立體幾何專題復(fù)習(xí)(自己精心整理)

1、Dc舊rc.1C1.:.XDQA題型二證明垂直關(guān)系(微專題)微專題1：證明線線垂直B專題一證明平行垂直問題題型一證明平行關(guān)系例1如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別是''qC,B1C1的中點(diǎn).求證：MNII平面A1BD.在正方體AC1中，M,N,E,F分別是A1B1，A1D1，B&,C1D1的中點(diǎn)，求證：平面AMNII平面EFDB.思考題1如圖所示，平面PAD丄平面ABCD,ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PA=AD=2,E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn),求證：平面EFGII平面PBC.(2)如圖，在四面體A-BCD中,AD丄平面

2、BCD,BC丄CD,AD=2,BD=2/2,M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證：PQII平面BCD.2(1)已知空間四邊形OABC中，M為BC中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，P為OA中點(diǎn)，Q為OB中點(diǎn)，若AB=OC.求證：PM丄QN.(2)(2019山西太原檢測)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1,E,F分別是CC1，BC的中點(diǎn)，AE丄A1B1，D為棱A1B1上的點(diǎn)，求證：DF丄AE.微專題2：證明線面垂直在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：BD1丄平面ACB1.(4)(2019河南六市一模)在如圖所示的幾何體中，ABC-A1B1C1為

3、三棱柱，且AA丄平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2CD,ZADC=60°.若AA1=AC，求證：AC1丄平面A1B1CD.微專題3：證明面面垂直(5)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是BB1，CD的中點(diǎn)，求證：平面DEA丄平面A1FD1.a1(6)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD丄平面ABCD,PDQA,QA=AB=2PD,求證：平面PQC丄平面DCQ.思考題2(1)(2019北京東城區(qū)模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD丄底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF丄BP交BP于點(diǎn)F，求證：PB丄平面EFD.(2)

4、(2019濟(jì)南質(zhì)檢)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，P0丄平面ABC，垂足0落在線段AD上.已知BC=8,P0=4,AO=3，OD=2.證明：APIBC；若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM=3，試證明平面AMC丄平面BMC.題型三探究性問題在四棱錐P-ABCD中，PD丄底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).(1)求證：EF丄CD；在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G,使GF丄平面PCB.若存在，確定G點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由.思考題3(2019山西長治二模)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA丄CD,PA=1,PD

5、=j2E為PD上一點(diǎn)，PE=2ED.求證：PA丄平面ABCD；在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使得BFII平面AEC若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明;若不存在，說明理由.專題二求解異面直線所成角和線面角問題題型一異面直線所成的角(1)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分別是CC1，AD的中點(diǎn)，則異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于(2)(2019安徽知名示范高中聯(lián)合質(zhì)檢)若在三棱柱ABC-A1B1C1中，ZAXAC=ZBAC=60°,平面A1ACC1丄平面ABC,AA=AC=AB,則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為思考題1(2019湖南

6、雅禮中學(xué)期末)如圖1,在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E是DC的中點(diǎn)；如圖2,將厶DAE沿AE折起，使折后平面DAE丄平面ABCE，則異面直線AE和BD所成角的余弦值為ECC->ABB圖1圖2題型二定義法求線面角口A90°B60°C45°D30°(1)(2019山東荷澤期末)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1丄平面AB1C1，且AB1C1為等邊三角形，B1C1=2AA1=2,則直線AB與平面B1C1CB所成角的正切值為()(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面A1

7、BD所成的角為a則sina的取值范圍是()A.害1B.事1C.申,攀D.普,1思考題2(1)(2019河北石家莊一模)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3,則BB1與平面AB1C1所成的角的大小為,把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()題型三向量法求線面角(1)(2019河南鄭州月考)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PD=E，平面ABCD丄平面PAD,M是PC的中點(diǎn),O是AD的中點(diǎn)，則直線BM與平面PCO所成角的正弦值

8、是拊(2)如圖，菱形ABCD中，ZABC=60°,AC與BD相交于點(diǎn)0,AE丄平面ABCD,CFAE,AB=2,CF=3.若直線FO與平面BED所成的角為45°，則AE=思考題3正四棱錐S-ABCD中，0為頂點(diǎn)S在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是.(2)(2019河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱長均為2,ZAXAD=60°,ZBAD=90°,平面A1ADD1丄平面ABCD,則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為()(1)(2019太原模擬一)如圖，在四棱錐P-ABCD中，

9、底面ABCD是邊長為、的正方形，PA丄BD.求證：PB=PD；若E,F分別為PC,AB的中點(diǎn)，EF丄平面PCD，求直線PB與平面PCD所成角的大小.(2)(2019湖南長郡中學(xué)選拔考試)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=5,AC=8,D為線段AC的中點(diǎn). 求證：BD丄A1D；4 若直線A1D與平面BC1D所成角的正弦值為5，求AA1的長.思考題4(2019石家莊質(zhì)檢二)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為ZCBB1=60°的菱形，AB=AC1，(1) 證明：平面AB1C丄平面BB1C1C；(2) 若AB丄B1C,直線AB與平面BB1C1C所成的角為

10、30°,求直線AB1與平面A1B1C所成角的正弦值.專題三求解二面角問題(1)(2019臺州一模)在邊長為a的等邊三角形題型一定義法求二面角ABC中，AD丄BC于點(diǎn)D,沿AD折成二面角B-AD-C，若此1時(shí)BC=a，則二面角B-AD-C的大小為.(2)如圖，二面角a-1-p的大小是60°，線段ABa,BE,AB與l所成的角為30°,則AB與平面B所成的角的正弦值是已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為16n的球0的球面上，AC為球0的直徑.當(dāng)三棱錐PABC的體積最大時(shí)，設(shè)二面角PABC的大小為8,則sin8=()思考題1如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3

11、,.:.點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE,CE將厶ABE,ADCE翻折，使得點(diǎn)A,D重合于F,此時(shí)二面角EBCF的余弦:值為()(2)如圖，設(shè)AB為圓錐P0的底面直徑，PA為母線，點(diǎn)C在底面圓周上,若PA=AB=2,AC=BC，則二面角PACB的正切值是.題型二向量法求二面角已知點(diǎn)E,F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB】,CC】上，且BE=2EB,CF=2Fq，則面AEF與面ABC所成的銳二面角的正切值為.(2)(2019河南安陽)二面角的棱上有A,B兩點(diǎn)，直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=；'17,則該二面

12、角的大小為()A150°B45°C60°D120°思考題2(1)設(shè)平面a的一個(gè)法向量為n1=(1,2,2),平面p的一個(gè)法向量為n2=(22,4,k),若a和p所成的銳二面角的余弦值為3,則k=.(2) (2019遼寧丹東模擬)如圖，正方形A1BCD折成直二面角ABDC,則二面角ACDB的余弦值是.(3) (2019廣東中山模擬)在矩形ABCD中，已知AB=2,AD=2邊，M,N分別為AD和BC的中點(diǎn)，沿MN把平面ABNM折起,若折起后|AC|=./6，則二面角AMNC的大小為()A30°B45°C60°D90°例

13、3(2019惠州二次調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ZABC=60°,PA丄PB,PC=2.(1)求證：平面PAB丄平面ABCD；思考題3（2019河北五一名校聯(lián)考）在斜三棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）ABCAfG中，側(cè)面AA&C丄底面ABC,底面AABC是邊長為2的正三角形，AXA=AXC,A丄A”.（1）求證：AC丄BC；求二面角BA”一q的正弦值.題型三空間角的綜合問題（2019唐山五校聯(lián)考）如圖，在四棱錐PABCD中,ABCD,ABCD是直角梯形，AB丄AD,ABCD,AB=2AD=2CD,中占I八、求證：平面EAC丄平面PBC；6若二面角P

14、ACE的余弦值為號，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.思考題4（2019江南十校素質(zhì)檢測）如圖，在以A,B,C,D,E,F丄:,為頂點(diǎn)的五面體中，平面CDEF丄平面ABCD,FC=FB，四邊形ABCD為平行四邊形，且ZBCD=45°.上（1）求證：CD丄BF；1,；（2）若AB=2EF=2,BC=*2直線BF與平面ABCD所成角為45°,求平面ADE與平面BCF所成銳二面角的余弦值.專題四綜合問題題型一空間的距離（1）（2019江西九江期末）如圖，在四棱錐PABCD中，PA丄底面ABCD,四邊形ABCD為正方形，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PA的中點(diǎn),且PA=AB=2.則點(diǎn)P到

15、平面BEF的距離為（）（2）已知正方形ABCD的邊長為4,CG丄平面ABCD,CG=2,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離.思考題1（1）（2019黑龍江哈爾濱期末）三棱柱ABCA1B1C1底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直，若AB=2,AA1=1，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為（）ZBAP=ZCDP=90°.證明：平面PAB丄平面PAD；若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.兒E（2）（2019湖南長沙一模）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E，F(xiàn)分別為BB1，CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面A1D1E的距離.ADP題型

16、二探究性問題側(cè)2（2019湖南重點(diǎn)校聯(lián)考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,ADBC,AD丄CD,且AD=CD=2；2bC=4'./5,PA=2.求證：AB丄PC；在線段PD上，是否存在一點(diǎn)M,使得二面角MACD的大小為45°,如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由.XN思考題2（2019西安八校聯(lián)考）已知幾何體ABCC1B1N的直觀圖如圖所示，CB丄底面ABB1N,且ABB1N為直角梯形，側(cè)面BBff為矩形，AN=AB=BC=4,BB1=8,ZNAB=ZABB1=90°.（1）連接B1C，若M為AB的中點(diǎn)，在線段CB上是

17、否存在一點(diǎn)P,使得MPII平面CNB1若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由.求二面角C-NB1-C1的余弦值.題型三翻折問題dil3（2019安徽合肥調(diào)研性檢測）平面四邊形ABCD中,ZDAB=n，AD=AB,BCD為等邊三角形.現(xiàn)將ABD沿BD翻折得到四面體P-BCD,點(diǎn)E,F,G,H分別為PB,PD,CD,CB的中點(diǎn).（1）求證：四邊形EFGH為矩形；當(dāng)平面PBD丄平面CBD時(shí)，求直線BG與平面PBC所成角的正弦值.思考題3如圖，在直角梯形ABCP中，ZA=ZB=90°,AB=BC=3,AP=6,CD丄AP于D,現(xiàn)將APCD沿線段CD折成60°的二面角P-CD-A

18、,設(shè)E,F,G分別是PD,PC,BC的中點(diǎn).求證：PAII平面EFG；(2)若M為線段CD上的動點(diǎn)，求直線MF與平面EFG所成角的最大角，并確定成最大角時(shí)點(diǎn)M在什么位置高考題呈現(xiàn)D1.(2014全國口)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).證明：PBII平面AEC；3(2)設(shè)AP=1,AD3，三棱錐P-ABD的體積7=計(jì)，求A到平面PBC的距離.2.（2016北京）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,PA丄PD,PA=PD,AB丄AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.'5.求證：PD丄平面PAB；求直線PB與平面PCD

19、所成角的正弦值;在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BMII平面PCD若存在，求AP的值；若不存在，說明理由.3.（2018浙江）如圖，已知多面體ABC-AXBXCX，A】A,B】B,C】C均垂直于平面ABC,ZABC=120°,AXA=4,qC=1,AB=BC=B】B=2.證明：AB】丄平面A1B1C1；（2）求直線AC】與平面ABB】所成的角的正弦值.4.（2016課標(biāo)全國皿）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).（1）證明：MNII平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.D5.（2018課標(biāo)全國I）如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把ADFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF丄BF.證明：平面PEF丄平面ABFD；求DP與平面ABFD