第六章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第六章靜定結(jié)構(gòu)第六章靜定結(jié)構(gòu)(jigu)的位移計(jì)算的位移計(jì)算第一頁(yè)，共57頁(yè)。AAAPAxAyt 第1頁(yè)/共57頁(yè)第二頁(yè)，共57頁(yè)。鐵路(til)工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: 二、 計(jì)算(j sun)位移的目的(1) 剛度(n d)要求在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度 1/700 和1/900跨度高層建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大層間位移 1/800 層高。(2) 超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求第2頁(yè)/共57頁(yè)第三頁(yè)，共57頁(yè)。（3）理想(lxing)聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。(1) 線彈性 (Linea

2、r Elastic),(2) 小變形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method)第3頁(yè)/共57頁(yè)第四頁(yè)，共57頁(yè)。 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、實(shí)功(Real Work)和虛功(x n)(Virtual Work)P力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功PCtt第4頁(yè)/共57頁(yè)第五頁(yè)，共57頁(yè)。 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、實(shí)功(Real Work)和虛功(x n)(Virtual Work)1P11122P21221P2P12位移(wiy)狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛

3、位移狀態(tài)）（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移 應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件； 力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。 （3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；第5頁(yè)/共57頁(yè)第六頁(yè)，共57頁(yè)。 (Principle of Virtual Work)二、廣義(gungy)力(Generalized force)、廣義(gungy)位移(Generalized displacement)PMABMMPPABP1 P2 第6頁(yè)/共57頁(yè)第七頁(yè)，共57頁(yè)。（1）質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理(yunl)具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要(byo)和充分條件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0對(duì)于任何(rnh)可

4、能的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。也即第7頁(yè)/共57頁(yè)第八頁(yè)，共57頁(yè)。（2）剛體系(tx)的虛位移原理 去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要(byo)和充分條件是： 對(duì)于任何可能的虛位移，作用于剛體系(tx)的所有外力所做虛功之和為零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2第8頁(yè)/共57頁(yè)第九頁(yè)，共57頁(yè)。原理的表述： 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體(xngt)，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體(xngt)所受外力在虛位移上所作的總虛功We，恒等于變形體(xngt)各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和Wi。也即恒有如下虛功方程成立We =

5、Wi（3）變形體的虛功原理第9頁(yè)/共57頁(yè)第十頁(yè)，共57頁(yè)。 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意(rny)一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明(zhngmng): xq1.利用變形(bin xng)連續(xù)性條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和 W微段外力分為兩部分體系外力相互作用力微段外力功分為兩部分體系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功 dW= dWe+dWn所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We2.利用平衡條件條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和 W微段外力功分為兩部分在

6、剛體位移上的功dWg在變形位移上的功dWi微段外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWi =Wiabab微段位移分為兩部分剛體位移變形位移baab baba 故有We=Wi成立。abab b第10頁(yè)/共57頁(yè)第十一頁(yè)，共57頁(yè)。 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意(rny)一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明(zhngmng): xq1.利用變形連續(xù)性條件計(jì)算 所有微段的外力(wil)虛功之和 W微段外力分為兩部分體系外力相互作用力微段外力功分為兩部分體系外力功dWe相互

7、作用力功dWn微段外力功 dW= dWe+dWn所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We2.利用平衡條件條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和 W微段外力功分為兩部分在剛體位移上的功dWg在變形位移上的功dWi微段外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWi =Wiabab微段位移分為兩部分剛體位移變形位移baab baba 故有We=Wi成立。abab b幾個(gè)問題:1. 虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)： 力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。因此原理僅是必要性命題。2. 原理的證明表明:原理適用于任何 (線性和非線性)的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。3. 原理

8、可有兩種應(yīng)用： 實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解。 實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解。第11頁(yè)/共57頁(yè)第十二頁(yè)，共57頁(yè)。Wi 的計(jì)算(j sun):Wi =N+Q+Mds微段外力(wil): 微段變形可看成由如下幾部分(b fen)組成:（4）變形體虛功方程的展開式MdMM NdNN QdQQds微段剪切ds微段拉伸dsds微段彎曲對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有:We =N+Q+Mds外力功也就等于內(nèi)力功，即第12頁(yè)/共57頁(yè)第十三頁(yè)，共57頁(yè)。 1）虛功原理用于虛設(shè)(xsh)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與實(shí)際的平衡力狀

9、態(tài)之間。例. 求 A 端的(dund)支座反力(Reaction at Support)。解：去掉A端約束并代以反力 X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bPX(b)PX C (c)直線待分析平衡的力狀態(tài)虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)由外力虛功總和為零，即：baCX/將代入得:abPX/通常取單位位移法(Unit-Displacement Method)(1)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無關(guān),故可設(shè)(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。(4)用幾何法來解靜力平衡問題0 BM1 x第13頁(yè)/共57頁(yè)第十四頁(yè)，共57頁(yè)。例. 求

10、 A 端支座(zh zu)發(fā)生豎向位移 c 時(shí)引起C點(diǎn)的豎向位移 . 2）虛功原理用于虛設(shè)(xsh)的平衡力狀態(tài)與實(shí)際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置(shzh)單位荷載。ABaCbAC c1ABCAY由 求得： 0BM解得： 這是單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method)它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也稱為Maxwell-Mohr Method(1)所建立的虛功方程,實(shí)質(zhì)上是幾何方程。(2)虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力 P=1(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出

11、虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。(4)是用靜力平衡法來解幾何問題。虛功方程為：第14頁(yè)/共57頁(yè)第十五頁(yè)，共57頁(yè)。單位位移法的虛功方程 平衡方程單位荷載法的虛功方程 幾何方程 第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為“虛位移原理”，而將第二種應(yīng)用稱為“虛力原理”。更確切的說法為，兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的必要(byo)性命題。上述兩原理都是充分、必要(byo)性命題，它們和虛功原理是有區(qū)別的。 虛位移原理:一個(gè)(y )力系平衡的充分必要條件是:對(duì) 任意協(xié)調(diào)位移,虛功方程成立. 虛力原理:一個(gè)(y )位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是:對(duì) 任意平衡力系,虛功方程成立”。第15頁(yè)/共57頁(yè)第十六頁(yè)，共57頁(yè)。 3.3 荷載(h

12、zi)作用產(chǎn)生的位移計(jì)算一.單位(dnwi)荷載法kiP1P求k點(diǎn)豎向位移(wiy).由變形體虛功方程:變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(P)平衡的力狀態(tài)(i)We =Wi We =P iPWi =NiP +QiP +MiP ds iP =NiP +QiP +MiP ds 適用于各種桿件體系(線性,非線性).第16頁(yè)/共57頁(yè)第十七頁(yè)，共57頁(yè)。 3.3 荷載作用(zuyng)產(chǎn)生的位移計(jì)算一.單位(dnwi)荷載法kiP1P求k點(diǎn)豎向位移(wiy).變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(P)平衡的力狀態(tài)(i)iP =NiP +QiP +MiP ds -適用于各種桿件體系(線性,非線性).對(duì)于由線彈性直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：適用

13、于線彈性直桿體系,第17頁(yè)/共57頁(yè)第十八頁(yè)，共57頁(yè)。PQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例 1：已知圖示粱的E 、G,求A點(diǎn)的豎向位移(wiy)。解：構(gòu)造虛設(shè)(xsh)單位力狀態(tài).1PxlhbA)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24設(shè)24GAlEIkMQ1001MQ 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲(wnq)變形相比可略去不計(jì).第18頁(yè)/共57頁(yè)第十九頁(yè)，共57頁(yè)。例 2：求曲梁B點(diǎn)的豎向位移(wiy)(EI、EA、GA已知)ROBAP解：構(gòu)造(guzo)虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示

14、P=1RPRPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii )(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPREIPRNQM4,4,4:3設(shè)12001MN4001MQ 小曲率桿可利用直桿公式近似計(jì)算;軸向變形,剪切變形對(duì)位移的影響(yngxing)可略去不計(jì)第19頁(yè)/共57頁(yè)第二十頁(yè)，共57頁(yè)。 3.3 荷載(hzi)作用產(chǎn)生的位移計(jì)算一.單位(dnwi)荷載法1.梁與剛架二.位移(wiy)計(jì)算公式2.桁架3.組合結(jié)構(gòu)4.拱第20頁(yè)/共57頁(yè)第二十一頁(yè)，共57頁(yè)。解：例:求圖示桁架(各桿EA相同)k點(diǎn)水平(shupng)位移.Paak10

15、0PPP2NP11122Ni練習(xí):求圖示桁架(hngji)(各桿EA相同)k點(diǎn)豎向位移.aaPk1110200P2PNPNi第21頁(yè)/共57頁(yè)第二十二頁(yè)，共57頁(yè)。例: 1)求A點(diǎn)水平(shupng)位移 3.3 荷載作用(zuyng)產(chǎn)生的位移計(jì)算一.單位(dnwi)荷載法二.位移計(jì)算公式 所加單位廣義力與所求廣義位移相對(duì)應(yīng),該單位廣義力在所求廣義位移上做功.三.單位力狀態(tài)的確定PAB2)求A截面轉(zhuǎn)角3)求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平位移4)求AB兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角1P1P1P1P第22頁(yè)/共57頁(yè)第二十三頁(yè)，共57頁(yè)。 在桿件數(shù)量(shling)多的情況下,不方便. 下面介紹計(jì)算位移的圖乘法.剛架與梁的位

16、移(wiy)計(jì)算公式為：第23頁(yè)/共57頁(yè)第二十四頁(yè)，共57頁(yè)。一、圖乘法(chngf)(對(duì)于(duy)等截面桿)(對(duì)于(duy)直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?第24頁(yè)/共57頁(yè)第二十五頁(yè)，共57頁(yè)。例. 試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角(zhunjio).解:ABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI為什么彎矩圖在桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正?第25頁(yè)/共57頁(yè)第二十六頁(yè)，共57頁(yè)。例. 試求圖示結(jié)構(gòu)(jigu)B點(diǎn)豎向位移.解:EIycPlMPMi1lPEIBEIll第26頁(yè)/共57頁(yè)第二十七頁(yè)，共57頁(yè)。二、幾種常見圖形的面積和形心位置

17、(wi zhi)的確定方法C2nl2)1(nln1nhl h二次拋物線第27頁(yè)/共57頁(yè)第二十八頁(yè)，共57頁(yè)。M圖21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM圖281qlBAq1例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長(zhǎng)為l)B截面轉(zhuǎn)角B解:第28頁(yè)/共57頁(yè)第二十九頁(yè)，共57頁(yè)。三、圖形(txng)分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMiABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB第29頁(yè)/共57頁(yè)第三十頁(yè)，共57頁(yè)。三、圖形(txng)分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020M

18、PMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 當(dāng)兩個(gè)圖形(txng)均為直線圖形(txng)時(shí),取那個(gè)圖形(txng)的面積均可.第30頁(yè)/共57頁(yè)第三十一頁(yè)，共57頁(yè)。4/PlMP三、圖形(txng)分解B求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB 取 yc的圖形(txng)必須是直線,不能是曲線或折線.AB2/ lEI2/ lP2/1能用 Mi圖面積(min j)乘MP圖豎標(biāo)嗎?第31頁(yè)/共57頁(yè)第三十二頁(yè)，共57頁(yè)。三、圖形(txng)分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EIMPMi)(1

19、00)21102032601021(1EIEIB402060204020第32頁(yè)/共57頁(yè)第三十三頁(yè)，共57頁(yè)。三、圖形(txng)分解B求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42qlq第33頁(yè)/共57頁(yè)第三十四頁(yè)，共57頁(yè)。三、圖形(txng)分解求C截面(jimin)豎向位移MPMi16/3l4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lq第34頁(yè)/共57頁(yè)第三十五頁(yè)，共57頁(yè)。三、圖乘法(chngf)小

20、結(jié)1. 圖乘法(chngf)的應(yīng)用條件：（1）等截面(jimin)直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。cy2. 若 與 在桿件的同側(cè)， 取正值；反之，取負(fù)值。cycy3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形.第35頁(yè)/共57頁(yè)第三十六頁(yè)，共57頁(yè)。 例 1. 已知 EI 為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移 。CD 三、應(yīng)用(yngyng)舉例AlqBhqh11hMPiM解：作荷載(hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖CD第36頁(yè)/共57頁(yè)第三十七頁(yè)，共57頁(yè)。 例 2. 已知 EI 為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角 。C三、應(yīng)用(yngyng)舉例解：作荷載(

21、hzi)彎矩圖和單位荷載(hzi)彎矩圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql第37頁(yè)/共57頁(yè)第三十八頁(yè)，共57頁(yè)。 例 3. 圖示梁EI 為常數(shù)(chngsh)，求C點(diǎn)豎向位移。三、應(yīng)用(yngyng)舉例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C第38頁(yè)/共57頁(yè)第三十九頁(yè)，共57頁(yè)。32/2ql 例 4. 圖示梁 EI 為常數(shù)(chngsh)，求C點(diǎn)豎向位移 。三、應(yīng)用(yngyng)舉例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C2/2ql2/2ql第39頁(yè)/共57頁(yè)第四十頁(yè)，共5

22、7頁(yè)。 例 4. 圖示梁 EI 為常數(shù)(chngsh)，求C點(diǎn)豎向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql第40頁(yè)/共57頁(yè)第四十一頁(yè)，共57頁(yè)。4. 5 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化(binhu)時(shí)的位移計(jì)算變形(bin xng)體虛功方程為:We =Wi We =1kPWi =MikPds kP =MikPds 其中(qzhng):荷載作用求K點(diǎn)豎向位移.We =1kP溫度作用求K點(diǎn)豎向位移.Wi =Nit + Qit +Mikt ds 關(guān)鍵是計(jì)算微段的溫度變形第41頁(yè)/共57頁(yè)第四十二頁(yè)，共57頁(yè)。設(shè)溫

23、度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫度 ，上、下邊緣的溫差 ,線膨脹系數(shù)為 .0tt微段的溫度(wnd)變形分析無剪應(yīng)變?nèi)?/ 221hhh2120/)(ttt第42頁(yè)/共57頁(yè)第四十三頁(yè)，共57頁(yè)。溫度引起(ynq)的位移計(jì)算公式:對(duì)等 截 面 直 桿:上式中的正、負(fù)號(hào)(f ho)：若 和 使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。 Mt 第43頁(yè)/共57頁(yè)第四十四頁(yè)，共57頁(yè)。例： 剛架施工時(shí)溫度為20 ，試求冬季外側(cè)溫度為 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為 0 時(shí)A點(diǎn)的豎向位移 。已知 l=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：構(gòu)造(guzo)虛擬狀態(tài)lMi1N

24、i第44頁(yè)/共57頁(yè)第四十五頁(yè)，共57頁(yè)。例： 求圖示桁架(hngji)溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角.解：構(gòu)造虛擬(xn)狀態(tài)Nia4ttttaABa21a210a/1a/1)( t 4第45頁(yè)/共57頁(yè)第四十六頁(yè)，共57頁(yè)。1c2c3cKKKC1K1R2R3R變形(bin xng)體虛功方程為:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中(qzhng):計(jì)算公式為:第46頁(yè)/共57頁(yè)第四十七頁(yè)，共57頁(yè)。例1：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：構(gòu)造(guzo)虛設(shè)力狀態(tài)1c2c3cCBAll第47頁(yè)/共57頁(yè)第四十八頁(yè)，共57頁(yè)。解：構(gòu)造(guzo)虛設(shè)力狀態(tài)( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例 2：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求第48頁(yè)/共57頁(yè)第四十九頁(yè)，共57頁(yè)。制造誤差引起的位移(wiy