2020中考數(shù)學(xué)專題2——幾何模型之K型相似-含答案

1、圖1圖2圖32020中考專題2幾何模型之“K”型相似班級姓名【模型解析】條件：B,C,E三點共線條B=ZACD=ZE=90°結(jié)論：ABOCED【例題分析】例1.(1)問題：如圖1,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，/DPC=/A=/B=90°,求證:AD.BC=AP.BP;(2)探究：如圖2,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當/DPC=/A=/B=。時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由.(3)應(yīng)用：請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗解決問題：如圖3,在4ABD中，AB=6,AD=BD=5,點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足/CPD=/A,

2、設(shè)點P的運動時間為t(秒)，當DC=4BC時，求t的值.例2.如圖，在等邊/ABC中,將ABC沿著MN折疊。使點A落在邊BC上的點D處。(1)若AB=4,當4BMD為直角三角形時，求AM的長。(2)當BD:CD=1:3時，求AM:AN的值。例3.如圖，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為(4,8),將矩形沿對角線AC翻折，B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E,那么點D的坐標為1.如圖1,已知ABC和ADE均為等邊三角形,圖1圖2例3圖例4圖例5圖例4.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD,點A(0,1)，點C、D在反比仞函數(shù)y_k(k0)的圖象上,XAB與

3、x軸的正半軸相交于點E,若E為AB的中點，則k的值為.例5.如圖，直線a/b/c,a與b之間的距離為3,b與c之間的距離為6,a、b、c分別經(jīng)過等邊三角形ABC的三個頂點，則三角形的邊長為.【鞏固訓(xùn)練】D在BC上,DE與AC相交于點F,AB=9,BD=2.如圖2坐標系中,O(0,0),A(6,633),B(12,0),WAOAB沿直線線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處，若OE=24,則CE:DE的值是53 .如圖3,直線li/12/13,等腰直角三角形ABC的三個頂點A,B,C分另J在li,I3上，ZACB=90°,AC交12于點D,已知11與12的距離為1,12與13的距

4、離為3,則ABC的面積為.4 .如圖4,邊長為5勺正方形ABCD的頂點A在y軸上，頂點D在反比仞函數(shù)y=fx>0)的圖象上,4x已知點B的坐標是f-,，則k的值為。445 .如圖5,在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16,4點D與點A關(guān)于y軸對稱，tan/ACB,/CDE=/CAO,點E、F分別是線段AD、AC上的動點(點E不與點A、D重合)，且/CEF=/ACB.(1)求AC的長和點D的坐標；(2)證明：AEFADCE;(3)當EFC為等腰三角形時，求點E的坐標.圖56 .如圖6,一條拋物線經(jīng)過原點和點C(8,0),A、B是該拋物線上的兩點，A

5、B/x軸，OA=5,AB=2.點E在線段OC上，彳MEN=/AOC,使/MEN的一邊始終經(jīng)過點A,另一邊交線段BC于點F,連接AF.(1)求拋物線的解析式；(2)當點F是BC的中點時，求點E的坐標；(3)當4AEF是等腰三角形時，求點E的坐標.7 .如圖7,已知拋物線y=mx23mx4m與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C,當/ACB=90°時，(1)求拋物線解析式；(2)當拋物線開口向下時，在第一象限的拋物線上有一點P,橫坐標為a,當/BPC=90°時，求a的值.圖78 .如圖8,在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(1,0),B(3,0),與y軸交

6、于點C,直線BC的解析式為y=kx+3.(1)求拋物線和直線BC的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上找一點P,使得/CBP=90°,求P點坐標；(3)若點Q是第一象限的拋物線上一動點，當/CQB=90°時，求Q點的坐標.9 .小明是一個喜歡探究鉆研的學(xué)生，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線y=ax2(a<0)的性質(zhì)時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O,兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題:(1)小明測得OA=OB=4J2(如圖1),求a的值；(2)對同一條拋物線，小明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時，過B作BF，x軸于點F,測得OF=2,

7、寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標；(3)對該拋物線，小明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標.2020中考專題2幾何模型之"K'型相似參考答案例1.解：(1)如圖1, .ZDPC=ZA=ZB=90°,.ADP+/APD=90°,/BPC+/APD=90°, ./ADP=/BPC,ADPABPC,，巫=陽，.AD?BC=AP?BP;BPBC圖1圖2(2)結(jié)論AD?BC=AP?BP仍然成立.理由：如圖2, /BPD=/DPC+/BPC,/BPD=ZA+/ADP,./DPC+/BP

8、C=/A+ZADP. ./DPC=/A=/B=Q/BPC=/ADP, .ADPABPC,.AD?BC=AP?BP;BPBC(3)如圖3, DC=4BC,又.AD=BD=5,，DC=4,BC=1,由(1)、(2)的經(jīng)驗可知AD?BC=AP?BP, 1-5X1=t(6-t),解得：t1=1,t2=5,t的值為1秒或5秒.例2.解：(1)如圖1,設(shè)BM=k,AM=DM-j3k.可得方程k+,3k=4,得k=2+?3,得AM=2(33)._同理，如圖2,可求得AM=8；312.(2)如圖3,設(shè)BD=m,CD=3m,可得BDM與CDN的周長比即相似比為5:7.可得AM:AN=DM:DN=5:7.例3.解

9、：如圖，過D作DF，x軸于F,點B的坐標為(4,8),，AO=4,AB=8,根據(jù)折疊可知：CD=OA,而/D=/AOE=90°,/DEC=/AEO,.,.CDEAAOE,OE=DE,OA=CD=4,設(shè)OE=x,那么CE=8x,DE=x,在RtDCE中，CE2=DE2+CD2,(8-x)2=x2+42,x=3,又DFAF,DF/EO,/.AAEOAADF,而AD=AB=8,AE=CE=8-3=5,二.D的坐標為（-）.故答案是：5）.5例4.解：如圖，作DFy軸于F,過B點作x軸的平行線與過C點垂直與x軸的直線交于G,CG交x軸于K,作BH±x軸于H, .四邊形ABCD是矩形

10、，/BAD=90°, ./DAF+ZOAE=90°,.ZAEO+ZOAE=90°,.DAF=/AEO, AB=2AD,E為AB的中點，AD=AE,在ADF和EAO中，rZDAF=ZAE01ZAFD=ZA0E=90oadfaeao(aas),AD=AE.DF=OA=1,AF=OE,D(1,k),AF=k1,同理；AOEABHE,ADFACBG,BH=BG=DF=OA=1,EH=CG=OE=AF=k-1,.OK=2(k1)+1=2k-1,CK=k-2.C(2k-1,k-2),(2k1)(k2)=1?k,解-k-1>0,k="無故答案是:2例5.簡解：構(gòu)

11、造/BDC=/AEC=60°,可得BCDCAE.可求得AC=221.【鞏固訓(xùn)練】1 .解：如圖，.ABC和4ADE均為等邊三角形， ./B=ZBAC=60°, .ZBAD+ZADB=120°,/ADB+/FDC=120° ./BAD=ZFDC又./B=/C=60°,.ABDCDF,.AB:BD=CD:CF,即9:3=(9-3):CF,，CF=2.2.解：過A作AFXOB于F,.A(6,6點,B(12,0),.AF=6、幾，OF=6,OB=12,BF=6,OF=BF,.1.AO=AB, .tan/AOB=需=49/AOB=60°，.二A

12、OB是等邊三角形， ./AOB=/ABO=60°, 將OAB沿直線線CD折疊，使點A恰好落在線段OB上的點E處, .ZCED=ZOAB=60°,/OCE=/DEB,/.ACEOADBE,一一-上工設(shè)CE=a,貝UCA=a,CO=12-a,ED=b,貝UAD=b,DB=12-b,24匚由澤24b=60a-5ab,12-bb.36a=60b5ab,-得：36a-24b=60b-60a,CE：DE=京答案為:3.簡解：構(gòu)造一對直角三角形全等，可得BC=AC=5.4.解：如圖，作DEXOA于E,BFXOA于F,O四邊形ABCD是正方形，AD=AB,/DAB=90°,.ZE

13、AD+ZFAB=90°,/FAB+/ABF=90°,./EAD=ZABF,在AADE和BAF中，4ZEAD=ZA£K,ADEABAF,DA=ABAF=ED,AE=BF,B點坐標OF=*AF=DE=號產(chǎn)-號產(chǎn)1.OE=4,點D坐標(1,4),k=4.|435.解：(1)由題意tan/ACB=W，cos/ACB=,35四邊形ABCO為矩形，AB=16,.BC=12,AC=20,tanZACBIcosZAjCB.A(-12,0),點D與點A關(guān)于y軸對稱，D(12,0);(2) .點D與點A關(guān)于y軸對稱, ./CDE=ZCAO, /CEF=/ACB,/ACB=/CAO,

14、./CDE=ZCEF,又./AEC=/AEF+/CEF=ZCDE+ZDCE, ./AEF=/DCE,AEFADCE;(3)當EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：當CE=EF時，aefadce,AEFADCE,AE=CD=20,OE=AE-OA=20-12=8,E(8,0);當EF=FC時，過點F作FM±CE于M,aefadce,.CE=2ME=2EF?cosZCEF=2EF?cosZACB=AE=503.DE=AE-OA=典-12='33.E14，0);當CE=CF時，則有/CFE=/CEF,./CEF=ZACB=ZCAO,，/CFE=CAO,即此時點E與點D重合，這與已知

15、條件矛盾,綜上所述，E(8,0)或(絲，0).6.解：(1)如圖， .該拋物線經(jīng)過原點和點C(8,0),，設(shè)該拋物線的解析式為：y=ax(x-8)(aw。). 點C(8,0),該拋物線的對稱軸是x=4.,.AB=2,AB/x軸，.設(shè)A(3,t),B(5,t),又OA=5,t=4,即A(3,4),B(5,4), 把點A的坐標代入解析式，得一一一、一4I4=3ax(38),斛得a=,15Iq.該拋物線的斛析式是：y=-"7=x(x-8)(或y=(2).AB/x軸,，根據(jù)拋物線的對稱性知OA=CB=5,/AOC=/BCO,點F是BC的中點，CF=芋.ZMEN=ZAOC,即/AEF=/AOC

16、,ZAEC=ZAEF+ZCEF=ZAOC+ZOAE,./CEF=/OAE,AOEAECF,.=01,即工=詈，CECF8-0EA2解得，oe=jlWOL,或of=即vn則e（、士vh0）；222（3）當AE=EF時，可證AOEA236易證ABFFKE,求得OE=21,則E(上j0);66綜上所述，點E的坐標是：（3,0）、（2之，0）或（2,0）時，AEF是等腰三角形.6設(shè)Q（a,b）則類似第6題，可得QC(0,3)，拋物線為y=(x+1)(x3)=x2+2x+3.直線BC為y=x+3，取BC的中點M(吃)MP=1/2BC=3/22,得P(33±32)222221+55+51、2,2

17、J9.解：（1）設(shè)線段AB與y軸的交點為C,由拋物線的對稱性可得C為AB中點,.OA=OB=4V2,/AOB=90°,AC=OC=BC=4,ECF.貝UOA=CE=5,OE=3,貝UE(3,當AF=EF時，過點F作FK/AO.當AE=AF時，在AO上取點Q,使得EQ=a(4-a)=一'-4)(a+1)(-a2+3a),得a=3(-1,0,3舍去)222B(4,-4),OE.易證ABFAEQA,貝UEQ=AB=2,.OE=2.則E(2,0);6.解：(1)A(1,0),B(4,0),C(0,4m).利用AOBO1=CO2列方程可得m=2(2)構(gòu)造基本圖形，設(shè)P(a,b)，其中12b=-2,NP=4-a.,a-3a-4),CM=b-2,BN=b,PN=4-a可得方程a(4-a)=b(b-2)即,(4,-4)代入拋物線y=ax2(a<0)得，a=-(2)丁點過點A作AE±x軸于點巳B的橫坐標為2,B(2,-1),(-m,-m2)(m>0),則Ob2=22+12=5,OA2=m2+-i-m4,AB2=(2+m)2+-1+Jj-m2)2,/AOB=90°,AB2=OA2+OB2,(2+m)2+(-1+im2)2=m2+-m4+5,416解得