學(xué)案5函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、學(xué)案5函數(shù)的單調(diào)性與最值導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會用單調(diào)性求函數(shù)的最值自主梳理1單調(diào)性(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是_(2)單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)x1，x2a，b，那么(x1x2)(f(x1)f(x2)>0>0f(x)在a，b上是_；(x1x2)(f(x1)f(x2)<0<0f(x)在a，b

2、上是_(3)單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的_(4)函數(shù)yx(a>0)在 (，)，(，)上是單調(diào)_；在(，0)，(0，)上是單調(diào)_；函數(shù)yx(a<0)在_上單調(diào)遞增2最值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M(f(x)M)；存在x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的_自我檢測1(2011·杭州模擬)若函數(shù)yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，則yax2bx在(0，)上是()A增函數(shù)B減函數(shù)C先增后減D先減后增2設(shè)

3、f(x)是(，)上的增函數(shù)，a為實數(shù)，則有()Af(a)<f(2a)Bf(a2)<f(a)Cf(a2a)<f(a)Df(a21)>f(a)3下列函數(shù)在(0,1)上是增函數(shù)的是()Ay12xByCyx22xDy54(2011·合肥月考)設(shè)(a，b)，(c，d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1<x2，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是()Af(x1)<f(x2)Bf(x1)>f(x2)Cf(x1)f(x2)D不能確定5當(dāng)x0,5時，函數(shù)f(x)3x24xc的值域為()Ac,55cBc，cCc,55cDc,20

4、c探究點一函數(shù)單調(diào)性的判定及證明例1設(shè)函數(shù)f(x)(a>b>0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性變式遷移1已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對xR有f(x)>0，且f(5)1，設(shè)F(x)f(x)，討論F(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論探究點二函數(shù)的單調(diào)性與最值例2(2011·煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)，x1，)(1)當(dāng)a時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意x1，)，f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍變式遷移2已知函數(shù)f(x)x在(1，)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍探究點三抽象函數(shù)的單調(diào)性例3(2011·廈門模擬

5、)已知函數(shù)f(x)對于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x>0時，f(x)<0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值變式遷移3已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足f()f(x1)f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.分類討論及數(shù)形結(jié)合思想例(12分)求f(x)x22ax1在區(qū)間0,2上的最大值和最小值【答題模板】解f(x)(xa)21a2，對稱軸為xa.(1) 當(dāng)a<0時，由圖可知，f(x

6、)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.3分(2)當(dāng)0a<1時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.6分(3)當(dāng)1<a2時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.9分(4)當(dāng)a>2時，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.綜上，(1)當(dāng)a<0時，f(x)min1，f(x)max34a；(2)當(dāng)0a<1時，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)當(dāng)1<a2時，f(x)min1a2，f(x)max1；(4)當(dāng)a>2時，f(x)min34a，f(x)

7、max1.12分【突破思維障礙】(1)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由圖象的對稱軸確定的故只需確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系由于對稱軸是xa，而a的取值不定，從而導(dǎo)致了分類討論(2)不是應(yīng)該分a<0,0a2，a>2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間0,2所對應(yīng)的區(qū)域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)1函數(shù)的單調(diào)性的判定與單調(diào)區(qū)間的確定常用方法有：(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)單調(diào)性的運算性質(zhì)2若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：(1)f(x)與f(x)C具有相同的單調(diào)性(2)f(

8、x)與af(x)，當(dāng)a>0時，具有相同的單調(diào)性，當(dāng)a<0時，具有相反的單調(diào)性(3)當(dāng)f(x)恒不等于零時，f(x)與具有相反的單調(diào)性(4)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，則f(x)g(x)是增(減)函數(shù)(5)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，則f(x)·g(x)當(dāng)兩者都恒大于零時，是增(減)函數(shù)；當(dāng)兩者都恒小于零時，是減(增)函數(shù)(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011·泉州模擬)“a1”是“函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1，)上為增函數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2(2009

9、83;天津)已知函數(shù)f(x)若f(2a2)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)3(2009·寧夏，海南)用mina，b，c表示a，b，c三個數(shù)中的最小值設(shè)f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為()A4B5C6D74(2011·丹東月考)若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,15(2011·葫蘆島模擬)已知定義在R上的增函數(shù)f(x)，滿足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且

10、x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，則f(x1)f(x2)f(x3)的值()A一定大于0B一定小于0C等于0D正負(fù)都有可能題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6函數(shù)y(x3)|x|的遞增區(qū)間是_7設(shè)f(x)是增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是_(填序號)yf(x)2是增函數(shù)；y是減函數(shù)；yf(x)是減函數(shù)；y|f(x)|是增函數(shù)8設(shè)0<x<1，則函數(shù)y的最小值是_三、解答題(共38分)9(12分)(2011·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)a.(1)求證：函數(shù)yf(x)在(0，)上是增函數(shù)；(2)若f(x)<2x在(1，)上恒成立，求實

11、數(shù)a的取值范圍10(12分)已知f(x)x2ax3a，若x2,2時，f(x)0恒成立，求a的取值范圍11(14分)(2011·鞍山模擬)已知f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，且f(1)1，若a，b1,1，ab0時，有>0成立(1)判斷f(x)在1,1上的單調(diào)性，并證明它；(2)解不等式：f(x)<f()；(3)若f(x)m22am1對所有的a1,1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍答案自主梳理1(1)增函數(shù)(減函數(shù))(2)增函數(shù)減函數(shù)(3)單調(diào)區(qū)間(4)遞增遞減(，0)，(0，)2.最大(小)值自我檢測1B由已知得a<0，b<0.所以二次函數(shù)對稱軸為直線x<0，

12、且圖象開口向下2Da21>a，f(x)在R上單調(diào)遞增，f(a21)>f(a)3C常數(shù)函數(shù)不具有單調(diào)性4D在本題中，x1，x2不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故無法比較f(x1)與f(x2)的大小5Cf(x)3(x)2c，x0,5，當(dāng)x時，f(x)minc；當(dāng)x5時，f(x)max55c.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引對于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義(基本步驟為：取點，作差或作商，變形，判斷)來求解可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)求解有些函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩個或多個基本初等函數(shù)，利用其單調(diào)性可以方便求解解在定義域內(nèi)任取x1，x2，且使x1<x2，則xx2x1>0，

13、yf(x2)f(x1).a>b>0，ba<0，(ba)(x2x1)<0，又x(，b)(b，)，只有當(dāng)x1<x2<b，或b<x1<x2時，函數(shù)才單調(diào)當(dāng)x1<x2<b，或b<x1<x2時，f(x2)f(x1)<0，即y<0.yf(x)在(，b)上是單調(diào)減函數(shù)，在(b，)上也是單調(diào)減函數(shù)變式遷移1解在R上任取x1、x2，設(shè)x1<x2，f(x2)>f(x1)，F(xiàn)(x2)F(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)1，f(x)是R上的增函數(shù)，且f(5)1，當(dāng)x<5時，0<f(x)<1，

14、而當(dāng)x>5時f(x)>1；若x1<x2<5，則0<f(x1)<f(x2)<1，0<f(x1)f(x2)<1，1<0，F(xiàn)(x2)<F(x1)；若x2>x1>5，則f(x2)>f(x1)>1，f(x1)·f(x2)>1，1>0，F(xiàn)(x2)>F(x1)綜上，F(xiàn)(x)在(，5)為減函數(shù)，在(5，)為增函數(shù)例2解(1)當(dāng)a時，f(x)x2，設(shè)x1，x21，)且x1<x2，f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(1)x1<x2，x1x2<0，又1<x1<x2

15、，1>0，f(x1)f(x2)<0，f(x1)<f(x2)f(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，)上的最小值為f(1).(2)方法一在區(qū)間1，)上，f(x)>0恒成立，等價于x22xa>0恒成立設(shè)yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)2a1遞增，當(dāng)x1時，ymin3a，于是當(dāng)且僅當(dāng)ymin3a>0時，函數(shù)f(x)恒成立，故a>3.方法二f(x)x2，x1，)，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正，滿足題意，當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)遞增；當(dāng)x1時，f(x)min3a，于是當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min3a>0時，函數(shù)f(x)>0恒

16、成立，故a>3.方法三在區(qū)間1，)上f(x)>0恒成立等價于x22xa>0恒成立即a>x22x恒成立又x1，)，a>x22x恒成立，a應(yīng)大于函數(shù)ux22x，x1，)的最大值a>x22x(x1)21.當(dāng)x1時，u取得最大值3，a>3.變式遷移2解設(shè)1<x1<x2.函數(shù)f(x)在(1，)上是增函數(shù)，f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)(1)<0.又x1x2<0，1>0，即a>x1x2恒成立1<x1<x2，x1x2>1，x1x2<1.a1，a的取值范圍是1，)例3解題導(dǎo)引(1)對于抽象函數(shù)的

17、問題要根據(jù)題設(shè)及所求的結(jié)論來適當(dāng)取特殊值說明抽象函數(shù)的特點證明f(x)為單調(diào)減函數(shù)，首選方法是用單調(diào)性的定義來證(2)用函數(shù)的單調(diào)性求最值(1)證明設(shè)x1>x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x>0時，f(x)<0.而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在R上為減函數(shù)(2)解f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)又f(3)f(21)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)f(3)3f(

18、1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2.變式遷移3解(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1>x2，則>1，由于當(dāng)x>1時，f(x)<0，f()<0，即f(x1)f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)(3)由f()f(x1)f(x2)得f()f(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x>0時，由f(|x|)<2，得f(x)<f(9)，

19、x>9；當(dāng)x<0時，由f(|x|)<2，得f(x)<f(9)，x>9，故x<9，不等式的解集為x|x>9或x<9課后練習(xí)區(qū)1Af(x)對稱軸xa，當(dāng)a1時f(x)在1，)上單調(diào)遞增“a1”為f(x)在1，)上遞增的充分不必要條件2C由題知f(x)在R上是增函數(shù)，由題得2a2>a，解得2<a<1.3C由題意知函數(shù)f(x)是三個函數(shù)y12x，y2x2，y310x中的較小者，作出三個函數(shù)在同一坐標(biāo)系之下的圖象(如圖中實線部分為f(x)的圖象)可知A(4,6)為函數(shù)f(x)圖象的最高點4Df(x)在a，)上是減函數(shù)，對于g(x)，只有當(dāng)

20、a>0時，它有兩個減區(qū)間為(，1)和(1，)，故只需區(qū)間1,2是f(x)和g(x)的減區(qū)間的子集即可，則a的取值范圍是0<a1.5Af(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，x1>x2，x2>x3，x3>x1.又f(x1)>f(x2)f(x2)，f(x2)>f(x3)f(x3)，f(x3)>f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)>f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)>0.60，解析y.畫圖象如圖所示：可知遞增區(qū)間為0，7解析舉例：設(shè)f(x)x，易知均不正確84解析y，當(dāng)0<x<1時，x(1x)(x)2.y4.9(1)證明當(dāng)x(0，)時，f(x)a，設(shè)0<x1<x2，則x1x2>0，x2x1>0.f(x1)f(x2)(a)(a)<0.(5分)f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0，)上是增函數(shù)(6分)(2)解由題意a&l