高等數(shù)學(xué) 上、下冊(cè)3_1 中值定理ppt課件

1、第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)運(yùn)用中值定理與導(dǎo)數(shù)運(yùn)用 第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理 第二節(jié)第二節(jié) 洛必達(dá)法那么洛必達(dá)法那么 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值 第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值 第五節(jié)第五節(jié) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫* *第七節(jié)第七節(jié) 曲率曲率* *第八節(jié)第八節(jié) 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的運(yùn)用 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)描寫了函數(shù)相對(duì)于自變量的變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)描寫了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢，幾何上就是用曲線的切線的斜率反映化快慢，幾何上就是用曲線的切線的斜率反映曲線上點(diǎn)的變化情況，本章將利

2、用函數(shù)的一二曲線上點(diǎn)的變化情況，本章將利用函數(shù)的一二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研討函數(shù)及曲線的性態(tài)，并引見階導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研討函數(shù)及曲線的性態(tài)，并引見導(dǎo)數(shù)在一些實(shí)踐問題中的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)在一些實(shí)踐問題中的運(yùn)用. 微分中值定理給出了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)微分中值定理給出了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)絡(luò)，是導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的實(shí)際根底，微分中值定理包絡(luò)，是導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的實(shí)際根底，微分中值定理包括羅爾定理，拉格朗日中值定理與柯西中值定括羅爾定理，拉格朗日中值定理與柯西中值定理，它們?cè)谖⒎謱W(xué)實(shí)際中占有重要位置理，它們?cè)谖⒎謱W(xué)實(shí)際中占有重要位置. 羅爾定理羅爾定理 如果函數(shù)如果函數(shù)( )f x滿足如下三個(gè)條件：滿足如下三個(gè)條件： （1）在閉區(qū)間）在閉

3、區(qū)間, a b上連續(xù)；上連續(xù)； （2）在開區(qū)間）在開區(qū)間( , )a b內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)； （ 3 ） 在 區(qū) 間） 在 區(qū) 間, a b的 端 點(diǎn) 處 函 數(shù) 值 相 等 ， 即的 端 點(diǎn) 處 函 數(shù) 值 相 等 ， 即 f af b， 則在則在( , )a b內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)()ab，使得，使得 ( )0f. 第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理 一、羅爾一、羅爾RolleRolle定理定理 OyxCBA圖圖3-1ab 首先考察定理的幾何意義，首先考察定理的幾何意義， 函數(shù)函數(shù)( )()yf x axb在幾何上在幾何上 的表示一段曲線弧的表示一段曲線弧AB，函數(shù)，函數(shù)( )f x 滿足

4、羅爾定理三條件表示曲線弧滿足羅爾定理三條件表示曲線弧 AB 是連續(xù)的，除端點(diǎn)處處處有不是連續(xù)的，除端點(diǎn)處處處有不 垂直與垂直與 x 軸的切線且弦軸的切線且弦 AB 是水是水 平的（圖平的（圖 3-1）. 定理的結(jié)論表示，定理的結(jié)論表示， 在弧在弧AB上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)( , ( )Cx ，在該點(diǎn)處曲線的切線，在該點(diǎn)處曲線的切線也是水平的，即切線平行于弦也是水平的，即切線平行于弦. 從圖從圖 3-1 中容易看出曲線上最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處， 曲線中容易看出曲線上最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處， 曲線的切線是水平的，即函數(shù)的切線是水平的，即函數(shù)( )f x取最大值或最小值的點(diǎn)處，取最大值或最小值的點(diǎn)處，函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)為零函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零. . 從以上幾何直觀和物理意義容易看出羅爾定理客觀從以上幾何直觀和物理意義容易看出羅爾定理客觀存在的正確性存在的正確性. . 這些現(xiàn)實(shí)也給我們提示了該定理的證明這些現(xiàn)實(shí)也給我們提示了該定理的證明思緒思緒. .依本課程的要求定理證明從略依本課程的要求定理證明從略. .定理的條件雖然是定理的條件雖然是充分的，但也要留意定理中的三個(gè)條件，假設(shè)短少其中一充分的，但也要留意定理中的三個(gè)條件，假設(shè)短少其中一個(gè)，定理有能夠不成立，下面三例可以闡明個(gè)，定理有能夠不成立，下面三例可以闡明. . 再察看定理的物理意義再察看定理的物理意義. 例如，有輛小汽車在作變例如，有輛小汽車在作變速直

6、線運(yùn)動(dòng)，由靜止形狀從甲地開往乙地停下速直線運(yùn)動(dòng)，由靜止形狀從甲地開往乙地停下. 鑒于路鑒于路況緣由，小汽車經(jīng)常由加速運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為減速運(yùn)動(dòng)，有時(shí)況緣由，小汽車經(jīng)常由加速運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為減速運(yùn)動(dòng)，有時(shí)又由減速運(yùn)動(dòng)變?yōu)榧铀龠\(yùn)動(dòng)，直到終點(diǎn)停頓又由減速運(yùn)動(dòng)變?yōu)榧铀龠\(yùn)動(dòng)，直到終點(diǎn)停頓. 不難了解，不難了解，小汽車在整個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，至少有那么一個(gè)時(shí)辰的加速小汽車在整個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，至少有那么一個(gè)時(shí)辰的加速度為零度為零. 即，物體作即，物體作 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是變速直線運(yùn)動(dòng)的速度是v = v(t)時(shí)，由靜時(shí)，由靜止開場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到停頓運(yùn)動(dòng)，在止開場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到停頓運(yùn)動(dòng)，在T0, T1的時(shí)間間隔內(nèi)，至的時(shí)間間隔內(nèi)，至少有一個(gè)時(shí)辰少

7、有一個(gè)時(shí)辰 , 使使 .t( )v 01.函數(shù)函數(shù) , 11( )1,1xxf xx 顯然顯然( )f x在在( 1,1)內(nèi)處處可導(dǎo)，內(nèi)處處可導(dǎo)，( 1)(1)ff，但，但( )f x在在1x 不連續(xù)，不滿足條件（不連續(xù)，不滿足條件（1） ，可以看處不存在） ，可以看處不存在( 1,1) ，任，任( )0f. 2. 函 數(shù)函 數(shù)( )( 11)f xxx ， 在， 在1,1上 連 續(xù) ，上 連 續(xù) ，( 1)(1)ff，但，但( )f x在在0 x 處不可導(dǎo)，不滿足條件（處不可導(dǎo)，不滿足條件（2） ，） ，顯然不存在顯然不存在( 1,1) ，使，使( )0f. 3.函數(shù)函數(shù)( )( 11)f

8、xxx 在在1,1上連續(xù)， 在上連續(xù)， 在1,1內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)，但可導(dǎo)，但( 1)(1)ff，不滿足條件（，不滿足條件（1） ，可知不存在） ，可知不存在( 1,1) ，使，使( )0f. 定理的條件是充分的，即在特殊情況雖所給函數(shù)羅定理的條件是充分的，即在特殊情況雖所給函數(shù)羅爾定理中三條件都不滿足也可能在爾定理中三條件都不滿足也可能在( , )a b內(nèi)存在這樣一內(nèi)存在這樣一點(diǎn)點(diǎn) ，使，使( )0f. 例如函數(shù)例如函數(shù) 2(1)1,03( )1, 20 xxf xxx 在閉區(qū)間在閉區(qū)間2,3上不連續(xù)（上不連續(xù)（0 x 是間斷點(diǎn)） ，在開區(qū)間是間斷點(diǎn)） ，在開區(qū)間( 2,3)內(nèi)不可導(dǎo)（內(nèi)不可導(dǎo)（0 x

9、 不連續(xù)且不可導(dǎo)） ，不連續(xù)且不可導(dǎo)） ，(3)3f，( 2)1f 即端點(diǎn)處函數(shù)不相等，顯然當(dāng)即端點(diǎn)處函數(shù)不相等，顯然當(dāng)1x 時(shí)，時(shí)，( )0fx即不存在即不存在1( 2,3) 使使( )0f. 雖然羅爾定理中的條件是充分的，但要利有羅爾定雖然羅爾定理中的條件是充分的，但要利有羅爾定理討論相關(guān)問題時(shí)，三條件缺一不可，請(qǐng)理討論相關(guān)問題時(shí)，三條件缺一不可，請(qǐng)看以下例子：看以下例子： 例例 1 驗(yàn)證驗(yàn)證2( )5f xxx在區(qū)間在區(qū)間0,5上滿足羅爾定上滿足羅爾定理的條件，并求理的條件，并求 . 解解2( )5f xxx在在0,5上 連 續(xù) ， 在上 連 續(xù) ， 在(0,5)內(nèi) 有內(nèi) 有2(205

10、)( )252 52 5xxxfxxxxx 即即( )f x在在(0,5)內(nèi)可導(dǎo)，顯然內(nèi)可導(dǎo)，顯然(0)(5)0ff，故，故( )f x在在0,5滿足羅爾定理的條件，滿足羅爾定理的條件， (205 )( )02 5xxfxx 得得0,4xx，又，又0 x 為區(qū)間端點(diǎn)，故為區(qū)間端點(diǎn)，故4. 二、拉格朗日二、拉格朗日LagrangeLagrange中值定理中值定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù)( )f x滿足如下二條滿足如下二條件：件： （1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間, a b上連續(xù)；上連續(xù)； （2）在開區(qū)間）在開區(qū)間( , )a b內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 則在則在( , )a b內(nèi)至少

11、存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ()ab，使得，使得 ( )()f bf afba 拉格朗日中值定理的證明可看出主教材拉格朗日中值定理的證明可看出主教材.在此僅作在此僅作一點(diǎn)說明一點(diǎn)說明. 先看一下定理的幾何意義，如把先看一下定理的幾何意義，如把 （1）式改寫成）式改寫成 ( )( )( )f bf afba 由圖由圖 3-2 看出，看出，( )( )f bf aba為弦為弦AB 的斜率，而的斜率，而( )f為曲線在點(diǎn)為曲線在點(diǎn) C 處的曲處的曲 線斜率，因此拉格朗日中值定理的幾何線斜率，因此拉格朗日中值定理的幾何 意義是：意義是： 如果連續(xù)曲線如果連續(xù)曲線( )yf x的弧的弧AB上除了端點(diǎn)外上除了

12、端點(diǎn)外處處具處處具有不垂直與有不垂直與 x 軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn) C，使，使得曲線在得曲線在 C 點(diǎn)處的切線平行于弦點(diǎn)處的切線平行于弦 AB. 當(dāng)當(dāng)( )( )f af b時(shí)， 弦時(shí)， 弦 AB 是水平弦， 就是羅爾定理所是水平弦， 就是羅爾定理所描述的情況描述的情況. . xyOBCAab 圖圖3-2由上述分析知，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推由上述分析知，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣， 羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形， 因此可以廣， 羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形， 因此可以考慮利用羅爾定理證明拉格朗日中值定理考慮利用羅爾定理證明拉格

13、朗日中值定理. . 函數(shù)函數(shù)( )f x不滿足不滿足( )( )f af b，但，但( )f a，( )f b分別是分別是弦弦 AB 的點(diǎn)的點(diǎn) A 和和 B 的縱坐標(biāo)值，直線的縱坐標(biāo)值，直線 AB 的方的方程為程為 ( )( )( )( )()f bf ayg xf axaba 若作輔助函數(shù)若作輔助函數(shù) ( )( )( )xf xg x = =( )( )( )( )()f bf af xf axaba 則有則有( )( )0ab，且，且( )x在在, a b上連續(xù)，在上連續(xù)，在, a b內(nèi)可內(nèi)可導(dǎo)， 滿足羅爾定理的三個(gè)導(dǎo)， 滿足羅爾定理的三個(gè)條件， 即可利用條件， 即可利用( )x證明拉格朗

14、證明拉格朗日中值定理日中值定理. . 證明詳見主教材證明詳見主教材. . 利用輔助函數(shù)利用輔助函數(shù) 及羅爾定理可以證明拉格朗日中值定及羅爾定理可以證明拉格朗日中值定理理.( ) x. 類似羅爾定理的物理意義，可以思索拉格朗日中值類似羅爾定理的物理意義，可以思索拉格朗日中值定理的物理背景定理的物理背景. 假設(shè)一輛汽車從甲地開往乙作變速直假設(shè)一輛汽車從甲地開往乙作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律(即位置函數(shù)即位置函數(shù)) s = s (t), 當(dāng)這輛汽車當(dāng)這輛汽車從時(shí)辰從時(shí)辰T0運(yùn)動(dòng)到時(shí)辰運(yùn)動(dòng)到時(shí)辰T1時(shí)，平均速度為時(shí)，平均速度為1010( )(),s Ts TvTT顯然在整個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中至

15、少有一個(gè)時(shí)辰顯然在整個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中至少有一個(gè)時(shí)辰 的瞬時(shí)的瞬時(shí)速度速度 等于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的平均速度等于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的平均速度 即即t( )v,v100110( )()( ),(,).s Ts TsT TTT解解 由題設(shè)知，拉格朗日中值定理由題設(shè)知，拉格朗日中值定理中，中，2,0ba， (2)8,(0)0,( )22fffxx 故由拉格朗日中值定理得故由拉格朗日中值定理得 80(22)2 則則 10,2 例例 2 函數(shù)函數(shù)( )f x= =22xx在區(qū)間在區(qū)間0,2上滿足拉格朗日上滿足拉格朗日中值定理的條件，求中值定理的條件，求 . . 例例 3 證明：證明： 當(dāng)當(dāng)0 x 時(shí)， ln(1)1xxx

16、x 證證 函數(shù)函數(shù)( )ln(1)0f ttx在區(qū)間 ，上滿足拉格朗日拉格朗日中值定理的條件，中值定理的條件，1( ),0,1f txt故存在使 1ln(1)ln1(0)1xx 即即 ln(1),01xxx 因?yàn)橐驗(yàn)? x，所以，所以 11xxxx 即即得不等式得不等式 ln(1)1xxxx 注意注意 拉格朗日中值定理當(dāng)拉格朗日中值定理當(dāng)ba時(shí)仍成立，即公式時(shí)仍成立，即公式（1 1）當(dāng)）當(dāng)ba時(shí)仍成立時(shí)仍成立. . 若取若取,(00)xa bxxa bxx 或，在區(qū)間，在區(qū)間,x xxxx x或上，公式（上，公式（1 1）可寫成）可寫成 ()( )( ),f xxf xfxx xx在之間 （2

17、 2） 眾所周知， 常量的導(dǎo)數(shù)恒為零， 反之， 若一個(gè)函數(shù)眾所周知， 常量的導(dǎo)數(shù)恒為零， 反之， 若一個(gè)函數(shù)( )f x在某一個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，在該區(qū)在某一個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，在該區(qū)間上間上( )f x是否恒為是否恒為常量，作為拉格朗日中值定理的一個(gè)應(yīng)用容易證明結(jié)論是常量，作為拉格朗日中值定理的一個(gè)應(yīng)用容易證明結(jié)論是成立的成立的. . 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)( )f x在區(qū)間在區(qū)間I I內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒等于零，則在內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒等于零，則在區(qū)間區(qū)間I I內(nèi)，內(nèi)，( )f x恒為常量恒為常量. . 證證 任取任取12,x xI，由（，由（1 1）式知）式知 212112()()( )(),f xf

18、xfxxxx在 ， 之間 由假設(shè)條件知由假設(shè)條件知( )0f，故，故21()()f xf x. .因?yàn)橐驗(yàn)?2,x x是是區(qū)間區(qū)間 I 內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn). .這就是說，這就是說，( )f x在在 I 內(nèi)任意點(diǎn)處的函數(shù)內(nèi)任意點(diǎn)處的函數(shù)值總是相等的，即值總是相等的，即( )f x在在 I 內(nèi)內(nèi)恒為常量恒為常量. . 推論推論 若兩個(gè)函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)( )f x與與( )g x的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間 I 內(nèi)相內(nèi)相等，即等，即( )( )()fxg x xI，則在，則在 I 內(nèi)內(nèi)( )f x與與( )g x之差恒為之差恒為常數(shù)，即常數(shù)，即( )( )()f xg xC xI 證證 令令( )( )( ),( )( )( )xf xg xxfxg x則=0=0 由由以上定理知以上定理知( )xC，即，即( )( )f xg xC. . 證證 令令( )f x= =arctanarccotxx，( 11)x 2211( )011fxxx 所以所以 ( )f xC 即即 arctanarccotxxC arctan0arccot02C 則則 arctanarccot( 11)2xxx . . 例例 4 證明恒等式證明恒等式a