實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)姚璐

1、實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算（）教學(xué)設(shè)計(jì)首都師范大學(xué)附屬中學(xué) 姚璐課程名稱：實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算（第一節(jié)）教材分析：1.數(shù)系的擴(kuò)充眾所周知，人類對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過程，從到，從到，從到，乃至擴(kuò)充到四元數(shù)等等。雖然每一次數(shù)的范圍的擴(kuò)大往往伴隨著質(zhì)疑，但隨著時(shí)間的發(fā)展，人們逐漸能夠接受越來越多的數(shù)，而且尋找到了許多新的數(shù)背后所蘊(yùn)含的實(shí)際意義。數(shù)系擴(kuò)充的動(dòng)力主要包括兩個(gè)方面：（1）生產(chǎn)生活的推動(dòng)就本節(jié)課所涉及內(nèi)容而言，指數(shù)模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型，能較好的刻畫許多自然現(xiàn)象（如放射性元素的衰變），在模型中變量t顯然是連續(xù)的，因此要求我們將指數(shù)推廣到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)。（2）數(shù)學(xué)本身的推動(dòng)許多數(shù)的出現(xiàn)都與方程有關(guān)（如

2、負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)，復(fù)數(shù)等），根式也不例外。當(dāng)我們將數(shù)系擴(kuò)充后，我們?nèi)稳幌Ｍ碌臄?shù)系能較好的繼承原有數(shù)系的一些性質(zhì)。事實(shí)上，如果我們假定指數(shù)運(yùn)算拓展到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)后，仍然繼承下述性質(zhì)：（1）（，）（2）當(dāng)時(shí)，若，則（，）當(dāng)時(shí)，若，則（，）當(dāng)時(shí)，若，則（，） 則指數(shù)的定義是唯一的2. 法從到是非常重要的一步，這一步將一個(gè)疏集上定義的函數(shù)延拓到了一個(gè)稠密集上的函數(shù)，依靠的是是的分式環(huán)；從到也是非常重要的一步，這一步將一個(gè)稠密集上的函數(shù)延拓到了一個(gè)連續(xù)集上的函數(shù)，依靠的是逼近的想法。這種方法即為法.事實(shí)上，如果附加上連續(xù)性條件，我們可以得到許多函數(shù)的“特征性質(zhì)”如：（1）是正比例函數(shù)或零函數(shù)（2）是指數(shù)函數(shù)或

3、零函數(shù)（3）是對(duì)數(shù)函數(shù)或零函數(shù)（4）是冪函數(shù)或零函數(shù)3. 指數(shù)運(yùn)算和加法運(yùn)算，乘法運(yùn)算的區(qū)別乘法運(yùn)算是連加法運(yùn)算的推廣，指數(shù)運(yùn)算是連乘法運(yùn)算的推廣。但是同加法運(yùn)算以及乘法運(yùn)算相比，指數(shù)運(yùn)算有一個(gè)非常大的區(qū)別，即一個(gè)冪的底數(shù)與指數(shù)的地位是不平等的。換言之，一般的因此盡管有冪指數(shù)對(duì)底數(shù)的分配律成立，即一般的，仍然有：， 而這恰恰是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)學(xué)情分析：1. 初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)過整數(shù)指數(shù)冪，經(jīng)歷了從正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的推演過程，能較為熟練的運(yùn)用整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題，但零次冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪為何選用該方式定義則較模糊，不夠深刻。初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)過平方根運(yùn)算和立方根運(yùn)算，對(duì)于平方根和立方根運(yùn)算

4、相關(guān)性質(zhì)掌握較好，易于接受高次方根的概念。2. 本班是一個(gè)普通班，純數(shù)學(xué)的推導(dǎo)較為抽象，相對(duì)較難，從具體模型入手則相對(duì)容易。教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：1.了解指數(shù)模型的實(shí)際背景2.理解根式及有理指數(shù)冪的含義3.掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)過程與方法：在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)有理指數(shù)冪的含義情感態(tài)度與價(jià)值觀：體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生產(chǎn)實(shí)踐的緊密聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：根式的概念及分?jǐn)?shù)指數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)：一、課前閱讀：閱讀下述材料，回答問題衰變是放射性元素放射出粒子后變成另一種元素的現(xiàn)象。不穩(wěn)定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，

5、可變得較為穩(wěn)定，這個(gè)過程稱為衰變。放射性同位素衰變的快慢有一定的規(guī)律。例如，氡-222經(jīng)過衰變?yōu)獒?218，如果隔一段時(shí)間測(cè)量一次氡的數(shù)量級(jí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，每過3.8天就有一半的氡發(fā)生衰變。也就是說，經(jīng)過第一個(gè)3.8天，剩下一半的氡，經(jīng)過第二個(gè)3.8天，剩有1/4的氡；再經(jīng)過3.8天，剩有1/8的氡.因此，我們可以用半衰期來表示放射性元素衰變的快慢。放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變所需的時(shí)間，叫做這種元素的半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差別非常大。例如，氡-222衰變?yōu)獒?218的時(shí)間為3.8天，鐳-226衰變?yōu)殡?222的時(shí)間為1620年，鈾-238衰變?yōu)殁Q-234的半衰期竟長(zhǎng)達(dá)4.5

6、×109年。設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境問題一：現(xiàn)有一種新的放射性物質(zhì)，自然條件下每經(jīng)過一年，剩余的量為一年前的量的倍。假設(shè)某時(shí)刻放射性物質(zhì)的量為1，則在自然條件下：（1） 1年后，剩余放射性物質(zhì)的量為多少？（2） 2年后，剩余放射性物質(zhì)的量為多少？（3） 3年后，剩余放射性物質(zhì)的量為多少？（4） 年后，剩余放射性物質(zhì)的量為多少？為什么？問題二：現(xiàn)有一種新的放射性物質(zhì)，自然條件下每經(jīng)過一年，剩余的量為一年前的量的倍。假設(shè)在自然條件下，放射性物質(zhì)放置了一段時(shí)間，剩余的量為1，則：（1） 若放置時(shí)間為1年，則1年前放射性物質(zhì)的量為多少？（2） 若放置時(shí)間為2年，則2年前放射性物質(zhì)的量為多少？（

7、3） 若放置時(shí)間為3年，則3年前放射性物質(zhì)的量為多少？（4） 若放置時(shí)間為年，則年前放射性物質(zhì)的量為多少？ 為什么？問題三：根據(jù)前面的回答，填寫下表時(shí)間n年前2年前1年前今年1年后2年后N年后量1設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪的概念，重溫負(fù)整數(shù)指數(shù)冪生成過程二、問題引入問題四：前述表達(dá)中，的取值范圍是什么？問題五：現(xiàn)有一種新的放射性物質(zhì)，自然條件下每經(jīng)過一年，剩余的量為一年前的量的倍。假設(shè)某時(shí)刻放射性物質(zhì)的量為1，則在自然條件下：（1） 半 年后，剩余放射性物質(zhì)的量為多少？為什么？（2） 一個(gè)月后，剩余放射性物質(zhì)的量為多少？為什么？（3） 一年半后，剩余放射性物質(zhì)的量為多少？為什么？設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合具

8、體模型為進(jìn)一步引入有理指數(shù)冪及根式的概念作必要的準(zhǔn)備三、概念形成：一般地，設(shè)，是實(shí)數(shù)，為正整數(shù).若，則稱為的次單位根.（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，任何實(shí)數(shù)均恰有一個(gè)次單位根，記作；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有次單位根；0有唯一的次單位根0；正數(shù)有兩個(gè)次單位根，記作根式運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)栴}六： 觀察等式，（其中、是正整數(shù)）應(yīng)該如何定義？設(shè)計(jì)意圖：引入正有理指數(shù)冪的概念問題七： 參考負(fù)整數(shù)次冪的實(shí)際意義，（其中、是正整數(shù)）有何實(shí)際意義？應(yīng)該如何定義？設(shè)計(jì)意圖：引入負(fù)有理指數(shù)冪的概念 問題八： 為了對(duì)任意的整數(shù)、，和都有意義，應(yīng)該對(duì)的取值范圍補(bǔ)充哪些規(guī)定？設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)底數(shù)的取值范圍.例1. 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式

9、 設(shè)計(jì)意圖：有理指數(shù)冪形式與根式形式相互轉(zhuǎn)化例2. 先將下列各式寫成根式形式，再求值 設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)根式形式的優(yōu)點(diǎn)四、運(yùn)算律：?jiǎn)栴}九：觀察等式：，它們分別是初中階段哪條性質(zhì)的推廣？設(shè)計(jì)意圖：引入指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)問題十：結(jié)合模型，說明的含義. 設(shè)計(jì)意圖：闡明指數(shù)運(yùn)算律的意義，幫助學(xué)生理解運(yùn)算律.設(shè)，是任意正數(shù)，是任意有理數(shù)，則：，例3. 計(jì)算 設(shè)計(jì)意圖：有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用例4. 計(jì)算 設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)有理指數(shù)運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)五、課堂小結(jié)：1. 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及與根式的關(guān)系2. 本節(jié)課我們將指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)冪3. 回顧數(shù)系的擴(kuò)充，我們經(jīng)歷了回顧冪指數(shù)的擴(kuò)充，我們經(jīng)歷了六、課后作業(yè)：1. 課本90頁B組1、2題的偶數(shù)題2. 三新（ 實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算（一）板書設(shè)計(jì)： 實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算一、根式 二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 三、運(yùn)算律若（） 則 為的次方根 （，既約） 若為奇數(shù)，則 若為偶數(shù)，則（，既約） ，教學(xué)反思：課堂實(shí)踐基本實(shí)現(xiàn)了課前預(yù)期.以應(yīng)用背景為主線，貫穿本節(jié)課的教學(xué)，有效的克服了本節(jié)課的難點(diǎn)，使學(xué)生較易接受有理指數(shù)冪的概念，為后期進(jìn)一步學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪、指數(shù)函數(shù)，乃至對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)都提供了素材.學(xué)生在得到下述連等式時(shí)：往往僅能關(guān)注到其中的一個(gè)或兩個(gè)等式，生成的順序也不