第7章 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分

1、第第7 7章章 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分n對于可導(dǎo)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是一個函數(shù)，稱作的導(dǎo)函數(shù)。尋找已知的函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過程稱為求導(dǎo)，反之已知導(dǎo)函數(shù)，也可以倒過來求原來的函數(shù)。n求導(dǎo)和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。微積分基本定理說明了求原函數(shù)與積分是等價的。在微積分中，積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和（例如求曲邊三角形的面積），這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。 7.1 7.1 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)n7.1.1 7.1.1 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解n使用符號求導(dǎo)函數(shù)的調(diào)用

2、格式是：n diff(fun,x,n)n其中，fun是函數(shù)符號表達(dá)式；x是符號自變量；n是求導(dǎo)的階數(shù)（n為1時可以省略）。n例例7-1 7-1 計算函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。n% 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)解析解nsyms x % 定義表達(dá)式中的符號變量nf=sqrt(cos(x)-x*sin(x); % 定義函數(shù)表達(dá)式ndisp ( 函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)：),f1=diff(f)ndisp ( 函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)：),f2=diff(f,2)nM文件運行結(jié)果：n函數(shù)的1階導(dǎo)數(shù)：nf1 =n-1/2/cos(x)(1/2)*sin(x)-sin(x)-x*cos(x)n函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)：nf2 =n-1/4/cos(x)(3

3、/2)*sin(x)2-1/2*cos(x)(1/2)-2*cos(x)+x*sin(x) 222sinsincos2 cossincos2cossin24coscosdf xxxxxdxxd f xxxxxxdxxx n7.1.2 7.1.2 二維函數(shù)和參數(shù)方程的偏導(dǎo)數(shù)二維函數(shù)和參數(shù)方程的偏導(dǎo)數(shù)n1、二維函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)n使用符號求二維函數(shù)fun(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)調(diào)用格式是：n diff(diff(fun,x),y)n diff(diff(fun,y),x)n其中，fun是函數(shù)符號表達(dá)式；x和y是符號自變量n例例7-27-2 計算二維函數(shù)的2階偏導(dǎo)數(shù)：23,x yf x yxyn% 求二維函

4、數(shù)2階偏導(dǎo)數(shù)解析解nsyms x y % 定義表達(dá)式中的符號變量nf=x2*y/(x+y)3; % 定義二維函數(shù)表達(dá)式ndisp ( 對變量x的2階偏導(dǎo)數(shù)：)nd2x=diff(f,x,2)ndisp ( 對變量y的2階偏導(dǎo)數(shù)：)nd2y=diff(f,y,2)ndisp ( 函數(shù)的2階偏導(dǎo)數(shù)：)ndxy=diff(diff(f,x),y)ndisp ( 函數(shù)的2階偏導(dǎo)數(shù)的簡化符號表達(dá)式：)nsdxy=simplify(dxy)nM文件運行結(jié)果：n對變量x的2階偏導(dǎo)數(shù)：nd2x =n2*y/(x+y)3-12*x*y/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n對變量y的2階偏導(dǎo)數(shù)：nd2y

5、=n-6*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n函數(shù)的2階偏導(dǎo)數(shù)：ndxy =n2*x/(x+y)3-6*x*y/(x+y)4-3*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5n函數(shù)的2階偏導(dǎo)數(shù)的簡化符號表達(dá)式：nsdxy =n-x*(x2-7*x*y+4*y2)/(x+y)5223452222452222345225,21212,612,2631274f x yyxyx yxxyxyxyf x yxx yyxyxyf x yxxyxx yx yxyxyxyx xxyyxy n2、參數(shù)方程的偏導(dǎo)數(shù)n設(shè)參數(shù)方程為 和 ，計算參數(shù)方程k階導(dǎo)數(shù) 的函數(shù)調(diào)用格式是：n diff(f,t

6、,k) / diff(g,t,k)n例例7-37-3 計算參數(shù)方程導(dǎo)數(shù) 解析解，并計算當(dāng) 時的數(shù)值解。n% 求參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)的解析解nsyms t % 定義參數(shù)方程中的符號變量nx=log(cos(t); % 定義參數(shù)方程1ny=cos(t)-t*sin(t); % 定義參數(shù)方程2 xg t yf t/kkd y dxln coscossinxtxttt/3tndydx1=diff(y,t)/diff(x,t);ndisp(參數(shù)方程的1階導(dǎo)數(shù)的簡化符號表達(dá)式：)nsdydx1=simplify(dydx1)ndydx2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2);ndisp(參數(shù)方程的2階導(dǎo)

7、數(shù)的簡化符號表達(dá)式：)nsdydx2=simplify(dydx2)n% 計算t=pi/3時的二階導(dǎo)數(shù)值(有效數(shù)字6位)ns2=vpa(subs(dydx2,t,pi/3),6);ndisp( t=pi/3時的二階導(dǎo)數(shù)值：),s2nM文件運行后得到的計算結(jié)果：n參數(shù)方程的1階導(dǎo)數(shù)的簡化符號表達(dá)式：nsdydx1 =n(2*sin(t)+t*cos(t)*cos(t)/sin(t)n參數(shù)方程的2階導(dǎo)數(shù)的簡化符號表達(dá)式：nsdydx2 =n-(-3*cos(t)+t*sin(t)*cos(t)2nt=pi/3時的二階導(dǎo)數(shù)值：ns2 =n.148275n因此，參數(shù)方程一階和二階導(dǎo)數(shù)的解析解是：222

8、2sincoscos2sincoscotsin3cossincosttttdxttttdttd xttttdtn7.1.3 n7.1.3 n維函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)維函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)n1、n維隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)n設(shè)n維隱函數(shù)為 ，由于變量之間偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是n則計算變量 對變量 的偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)調(diào)用格式是：n -diff(f,xj) / diff(f,xi)12,nf x xx1212,/,/niijnjf x xxxxxf x xxx ixjxn例例7-47-4 計算二維隱函數(shù)n偏導(dǎo)數(shù)的解析解。n% 求二維隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的解析解nsyms x y % 定義函數(shù)表達(dá)式中的符號變量nf=(x2-2*x)*exp(-x2

9、-y2-x*y); % 定義二維隱函數(shù)表達(dá)式ndydx=-diff(f,x)/diff(f,y); % 計算二維隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)dy/dxndisp ( 二維隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的簡化符號表達(dá)式)nsdydx=simplify(dydx)222,2xyxyf x yxx enM文件運行后得到的計算結(jié)果：n二維隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的簡化符號表達(dá)式：nsdydx =n-(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y)/x/(x-2)/(2*y+x)n因此，二維隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的解析解是：322,2224222fx yxxx yxxyx yx xyx n2、jacobion矩陣n設(shè)有n個自變量 的m個函數(shù)n相應(yīng)

10、的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成jacobion矩陣為11221212,nnmnfx xxfx xxfx xx111212122212/nnmmmnfxfxfxfxfxfxJfxfxfxn運用MATLAB符號工具箱函數(shù)可以直接求出jacobion矩陣n jacobion(f,x)n其中，f是n維函數(shù)，x是n維向量。n該函數(shù)用于計算n維函數(shù)f對n維向量x的jacobion矩陣，其第i行、第j列的值為。當(dāng)f為數(shù)量時，所得的值為f的梯度。當(dāng)v為數(shù)量時，該函數(shù)相當(dāng)于diff(f,x)。n例例7-57-5 已知三維函數(shù) 試計算它的偏導(dǎo)數(shù)。1223fxyzfxyfxzn% 計算多維函數(shù)的導(dǎo)數(shù)nsyms x y znf1=x*

11、y*z;f2=x2-y;f3=x+z;ndisp( 多維函數(shù)表達(dá)式向量：)nf=f1;f2;f3ndisp( 多維函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣：)nJ=jacobian(f,x y z)nM文件運行結(jié)果：n多維函數(shù)表達(dá)式向量：nf = x*y*zn x2-yn x+zn多維函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣：nJ =n y*z, x*z, x*yn 2*x, -1, 0n 1, 0, 1n因此，三維函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣是：111222333/210/101fxfyfzyzxzxyJfxfyfzxfxfyfz n7.1.4 7.1.4 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分n根據(jù)函數(shù)在一些離散點的函數(shù)值，推算它在某點的導(dǎo)數(shù)或某高階導(dǎo)數(shù)的近似值。通常用

12、差商代替微商，或用一能近似代替該函數(shù)的較簡單的函數(shù)（如多項式、樣條函數(shù)）的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)作為所求導(dǎo)數(shù)的近似值。針對實驗數(shù)據(jù)X（向量或多維數(shù)組）數(shù)值微分，由于函數(shù)表達(dá)式是未知的，需要采用數(shù)值解法（中心差分方法的微分算法）。n例例7-67-6 已知一組實驗數(shù)據(jù)如表7-1所示，試計算它的4階微分。表7-1 實驗數(shù)據(jù)xyx0.00000.20000.40000.60000.80001.0000y0.39270.56720.69820.79410.86140.9053n% 用中心差分方法的數(shù)值微分算法nfunction dy,dx=diff_ctr(y,dt,n)nyx1=y 0 0 0 0 0;yx2=0

13、y 0 0 0 0;yx3=0 0 y 0 0 0;nyx4=0 0 0 y 0 0;yx5=0 0 0 0 y 0;yx6=0 0 0 0 0 y;nswitch nn case 1n dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)n+7*diff(yx3)-diff(yx4)/(12*dt);l0=3;n case 2n dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)-15*diff(yx3)+diff(yx4)/(12*dt2);l0=3;n case 3n dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+7*diff(

14、yx5)-diff(yx6)/(8*dt3);l0=5; n case 4n dy=(-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28*diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*dt3);l0=5; nEndndy=dy(l0+1:end-l0);ndx=(1:length(dy)+l0-2-(n2)*dt;n% 用中心差分方法的數(shù)值微分算法調(diào)用M文件nsx=0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000;nsy=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053;n

15、y=sy,sx;ndt=0.2;nn=4;ndy,dx=diff_ctr(y,dt,n)nM文件運行結(jié)果：ndy = 19.2187 -217.2292 581.9417 -611.7500 250.0458 -23.0271ndx = 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000n7.1.5 7.1.5 函數(shù)的梯度和梯度的模函數(shù)的梯度和梯度的模n在向量微積分中，標(biāo)量場的梯度是一個向量場，標(biāo)量場中某一點上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向。梯度是一個向量，當(dāng)某一函數(shù)在某點處沿著該方向的方向?qū)?shù)取得該點出的最大值，即函數(shù)在該點處沿方向變化最快，變化率最大，稱為為

16、該梯度的模。nn維函數(shù) ，在點 的梯度，是函數(shù)各維一階偏導(dǎo)數(shù)組成的向量),()(21nxxxfXf()KX12,TKKKKnfXfXfXfXxxxn梯度的模是函數(shù)各維一階偏導(dǎo)數(shù)平方和的開方n1、計算梯度的符號函數(shù) jacobian(fun,X)n其中，fun是符號函數(shù)表達(dá)式，X是定義求導(dǎo)變量組成的向量（可以省略）。n2、計算矩陣或向量范數(shù)的符號函數(shù)n norm(fun,X)n其中，fun是符號型函數(shù)表達(dá)式，X是定義求導(dǎo)變量組成的符號型向量。22212KKKKnfXfXfXfXxxxn例例7-77-7 計算函數(shù)在 梯度和梯度模:n% 計算多維函數(shù)的梯度和梯度的模nsyms x1 x2 x3 %

17、定義符號變量nf=2*x12+5*x22+x32+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3ndisp( 三維函數(shù)的梯度：)ngf=jacobian(f)nxk=1,-1,2;ndisp( 函數(shù)在xk點的梯度值：)ngfk=subs(subs(subs(gf,xk(1),xk(2),xk(3)ndisp( 函數(shù)在xk點的梯度的模：)ngmk=norm(gfk)222123231 32252263fXxxxx xx xx1, 1,2TKXnM文件運行結(jié)果：n三維函數(shù)的梯度：ngf =n 4*x1+2*x3, 10*x2+2*x3-6, 2*x3+2*x2+2*x1n函數(shù)在xk點的梯度值：ngf

18、k = 8 -12 4n函數(shù)在xk點的梯度的模：ngmk = 14.9666n因此，三維函數(shù)的梯度，以及在的梯度和梯度的模是：1132233123123222123/42/1026/222/8/124/14.9666KKKKKKKKfXxxxfXfXxxxfXxxxxfXxfXfXxfXxfXfXxfXxfXx 7.2 7.2 函數(shù)的積分函數(shù)的積分n設(shè) 是函數(shù) 的一個原函數(shù)，則將函數(shù) 的所有原函數(shù) （ C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)的不定積分，記作 。n定積分 就是求函數(shù) 在區(qū)間a,b 中函數(shù)圖線下包圍的面積。 F x f x f x F xC fx dxF xC baSf x dx f xn7.2.

19、1 7.2.1 不定積分的解析解不定積分的解析解n計算不定積分解析解的函數(shù)調(diào)用格式是：n F=int(fun,x)n其中，fun是被積函數(shù)；x是自變量，如果只有一個變量，x可以省略。n應(yīng)當(dāng)指出，計算結(jié)果F(x)只是積分原函數(shù)，實際的不定積分應(yīng)該是F(x)+C構(gòu)成的曲線族，C是任意常數(shù)。n例例7-87-8 計算不定積分n% 計算不定積分nsyms x a b; % 定義表達(dá)式中的符號變量ny=sin(a*x)*cos(b*x); % 定義被積函數(shù)bxdxaxcossinndisp( 被積函數(shù)的不定積分：)nF=int(y,x)nM文件運行結(jié)果：n被積函數(shù)的不定積分：nF =n-1/2/(a+b)

20、*cos(a+b)*x)-1/2/(a-b)*cos(a-b)*x)n因此，不定積分 coscossincos22ab xab xaxbxdxabab n7.2.2 7.2.2 定積分定積分n計算定積分的函數(shù)調(diào)用格式是：n I=int(fun,x,a,b)n其中，fun是被積函數(shù)；x是自變量；(a,b)是定積分的積分區(qū)間，計算無窮積分時，需要將積分區(qū)間設(shè)置為(-inf,inf)。n例例7-97-9 計算定積分 和 的解析解和數(shù)值解。n% 計算定積分nsyms x; % 定義表達(dá)式中的符號變量ny1=x*exp(x)/(1+x)2; % 定義被積函數(shù)1dxxxex10210cosdxxxna1=

21、0;b1=1; % 定義積分區(qū)間1ndisp( 被積函數(shù)1定積分的解析解：)nF1=int(y1,x,a1,b1) % 計算y1的定積分ndisp( 被積函數(shù)1定積分的數(shù)值解：)nF1v=double(F1)ny2=cos(x)/sqrt(x); % 定義被積函數(shù)2na2=0;b2=inf; % 定義積分區(qū)間2ndisp( 被積函數(shù)2定積分的解析解：)nF2=int(y2,x,a2,b2)ndisp( 被積函數(shù)2定積分的數(shù)值解：)nF2v=double(F2)nM文件運行結(jié)果： n 被積函數(shù)1定積分的解析解：nF1 = 1/2*exp(1)-1n 被積函數(shù)1定積分的數(shù)值解：nF1v = .35

22、91n 被積函數(shù)2定積分的解析解：nF2 = 1/2*2(1/2)*pi(1/2)n 被積函數(shù)2定積分的數(shù)值解：nF2v = 1.2533n因此，兩個定積分的解析解和數(shù)值解是： 12010.359121xxeedxx 0cos21.25332xdxxn7.2.3 7.2.3 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分n求某函數(shù)的定積分時，在多數(shù)情況下，被積函數(shù)的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達(dá)出來；另外，許多實際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)。對這類函數(shù)只能使用數(shù)值積分計算函數(shù)的近似值。n1、梯形法求解數(shù)值積分n梯形法求解數(shù)值積分的：將積分區(qū)間分割成許多足夠小的分區(qū)間，取各個矩形的面積分別代替積分函數(shù)的曲

23、線在各小段區(qū)間上圍出來的曲邊梯形的面積，再將所有這樣的矩形面積加起來的總和，近似地等于函數(shù)在這個區(qū)間上的定積分。n梯形法求解數(shù)值積分的函數(shù)調(diào)用格式是：n s=trapz(x,y)n其中，x是向量；y的行數(shù)應(yīng)該等于x向量的元素數(shù) n例例7-10 7-10 用梯形法計算表7-2數(shù)據(jù)的定積分。n% 梯形法計算定積分nx=0:0.1:1.2;ny=0 2.2077 3.2058 3.4435 3.241 2.8164 2.311 1.8101 1.3602 0.9817 0.6791 0.4473 0.2768;ns=trapz(x,y)nM文件運行結(jié)果：ns =n 2.2642n2、變步長辛普生法求

24、解數(shù)值積分n變步長辛普生法求解數(shù)值積分的基本思想是：在梯形法的基礎(chǔ)上，將積分區(qū)間逐次分半，計算出每個子區(qū)間的定積分近似值，并且求和。n變步長辛普生法求解數(shù)值積分的函數(shù)調(diào)用格式是n s ,n =quadl(fun,a,b,t0l)n其中，s是返回的定積分值；n n是返回被積函數(shù)調(diào)用次數(shù)；n fun是被積函數(shù)；n a和b分別是定積分的下限和上限;n tol是控制積分精度（默認(rèn) ）。n該函數(shù)適用于求解給定函數(shù)的數(shù)值積分。610en例例7-11 7-11 用變步長辛普生法計算定積分：n% 變步長辛普生法計算定積分nf=inline(exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6),x); % 定義被

25、積函數(shù)和自變量na=0;b=3*pi; % 定義積分區(qū)間nformat long; % 數(shù)值按長格式顯示ns,n=quadl(f,a,b,1e-15) % 計算y的定積分nM文件運行結(jié)果：ns = 0.90084078781889nn = 82830.50sin6xexdxn% 繪制積分圖形nfplot(exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6),a,b); % 符號函數(shù)繪圖nhold on;nx=a:pi/100:b;ny=exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6);nfill(a,x,b,0,y,0,y); % 填充積分區(qū)域nxlabel(bfit x);ylabel(bfit y);ntitle(bf 變步長辛普生法計算定積分);ngtext(y=e-0.5xsin(x+pi/6);n輸出圖形（如圖7-2所示） n7.2.4 7.2.4 函數(shù)的重積分函數(shù)的重積分n1 1、二維函數(shù)的數(shù)值積分、二維函數(shù)的數(shù)值積分（雙重積分）n對于二維函數(shù)的雙重定積分問題n可以直接使用函數(shù)進(jìn)行求解矩形區(qū)域的數(shù)值積分，其調(diào)用格式是：n y=dblquad(fun,xm,xM,ym,yM,tol)n其中，輸入?yún)?shù)fun是二維被積函數(shù)，可以用函數(shù)文件或函數(shù)inlin