是否(sh fu)(sh fu)唯一？唯一？第11頁/共31頁第十二頁，共32頁。13 : )( 0已已被被展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末(n m),)(00azf ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此(ync), 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果

8、就是泰勒級數(shù)就是泰勒級數(shù), 因而是唯一的因而是唯一的.第12頁/共31頁第十三頁，共32頁。14常用方法常用方法: : 直接直接(zhji)(zhji)法和間接法法和間接法. .1.直接直接(zhji)法法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù)第13頁/共31頁第十四頁，共32頁。15例如例如(lr)，. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)橐?/p>

9、為ze. R所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因?yàn)橐驗(yàn)榈?4頁/共31頁第十五頁，共32頁。16仿照仿照(fngzho)上例上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在與與可得可得 zzz第15頁/共31頁第十六頁，共32頁。172. 間接間接(jin ji)展開法展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析函結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)數(shù)的性質(zhì)(xngzh), 冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(

10、xngzh) (逐逐項(xiàng)求導(dǎo)項(xiàng)求導(dǎo), 積分等積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函求函數(shù)的泰勒展開式數(shù)的泰勒展開式.間接間接(jin ji)(jin ji)法的優(yōu)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn): : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接因而比直接展開更為簡潔展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .第16頁/共31頁第十七頁，共32頁。18例如例如(lr)， . 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnnizni

11、zi第17頁/共31頁第十八頁，共32頁。19附附: 常見函數(shù)常見函數(shù)(hnsh)的泰勒展的泰勒展開式開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z第18頁/共31頁第十九頁，共32頁。20,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!

12、)1()1( nznn )1( z第19頁/共31頁第二十頁，共32頁。21例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇點(diǎn)上有一奇點(diǎn)在在由于由于,1內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析且在且在 z,的冪級數(shù)的冪級數(shù)可展開成可展開成z第20頁/共31頁第二十一頁，共32頁。22 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊上式兩邊(lingbin)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo),第21頁/共31頁第二十二頁，共32頁。23例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對數(shù)函數(shù)的主

13、值求對數(shù)函數(shù)的主值 zz分析分析(fnx), 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點(diǎn)是它的一個奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的在從在從 z. 1 的冪級數(shù)的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成內(nèi)可以展開成所以它在所以它在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy第22頁/共31頁第二十三頁，共32頁。24NoImagezzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端將展開式兩端(lin dun)沿沿 C 逐項(xiàng)逐項(xiàng)積分積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的

14、曲線到到內(nèi)從內(nèi)從為收斂圓為收斂圓設(shè)設(shè)zzC 第23頁/共31頁第二十四頁，共32頁。25例例3 3. 231)( 的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第24頁/共31頁第二十五頁，共32頁。26例例4 4 .0arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因?yàn)橐驗(yàn)?,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1

15、,12)1(012 znznnn第25頁/共31頁第二十六頁，共32頁。27例例5 5.cos2的的冪冪級級數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因?yàn)橐驗(yàn)?! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432第26頁/共31頁第二十七頁，共32頁。28 通過本課的學(xué)習(xí)通過本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開定理應(yīng)理解泰勒展開定理,熟記熟記五個基本函數(shù)的泰勒展開式五個基本函數(shù)的泰勒展開式,掌握將函數(shù)展開成掌握將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法泰勒級數(shù)的方法, 能

16、比較熟練的把一些能比較熟練的把一些(yxi)解析函數(shù)解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)展開成泰勒級數(shù).第27頁/共31頁第二十八頁，共32頁。29奇、偶函數(shù)的泰勒奇、偶函數(shù)的泰勒(ti l)級數(shù)有什么特點(diǎn)級數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題思考題第28頁/共31頁第二十九頁，共32頁。30 奇函數(shù)的泰勒奇函數(shù)的泰勒(ti l)級數(shù)只含級數(shù)只含 z 的奇次冪項(xiàng)的奇次冪項(xiàng), 偶函數(shù)偶函數(shù)的泰勒的泰勒(ti l)級數(shù)只含級數(shù)只含 z 的偶次冪項(xiàng)的偶次冪項(xiàng).思考題答案思考題答案(d n)放映結(jié)束放映結(jié)束(jish)(jish)，按，按EscEsc退退出出. .第29頁/共31頁第三十頁，共32頁。31Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylor第3