結(jié)構(gòu)動力學(運動方程的建立)分解

1、結(jié)構(gòu)動力學結(jié)構(gòu)動力學第2章分析動力學基礎(chǔ)及運動方程的建立第2章分析動力學基碑象運動方程的建立2.1基本概念廣義塑標與動力自由度功和能實位穆、可能値移和虛値穆廣義力慣性力彈簧的恢復力阻尼力線弾性體兼和轄弾性體系菲彈性體系2.1基本概念廣義坐標：能決定質(zhì)點系幾何位置的彼此獨立的量稱為該質(zhì)點系的廣義坐標。廣義坐標可以取長度量綱的量，也可以用甬度甚至面積和體積來表示。靜力自由度的槪念:確定結(jié)構(gòu)體系在空間中位置所需的獨立參數(shù)的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的自由度。動力自由度的定義：結(jié)構(gòu)體系在任意瞬時的一切可能的變形中，決定全普卩質(zhì)量位置所需的獨立參數(shù)的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的動力自由度。2.1.2功利能功的定義有勢力和勢能動能2

2、丄3實位穆可能位穆和虛位穆可能位穆：滿足所有約束方程的位移稱為體系的可育皂位移。實位穆：如果位移不僅滿足約束方程，而且滿足運動方程和初始條件，則稱為體系的實位移。在某一體系在約束許可的情況下可育皂產(chǎn)生的任意組微4、位移，稱為體系的虛位移。2.1.4慣性力(InertialForce)慣性：保持物體運動狀態(tài)的能力。慣性力：大小等于物體的質(zhì)量與加速度的乘積,方向與加速度的方向相反。fj=mil坐標方向：向右為正I一表示慣性(Inertial)；m一質(zhì)量(mass)；u一質(zhì)點的加速度。基本概念2.1.5彈簧的恢復力(ResistingForceofSpring)對彈性體系，彈簧的恢復力也被稱為彈性恢

3、復力彈性恢復力：大小等于彈簧剛度與位移（彈簧變形）的乘積方向指向體系的平衡位置。(b)s表示彈簧（Spring）k彈簧的剛度（SpringStiffness）U點位年多2.1基本概念單層框架結(jié)構(gòu)的水平剛度724此QT00：k="h3qtO:k=-"h324叭6p+l/TT-74;P7Uh一框架結(jié)構(gòu)的高度L梁的長度E_彈性模量厶和厶一梁和柱的截面慣性矩2.1.6陰尼力(DampingForce)阻尼：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，使結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用。阻尼的來源(物理機制)：(1) 固體材料變形時的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散;(2) 結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)

4、構(gòu)件之間的摩擦;(3) 結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣.流體等。粘性(滯)阻尼力可表示為：fD=CD表示阻尼(Damping)0fixOr0M/O_JDIdiL7/L(d)ac阻尼系數(shù)(Dampingcoefficient)U質(zhì)點的運動速度阻尼系數(shù)c的確定：不能像結(jié)構(gòu)剛度P那樣可通過結(jié)構(gòu)幾何尺寸.構(gòu)件尺寸和材料的力學性質(zhì)等來獲得，因為C是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù),動試驗的方法得到o阻尼系數(shù)一般是通過結(jié)構(gòu)原型振粘性（滯）阻尼理論僅是多種阻尼中最為簡單的一種。其它常用的阻尼擦阻尼：阻尼力大4、與速度大4、無關(guān),一般為常數(shù);滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比（相位與速度相同）；流體阻尼

5、：阻尼力與質(zhì)點速度的平方成正比。滯變阻尼時滯阻尼復阻尼基本概念2-1-7線弾性體兼和粘弾性體兼(LinearlyElasticSystemandViscousElasticSystem)線彈性體系：由線性彈簧（或線性構(gòu)件）組成的體系。最窗第爾廻闕雄須尊隔星粘彈性體系:當線彈性系統(tǒng)中進一步考慮阻尼（粘性阻尼）的影響時的體系?；靖拍?.1.8非弾性體系(InelasticSystem)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力一變形關(guān)系為非線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)剛度不再為常數(shù)。構(gòu)件(或彈簧)的恢復力可表示為fs=人血N是位移和速度的非線性函數(shù)。-002013500!宅1u匚*U11"Xu»/賓一廠kIXJV/i/

6、y/tC/77/1s-0005-SOO400051/0010/I0015,PANELOtSTOfiTlOM(PAD)002000250030/!-IOOO2SOO-3000圖2.6非彈性體系中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力與位移關(guān)系第2章分析動力學基礎(chǔ)及運動方程的建立2.2基泰力學原理與運動方程的建立.牛頓(Newton)第二定律 D，Alembeil原理虛位穆匱理 Hamilton原理 Lagrange方程運動方程：描述結(jié)構(gòu)中力與位移（包括速度和加速度）關(guān)系的數(shù)學表達式。（有時也稱為動力方程）鳥運動方程是進行結(jié)構(gòu)動力分析的基礎(chǔ)運動方程的建立是結(jié)構(gòu)動力學的重點和難點本章首先通過對簡單結(jié)構(gòu)體系（單自由度體系）的討

7、論介紹結(jié)構(gòu)動力分析中存在的基本物理量及建立運動方程的方法，然后介紹更復雜的多自由度體系運動方程的建立。單自由度體系：SDOF(Single-Degree-of-Freedom)System結(jié)構(gòu)的運動狀態(tài)僅需要一個幾何參數(shù)即可以確定基本動力體兼：應(yīng)包括結(jié)構(gòu)動力分析中涉及的所有物理量。質(zhì)量；彈簧；阻尼器?；緞恿w系阿個典型的單自由度體系力/22a)單層框架結(jié)構(gòu)(b)彈簧-質(zhì)點體系物理元件：質(zhì)量集中質(zhì)量加阻尼器阻尼系數(shù)C彈簧彈簧剛度k兩個力學模型完全等效因為兩個體系的運動方程相同2.2基本力學原理與運動方程的建立可co)/lt、/p(220牛頓(Newton)單質(zhì)點體系的受力分析第二定律F-maF

8、=P-fD-fs加Q+Zd+人二Pa=ufD=cuf=kumil+cu+ku=p單質(zhì)點體系運動時要滿足的控制方程一運動方程利用牛頓第二定律的優(yōu)點：牛頓第二定律是基于物理學中已有知識的直接應(yīng)用以人們最容易接受的力學知識建立體系的運動方程mu+cu+ku=p2.2.1Dlembert原理（直接動力平衡法）D'Alembert原理：在體系運動的任一瞬時，如果除了實際作用結(jié)構(gòu)的主動力（包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力，則在該時刻體系將處于假想的平衡狀態(tài)（動力平衡）。單質(zhì)點體系的受力分析P/九）九二°=milfd"fs=kumil+cu+ku=p2.2.1D7

9、Alembert原理D'Alembert原理的優(yōu)點:靜力問題是人們所熟悉的，有了D'Alembert原理之后,形式上動力問題就變成了靜力問題，靜力問題中用來建立控制方程的方法，都可以用于建立動力問題的平衡方程，使對動力問題的思考有一定的簡化。對很多問題，D?Alembert原理是用于建立運動方程的最直接、最簡便的方法。D'Alembert原理的貢獻:建立了動力平衡（簡稱：動平衡）的概念。2.2運動方程的建立可能醫(yī)移；實醫(yī)移；虛虛移2.2.2虛位穆原理虛位移原理：在一組夕卜力作用下的平衡系統(tǒng)發(fā)生一個虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功總和恒等于零。虛位移是指滿足體系約束條件

10、的無限小位移。設(shè)體系發(fā)生一個虛位移況I,則平衡力系在況上做的總虛功為：pt)8u_fjSu-fD3u-fs8u-0P-fi_(D_扎=。fi=milfD=cufs=kukm"(t)p(t)mii+cu+ku-pfsfn單質(zhì)點體系的受力分析2.2基本力學原理與運動方程的廷立222虛位移原理虛位移原理的優(yōu)點：虛位移原理是建立在對虛功分析的基礎(chǔ)之上，而虛功是一個標量，可以按代數(shù)方式運算,因而比Newton第二定律，或D'Alembert原理中需要采用的矢量運算更簡便。對如下圖所示結(jié)構(gòu)體系，用虛位移原理建立方程更簡便一些(a)(b)2.2.3Hamilton獗理A可以應(yīng)用變分法（原理

11、）建立結(jié)構(gòu)體系的運動方程。在數(shù)學上，變分問題就是求泛函的極值問題。在這泛函就是結(jié)構(gòu)體系中的能量（功）o變分法是求體系能量（功）的極值。A體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值，一般是極小值。>Hamilton原理是動力學中的變分法（原理）。2.2.3Hamilton原理（積分形式的動力問題的變分方法）nc-工卩憂問jJHamilton原理：在任意時間區(qū)段/bt2內(nèi)，體系的動能和位育皂的變分加上非保守力做功的變分等于0。223(T-V)dt+6Wncdt=0T一體系的總動能；V一體系的位另包括應(yīng)變另豈及任何保守力的勢另豈；W一作用于體系上非保守力（包括阻尼力及任意外

12、荷載）所做的功；8在指定時間段內(nèi)所取的變分。對于靜力問題：一最小勢能原理。2.2基本力學原理與運動方程的建立2+6Wncdt=02.2.3Hamilton原理Hamilton原理的優(yōu)點：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對動能和位能的變分代替。因而對這兩項來講,僅涉及處理純的標量，即能量。而在虛位移中，冬管虛功本身是標量，但用來計算虛功的力和虛位移則都是矢量O動育皂：集中質(zhì)量T=轉(zhuǎn)動質(zhì)量位另皂：拉伸彈簧V=|h/2轉(zhuǎn)動彈簧多自由度體系：動能心空工工伽“岡飛位育皂2.2基本力學原理與運動方程的建立2.2.4Lagrange方程用Hamilton原理建立體系的運動方程119體系的動能：T=-mu2

13、位能(彈簧應(yīng)變能)：V=hr22因此能量的變分：3(T-V)=muSii-kudu非保守所做的功的變分(等于非保守力在位移變分上作的功)3Wnc-p(t)du_citSu將以上兩式代入Hamilton原理的變分公式，得：°2.mudii一cu8u一ku8u+pt)5udt-0對上式中的第一項進彳亍分咅F積分/>i-(Su)dt=jmud(Su)-miiSiJ覓miidt二muSudt二|mu(S-u)dt二jmu"-cii-ku+p(t)6udt=0mil+CU+ku=p(f)milSudtHamilton原理是一種積分形式的動力問題的變分方法，實際還有另夕卜與之等價

14、的微分形式的動力問題的變分原理，就是運動的Lagrange方程，其表達式如下：其中：T體系的動能；V體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢能；Pnc與弘相應(yīng)的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）。</</2.2運動方程的建立旳亠）力+仇心）扌燒-簽+釜"“2円,2,N用Hamilton原理推導Lagrange方程2.2運動方程的建立他心）|呂忻詁簽吩如用Hamilton原理推導Lagrange方程代入式得:hdufJ6u:dtf?2(-()dTdVP臨五種建立運動右程的方法的特點非保守力：Pnccii+p(f)用Lagrange方程方程建立體系的運動方程體系的動能：T=-m

15、u2位能：V=-ku222因此,蟲已厶mXmiidtdudtdudVdu代入Lagrange方程：=Pnc再一次得到體系的運動方程:mil+cu+ku=p牛頓第二定律:是基于物理學中已有知識的直接應(yīng)用，有助于理解和接受D'Alembert原理。D，Alembert原理:是一種簡單、直觀的建立運動方程的方法，得到廣泛的應(yīng)用。DAlembert原理建立了動平衡的槪念，使得在結(jié)構(gòu)靜力分析中的一些方法可以直接推廣到動力問題。當結(jié)構(gòu)具有分布質(zhì)量和彈性時，直接應(yīng)用DAlembert原理，用動力平衡的方法來建立體系的運動方程可能是困難的o虛位移原理:部分避免了矢量運算,在獲得體系虛功后,可以采用標量

16、運算建立體系的運動方程，簡化了運算。Hamilton原理：是一種建立運動方程的能量方法（積分形式的變分原理），如果不考慮非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的標量運算,但實際上直接采用Hamilton原理建立運動方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一個極為簡潔的表達式槪括了復雜的力學問題。Lagrange方程:得到更多的應(yīng)用，它和Hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個完全的標量分析方法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復力）,而慣4生力牙口彈4生恢，復力是建立運動方程日寸最為困難的處理對象。2.2基本力學原理與運動方程的建立五種建立運動方程的方法的特點方

17、法表2.1幾種建立運動方程方法的特點牛頓第二定律矢量方法，物理概念明確D'Alembert原理矢量方法，直觀，建立了動平衡槪念虛位移原理半矢量法，可處理復雜分布質(zhì)量和彈性問Hamilton原理標量方法，表達簡潔Lagrange方程標量方法，運用面廣2.2基本力學原理與運動方程的建立單自由度體系的運動方程mil+cu+ku=p單自由度系統(tǒng)運動方程反映了結(jié)構(gòu)動力學中將遇到的幾乎所有的物理量=mu-cufs=ku仃）質(zhì)量®和慣性力：fj（2）阻尼c,和阻尼力：fD（3）剛度Q和彈性恢復力：對于多自由度體系：m+c%+kM=m)分析如下圖所示體系的靜力自由度弄口動力自由度，并利用DA

18、lembert原理建立體系的運動方程。例題p(t)Rigidmasslessbar解:RigidmasslessbarX1.體系的自由度靜力自由度：確定體系幾何位置所需要的獨立參數(shù)（廣義坐標）的數(shù)目。動力自打度:動力分析中為確定體系任時刻全部質(zhì)量的幾何位置所需要的獨立參數(shù)（廣義坐標）的數(shù)目。根據(jù)結(jié)構(gòu)靜力自由度的定義，圖中所示體系的靜力自由度有2個，可選兩剛桿的桿端位移和U為廣義坐標。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力自由度的定義，體系的動力自由度僅有1個，因為當廣義坐標況（t）確定后，體系質(zhì)量的幾何位置就完全確定。可見，結(jié)構(gòu)體系的動力自由度和靜力自由的數(shù)目有時是不同的。例題解:2、建立體系的運動方程2首先對體系取隔離體進行分析OiLRigidmasslessbar-訥"(t)人(弘-弘1)6H”i(t)k(U-WjA-iniif二w(t