中學(xué)數(shù)學(xué)常見解題方法

1、中學(xué)數(shù)學(xué)常見解題方法作者：曾志屏摘要：本文討論了中學(xué)數(shù)學(xué)的若干解題法，如配方法、換元法、定義法、分類討論法、函數(shù)與方程法.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法；配方法；分類討論法Abstract：Wediscusssomesolutionsoftheclozetestinmiddleschoolmathematics,suchasmethodofcompletingsquare,methodofsubstitution,methodofdefinition,methodofcategorydiscuss,methodoffunctionandequation.Keywords:mathematicalt

2、hought>mathematicalmethod、methodofcompletingsquare、methodofcategorydiscuss序言美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題.而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想著用熟悉的題型去解決，這只能滿足于解出來.只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹并能融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”.中學(xué)數(shù)學(xué)特別是期中期末考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是考查能力的試題，其解

3、答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.考試中失分相當(dāng)嚴(yán)重.這也是我打算研究這個(gè)問題的一個(gè)因素.本文主要是通過數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，提出了數(shù)學(xué)題解法的部分技巧.重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)思想方法的掌握和應(yīng)用.希望引起對(duì)解題策略的重視.文中討論了一些常見的數(shù)學(xué)題解法.主要引用以下幾種有配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、定義法、函數(shù)與方程法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法.解題方法即解題技巧，可以幫助答題者以最有效率的方式得到答案.在數(shù)學(xué)考試題題量較大時(shí)，如何把握解題時(shí)間，如何提高解題效率都是很重要的.一、配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn).

4、何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”“配”與、“湊”的技巧，從而完成配方.有時(shí)也將其稱為“湊配法”.最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方.配方法使用的最基本的配方依據(jù)是完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式。例：已知涓4的小數(shù)部分是a,求a4+12a3+37a2+6a的值。解：a=<14-3,原式=a4+12a3+36a2+a2+6a=a2(a2+12a+36)+a(a+6)=a2(a+6)2+a(a+6)=a(a+6)a(a+6)+1,然后把a(bǔ)=Jl4-3代入原式，原式=(v14-3)1<14+

5、3)(v14-3)1<14+3)+1=5X6=30.注釋：本題解答關(guān)鍵是在于將其中的一項(xiàng)拆開為兩項(xiàng)，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解.這也是我們使用配方法的一種解題模式.二、換元法換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，問題變得容易處理.換元法通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來.或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化.它可以化高

6、次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣?S的應(yīng)用.換元的主要方法有：局部換元、三角換元、均值換元等.例2設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+2xy?1=0，則x+y的取值范圍是.分析本題如果直接求解或是采用配方法，難度較大.所以我們考慮將該題轉(zhuǎn)化.解設(shè)x+y=k，則x2?2kx+1=0,?=4k2?4>0,所以k>1或k<?1.注釋數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用也是作為數(shù)學(xué)素質(zhì)訓(xùn)練的一個(gè)重要方面三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)mg(x)數(shù)的方法叫待定系數(shù)法.其理論依

7、據(jù)是多項(xiàng)式恒等，充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意a值，都有f(a)mg(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程.使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解.例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解.使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步

8、，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.例3分析解在(1?x3)(1+x)10的展開式中，x的系數(shù)是.52x5的系數(shù)由C10與(?1)C10兩項(xiàng)組成，相加后得x5的系數(shù).52x5的系數(shù)為C10+(?1)C10=207.5四、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用.它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1(或n0)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n=k時(shí)命題成立，再證明n=k+1時(shí)命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一

9、般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限.這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)(或n>n0且nN)結(jié)論都正確”.由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的,屬于完全歸納.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是n=k+1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等.例4用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+2+52n+1(nN)能被14整除，當(dāng)n=k+1

10、時(shí)對(duì)于式子34(k+1)+2+52(k+1)+1應(yīng)變形為.解(34k+2+52k+1)34+52k+1(52?34).注該題考察的是對(duì)歸納法的直接應(yīng)用.五、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量，以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題.參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系.參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支.運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍.參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題.x+y+z=24例解方程組yz、3一4一5分析

11、：由于學(xué)=*=，不妨考慮用一個(gè)參數(shù)把x、v、z分別表示出來。345xvz解：設(shè)一=一=一=k,WJ可得x=3k,y=4k,z=5k。345代入x+y+z=24,彳#k=2.把k=2分別代入x=3k,y=4k,z=5k,得x=6,y=8z=10。_x=6所以原方程組的解為y=8Z=10注釋：這里k的被稱為輔助未知數(shù)(或參數(shù))。由于它的中介作用，使得我們不必將原方程組中三個(gè)未知數(shù)直接變換消元，從而大大減少了運(yùn)算量。六、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題.數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來.定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念.定

12、義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象.用定義法解題，是最直接的方法.例如：一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是15°,它是幾邊形？分析：這里主要利用多邊形的外角和是360°即可求出。解：3600+15°=24它是二十四邊形。注釋：注定義法解題其實(shí)是關(guān)于學(xué)生基本功的考察。七、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的.華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形

13、結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.數(shù)形結(jié)合的方法，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.如銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的.例如圖是一個(gè)鮮花栽培溫室的輪廓，其中四邊形ABCDCdCDMNABFE都是長(zhǎng)方形，則途中線段所在的直線中，共有。/對(duì)平行線。上Lj分析：我們知道長(zhǎng)方形的對(duì)邊都是互相平行的，故有ABAB/CD/MN/EF,EM/FN,CB/AD,DM/CN,AE/BF。解：因?yàn)樗倪呅蜛BCDCDMNABF

14、E者B是長(zhǎng)方形，故AB/CD/MN/EF,EM/FN,CB/AD,DM/CN,AE/BF。所以一共有10對(duì)平行線。注釋：本題涉及平行線的傳遞性，認(rèn)真觀察圖形是解題的關(guān)鍵。利用“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，可以確定平行線的對(duì)數(shù)。八、分類討論法分類討論法在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論.分類討論是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)還是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.例如：一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是70°,其他兩個(gè)角是_。分析：這里就要分類討論當(dāng)

15、70。角為頂角，其他兩個(gè)角就應(yīng)為55。，55。；當(dāng)70°角為底角，其他兩個(gè)角就應(yīng)為70°,40°。所以其他兩個(gè)角是55°,550或70。，40。注釋：進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次.其中最重要的一條是“不漏不重”.九、方程法方程法，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.幾何問題中常有用方程來解決的。例如一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°,求該多邊形的邊數(shù)。分析：利用題中給出的多邊形的

16、內(nèi)角和與外角和的關(guān)系建立方程即可。解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為N,根據(jù)題意得（N-2）X180=360X3-180。解彳3n=7答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為7。十、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的方法.通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡(jiǎn)單的問題。把非常規(guī)化問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)化問題，從而使問題得到迅速解決的一種思想方法。等價(jià)轉(zhuǎn)化法無處不見，我們不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和數(shù)學(xué)技巧。等價(jià)轉(zhuǎn)化法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性.在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一

17、的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形.消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免生搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡(jiǎn)單的問題，比如從分式到整式；或

18、者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化.按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以提高解題的水平和能力.例如圖，已知AB/CD,EF分別交ABCD于點(diǎn)E、F,若/1=58°,則/1=_分析：因?yàn)?1與/3是ABCD被EF所截形成的同位角，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等"可得/3=/1,然后根據(jù)“對(duì)頂角相等”，問題得以解決。解：因?yàn)锳B/CD根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”可得/3=/1=58°,所以/2=58°注釋：根據(jù)平行線的判定知識(shí)可把同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系（數(shù)）轉(zhuǎn)化為兩直線的位置關(guān)系（形）；而根據(jù)平行線的性質(zhì)則可把兩直線的位置關(guān)系（形）轉(zhuǎn)化為同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系（數(shù)）結(jié)論文中列舉了解中學(xué)數(shù)學(xué)題常用的幾種解題方法如配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、定義法、函數(shù)與方程法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法，并輔以例題闡述.其中借鑒了部分老師、專家的