八年級數(shù)學競賽專題19平行四邊形、矩形、菱形

1、專題19平行四邊形、矩形、菱形閱讀與思考平行四邊形、矩形、 菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對邊、對角、 對角線三個方面探討 的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是由鄰邊相等來體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過來， 判定一個四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件連對角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、矩形、菱形相關(guān)問題時，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四 邊形的背景下思考問題， 運用平行四邊形、矩形、 菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定 定理與性質(zhì)定理的綜合運用

2、 .熟悉以下基本圖形：例題與求解例1如圖，矩形 ABCD的對角線相交于 O, AE平分/ BAD ,交BC于E, / CAE = 15°,那么/ BOE =.（祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手【例2】下面有四個命題：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；一組對角相等且這一組對角的頂點所連結(jié)的對角線平分另一條對角線的四邊形是平 行四邊形；一組對角相等且這一組對角的頂點所連結(jié)的對角線被另一條對角線平分的四邊形是 平行四邊形；其中，正確的命題的個數(shù)是（）A.1 B. 2 C. 3D.4（全

3、國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定 平行四邊形的命題，關(guān)鍵在于對假命題能突破正規(guī)的、標準位置的圖形構(gòu)造反例否定【例3】如圖，菱形ABCD的邊長為2, BD=2, E, F分別是邊AD, CD上的兩個動 點且滿足AE+CF = 2.（1）判斷ABEF的形狀，并說明理由；（2）設(shè)ABEF的面積為S,求S的取值范圍.（煙臺中考試題）2）,只需求出BE的取值范圍.解題思路：對于（1）由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對于（PF例4如圖，設(shè)P為等腰直角三角形 ACB斜邊AB上任意一點，PEXAC于點E ，BC于點F, PGLEF于點G,延長GP并在春延

4、長線上取一點 D,使得PD = PC. 求證：BCXBD, BC = BD.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：只需證明CPBDPB,關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì).例5在DABCD中，/ BAD的平分線交直線 BC于點 巳 交直線DC的延長線于點F.圖3（1）在圖1中證明CE=CF;（2）若/ ABC = 90°, G是EF的中點（如圖2）,直接寫出/ BDG的度數(shù)；（3）若/ ABC = 120°, FG/CE, FG=CE,分別連結(jié) DB, DG （如圖 3）,求/ BDG 的度數(shù).（北京市中考試題）解題思路：對于（1）,由角平分線加平行線的條件可推出圖中有3個

5、等腰三角形；對于（2）,用測量的方法可得/ BDG=45。，進而想到等腰直角三角形，連 CG, BD,只需證 明BGCDGF,這對解決（3）,有不同的解題思路.對于（3）【例6】如圖，ZABC中，/ C = 90°,點M在BC上，且BM = AC,點N在AC上，且AN=MC, AM與BN相交于點 P.求證：/ BPM = 45°.（浙江省競賽試題）解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式， 由于條件中有直角和相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是平移AN或AC,即作MEXAN,ME = AN,構(gòu)造平行四邊形.能力訓練A級1 .如圖，DABCD

6、中，BEX CD, BF± AD,垂足分別為 E、F,若 CE = 2, DF = 1 , / EBF = 60 °,貝U DABCD的面積為 .第1題2 .如圖， ABCD的對角線相交于點 。，且AD范D,過點。作OMLAC,交AD于點 M,若ACDM周長為a,那么DABCD的周長為 .（浙江省中考試題）3 .如圖，在 RtABC 中，/ B=90 °, /BAC = 78 °,過 C 作 CF/AB,連結(jié) AF 與 BC 相交于G,若GF = 2AC,則/ BAG的大小是 .（希望杯”競賽試題）4 .如圖，在菱形 ABCD 中，/ B=/ EAF =

7、 60°, / BAE =20°,則/ CEF 的大小是 第4題（希望杯”邀請賽試題）5 .四邊形的四條邊長分別是a, b, c, d,其中a, c為對邊，且滿足a2 +b2 +c2 +d2 =2ab +2cd ,則這個四邊形一定是（）A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形C.對角線互相垂直白四邊形 D.對角線相等的四邊形6 .現(xiàn)有以下四個命題：對角線相等的四邊形是矩形；對角線互相垂直的四邊形是菱形；有一個角為直角且對角線互相平分的四邊形為矩形；菱形的對角線的平方和等于邊長的平方的4倍.其中，正確的命題有（）A. B. C. D.7 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=1,

8、 AD= J3, AF平分/ DAB ,過點C作CEBD于E,延長AF, EC交于點H,下列結(jié)論中： AF=FH;BO=BF;CA= CH ;BE =3ED.正確的是 A.)B. C.D.（齊齊哈爾中考試題8.如圖,矩形ABCD的長為a,寬為，/1.b,如果 Si=S2 =(S3+S4),則 S4 =2A. -ab8B.3 一 ab4C. 2 ab3D. ab2第8題（縉云杯”競賽t題）9.已知四邊形ABCD,現(xiàn)有條件：AB / DC ;/ A=Z C;/ B= / D.從中取兩個條件加以組合, 有哪幾種情形？請具體寫出這些組合. AB= DC; AD / BC; AD= BC;能推出四邊形

9、ABCD是平行四邊形的（江蘇省競賽試題）D、F分別是BC、AB上的點，且CD=BF, 以AD10 .如圖，AABC為等邊三角形, 為邊作等邊AADE.（1）求證：ZACDACBF ;（2）當D在線段BC上何處時，四邊形 CDEF為平行四邊形，且/ DEF=30。，證明你 的結(jié)論.（江蘇省南通市中考試題）11 .如圖，在 RtAABC 中，AB = AC, / A=90°,點 D 為 BC 上任一點，DF，AC 于 F, DELAC于E, M為BC中點，試判斷 AMEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.（河南省中考試題）12 .如圖，那BC 中，AB=3, AC = 4, BC=5,

10、 祥BD , AACE, ABCF 都是等邊三角 形，求四邊形 AEFD的面積.（山東省競賽試題）B級1 .如圖，已知 ABCD是平行四邊形， E在AC上，AE=2EC, F在AB上，BF = 2AF, 如果ABEF的面積為2 cm2 ,則 ABCD的面積是.第1題（希望杯”競賽試題）2 .如圖，已知 P為矩形 ABCD內(nèi)一點，PA = 3, PD = 4, PC=5,則PB=（山東省競賽試題）3 .如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=8cm,現(xiàn)將矩形折疊，使B點與D點重合, 則折痕EF長為.第3題（武漢市競賽試題）4 .如圖，在矩形 ABCD中，AB = 8, BC=4,將矩形沿A

11、C折疊，使點D落在點D'處, CD '交AB于點F,則重疊部分 AAFC的面積為 .第4題（山東省競賽試題）5 .如圖，在矩形 ABCD中，已知 AD=12, AB =5, P是AD邊上任意一點， PEXBD 于E, PFLAC于F,那么PE+PF的值為.第巡（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）6 .如圖，菱形 ABCD的邊長為4 cm,且/ ABC=60°, E是BC的中點，P點在BD上， 貝U PE+PC的最小值為.BEC第6題（希望杯”邀請賽試題）7 .如圖，9BC的周長為24, M是AB的中點，MC=MA = 5,則4ABC的面積是（）A. 30 B. 24C.16D.1

12、2（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）8 .如圖， ABCD中，/ ABC = 75°, AF ±BC 于 F, AF 交 BD 于 E,若 DE = 2AB,貝U /AED的大小是（）A. 60 ° B. 65 ° C.70 °D.75 °A.fBFDC第8題9 .如圖，已知/ A=/B, AA1, PR, BB1 均垂直于 AB1 , AA1 =17, PP1 = 16, BB1= 20, AB = 12,則 AP+PB 的值為（）A. 15B.14C. 13D.12(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)10 .如圖1,那BC是直角三角形，/ C=90&#

13、176;,現(xiàn)將那BC補成矩形，使 AABC的兩個那么符合要求的矩形可畫出兩個：矩形 ACBD和矩形AEFB(如圖2).圖3頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上,解答問題:&(填法”、(1)設(shè)圖2中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為Si , S2 ,則G上”或之”).(2)如圖3, AABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的 矩形可以畫出 個，利用圖3畫出來.(3)如圖4, AABC是銳角三角形且三邊滿足 BOAOAB,按短文中的要求把它補 成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出 個，利用圖4畫出來.(4)在(3)中所畫出的矩形中，哪一個的周長

14、最??？為什么？圖4(陜西中考試題)11 .四邊形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA, Z BAD = 120 °, M 為 BC 上一點，N 為 CD 上一點.求證：若AAMN有一個內(nèi)角等于 60°,則 "MN為等邊三角形.12 .如圖，六邊形 ABCDEF 中，AB/DE, BC/ EF , CD/AF ,對邊之差 BCEF = EDAB = AFCD>0.求證：該六邊形的各角相等.（全俄數(shù)學奧林匹克試題）專題19平行四邊形、矩形、菱形例1 75例2 A只有金題正確.例3 (DABEF為正三角形 提示，由ZA5D和 BCD為止三角形可證明HDEifiz

15、lBCF得,BE = BF./DBE=/CB 尸./DBC - NCBF + /DBF = /DBE+ /DBF 60即/EBF=60°,故8EF為等邊三角形.(2)設(shè) BE - 8F , EF=a,則可得，,當BEL4Q時以后最小值為心區(qū)音x(月)當BE與AB重合時在有母大值為2,A Si =? x GESC71例4 提示，P一E尸一PD./CPB=45+/PFC=43 + ZEPG - /GPA =/BPD,可證明CPB ADPB.例 5 (I)略(2)45* <3)60* 如 a/圖延長八H至H.使AH=AD.連DH.則AAHD是等邊三 /:AH=AD二DF.工 BHGF

16、,"又 NBHD=NGFD - 60DH-DF,14DBH幺DG4BDH /GDF.心DG = NADC- NADB - NCADC (/ADB+N8DH) = 120B 60c=60e.例6如圖過M作M£：/AN.連/NE. BE則四邊形AMEN為平N行四邊形,得NE - AM. ME 工"小坐。V ME=CM, Z EMU - ZMl、咨= 90BM-.4G,得 /«E = AM=NE.N】 = /2, Z3=Z4.V/HZ3=90 Z4-90eH.BE E./BEN為等候百角三角形，N3NE=43)A 級1. 12732. 2a3. 25'

17、提示，作卜匕邊上中線.連結(jié)EC,則EF EC -AC.4. 20"提市，連結(jié)AC則少氏上AE&AAEF為等 邊三角形. 5. C 6. B 7. D8 . A 視示：E、F分別為AB、bC中點.9 .從6個條件中任取2個，只有15鐘組合其中旄布出四 邊形A8CD是平行四邊形的有以下9種育形與3). 與，與®與，與;與;與©與 ,與.10 .提示，2)當D為BC中點時滿足題意.11 .提示，連 W明AMFSA8KE可證在：為 等腰直角三角形.12 . 6 袋示：由ABCSZDBEZiARC皆得：4(. -DF-AE.AB EF-AD.故四邊形AEFD為平行

18、四邊形.又/HAC-90,則N【M£=36(T90-60'一 60二T50'.則/A/JF=NAEF=3。，則戶到 AD 的用 離為 2 故 S ,3 /=3X2=6.1. 9cm2 2. 32 提示：可以證明A:+MPDr. 3.，cm4. 10 提示，可先if,AF=CF.設(shè) AF="=n 則 BF 8 一工,外 2+#.l5BcTx5X4s10.445招 橫示;過A作AGL4D PG可擊PE-PF=AG, 由AGBD=ABAD可得， 心經(jīng)星二兇1313a6. 2V3cn）提示：4.C關(guān)于8D對稱，連AE交BD于P. :.PE+PC=AE.乂 AE1BC R/AAE=30； AE=24為最小.7. B8. B攝示、取DE中點為G,連結(jié)AG則AG=DG叨.見Yl) = ；圖略(2)1,圖略 (3)35圖略 (4)以AB為邊的祖形周長雄小用面稅法讓明.11.證明，逢AC如圖,則易證心的 力、與八3部為等邊三角形./：+、(1) t /MAN = 60、則 A.4BMg< x/ <P M ZACV.TAM-MAN-阿 二GAMN為等邊三角形.(2) /八M=6C.U M作CA的平行線交人5于P.CRPM-4