最新新人教版八年級數(shù)學(xué)下冊勾股定理知識點和典型例習(xí)題

1、精品文檔精品文檔新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點和典型例習(xí)題基礎(chǔ)知識點：1 .勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a, b,斜邊為c,那么a2 b2 c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路

2、是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：122方法：4s .勾股定理的適用范圍 勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的 三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形 .勾股定理的應(yīng)用已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在 ABC中，C 90 ,則c Ja2 b2 , b Jc2 a2 ,ac2 b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運用勾股定理解決一些實際問題 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長

3、a, b, c滿足a2 b2 c2,那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時，以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2,時，以a, b, c為三邊的三角形是鈍角三角形；若 a2 b2 c2,時，以a , b , c為三邊的三角形是銳角三角形；定理中a,b,c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長 a,b,c滿足a2 c2 b2, 那么以a, b, c為三

4、邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三 角形 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a , b , c為正整數(shù)時，稱a , b , c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等正方形efgh S正方形abcd, 4 ab (b a) c ,化間可證.2方法二： 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 -abc22abc2大正

5、方形面積為S (a b)2a22abb2所以 a2 b2c22一1112小依/口方法一:S梯形(ab) (a b) ,S弟形2Sade Sabe 2 ab c,化間信證222精品文檔7 .勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題.在使用勾股定理 時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng) 設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在

6、具體推算過程中,應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的 結(jié)論.9 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體.通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.常見圖形：10、互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫 做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。精品文檔題型一：直接考查勾股定理已知 AB 17, AC 15,求BC的長例 1 .在 ABC

7、 中， C 90 .已知AC 6 , BC 8 .求AB的長題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離建筑物 9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?例題2如圖（8）,水池中離岸邊 D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分 BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸 邊，它白頂端B恰好落到D點，并求水池的深度 AC.題型三：勾股定理和逆定理并用一一例題3 如圖3,正方形 ABCD中，E是BC邊上的中點,嗎？為什么？F是AB上一點，且FB1 .-AB那么 DEF是直角三角形4P E圖3精品文檔注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長度一

8、一例題4如圖4,已知長方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E,將 ADE折疊使點 D恰好落在 BC邊 上的點F,求CE的長.精品文檔題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一例題5有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？5米以內(nèi)，燈就自動打開,題型六：旋轉(zhuǎn)問題:例題6如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=2j3,PC=4,求 ABC的邊長.變式 如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90 ° , E、F是BC上的點，且/ EAF=45試探究BE2、CF

9、2、EF 2間的關(guān)系，并說明理由題型七：關(guān)于翻折問題例題7如圖，矩形紙片 ABCD的邊AB=10cm , BC=6cm , E為BC上一點，將矩形紙片沿 AE折疊，點B恰好落在 CD邊上的點G處，求BE的長.變式 如圖，AD是4ABC的中線，/ ADC=45 ° ,把 ADC沿直線AD翻折，點C落在點C'的位置，BC=4,求BC' 的長.精品文檔題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路 MN和公路PQ在P點處交匯，點 假使拖拉機(jī)行駛時，周圍 100米以內(nèi)會受到噪音影響, 影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是A處有一所中學(xué)，AP=160米，點A

10、到公路MN的距離為80米, 那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題 例5、如右圖1 19,壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺 旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請問壁虎至少要爬行多少路程 才能捕到害蟲？（兀取3.14,結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其

11、邊長都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm, 則它從下地面 A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點，最少要花幾秒鐘？精品文檔2 .種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內(nèi)部底面半徑為 2.5 cm,高為12 cm,吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6cm,問吸管要做 cm。3 .已知：如圖，4ABC中，Z C = 90，。點。為4ABC的三條角平分線的交點，ODBC, OEXAC, OFLAB,點D、E、F分別是垂足，且 BC = 8cm, CA = 6cm,則點O到三邊AB , AC和BC的距離分別等于 cm4 .在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的 A處。另一只爬到樹

12、頂 D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高 米。5 .如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm, A和B是這個臺階兩個相對的端點， A點有一只螞蟻，想到 B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是二、選擇題1 .已知一個Rt的兩邊長分別為 3和4,則第三邊長的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 252 . Rt一直角邊的長為11,另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長為（）A、121 B、120C、132D、不能確定3 .如果Rt兩直角邊的比為 5 ： 12,則斜邊上的高與斜邊的比為（）A、60 ： 13B、5 ： 1

13、2C、12 ： 13 D、60 ： 1694 .已知 RtAABC 中，/ C=90° ,若 a+b=14cm, c=10cm,則 RtAABC 的面積是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25 .等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,則三角形的面積為（）A、56B、48C、40D、326 .某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價元，則購買這種草皮至少需要（）A、450a 元B、 225a 元D、 300a元C、 150a元7 .已知，如圖長方形 ABCD中，AB=3cm , AD=9cm ,將此長方形折